江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-04 00:00:00 | ||
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文档简介
江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数，比-2小的是（ ）
A. -1 B. 0 C. D. -3
2.要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A. B. C. D. 且
3.去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（ ）
A. B. C. D.
6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
7.下列说法中，正确的是（）
A. 对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查
B. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
C. 一组数据3，6，6，5，8，2的众数是6，中位数是5
D. 某种彩票中奖的概率是，则购买100张这种彩票一定会中奖
8.如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
9.如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ）
A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点”
B. 二次函数的图象上没有“反射点”
C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8
D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数
二、填空题：本题共8小题，共18分。
11.分解因式： ．
12.一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为 ．（结果保留）
13.如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝ ．
14.命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是 命题．（填“真”或“假”）
15.如图，，，，若面积为10，则的面积为 ．
16.一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为 ．（写出一个即可）
17.《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何步而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门15里有树，则出南门 里见到树.
18.如图，矩形中，是直线上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点．
(1) 当点为中点时， ；
(2) 线段的最小值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
19.计算和化简
(1)
(2)
20.解方程和不等式组
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
如图，点在线段上，，且，．连接，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
22.(本小题10分)
某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1) 本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中选项“较少”占的百分比中 ，选项“较多”对应的圆心角是 度；
(3) 若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？
23.(本小题7分)
如图所示某地铁站有三个闸口．
(1) 一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
(2) 当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
24.(本小题7分)
如图，在中，；
(1) 请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；
①作边的中线；
②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用备用图）
25.(本小题7分)
如图，已知中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点．于，
(1) 求证：
(2) 若，，求的长．
26.(本小题7分)
如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且．
(1) 某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米）
(2) 如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，）
27.(本小题11分)
如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2) 若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
(3) 点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标．
28.(本小题12分)
如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得．
(1) 若点落在边上， ；
(2) 若点到的距离为2，求的面积；
(3) 如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】132°/132度
14.【答案】假
15.【答案】
16.【答案】y=
17.【答案】1.05
18.【答案】【小题1】
【小题2】
19.【答案】【小题1】
解：
=
=
【小题2】
解：
=
=
20.【答案】【小题1】
解：
，
，
，
，；
【小题2】
解：
解不等式得，，
解不等式得，，
所以此不等式组的解集为．
21.【答案】【小题1】
证明：∵，
，
在和中，
，
；
【小题2】
解：∵，，，
，
又，
．
22.【答案】【小题1】
解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比，
∴本次抽查的人数为（人），
∴“较多”的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
【小题2】
25
108
【小题3】
解：（人）．
答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名．
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6，
所以两名乘客选择不同闸口通过的概率；
24.【答案】【小题1】
解：①如图，中线即为所求；
②如图，点即为所求；
理由，∵，为圆的直径，
∴点在圆上，
∵，
∴．
【小题2】
25.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴
又∵，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴
∴，
即，
解得，
又∵，
∴．
26.【答案】【小题1】
解：当时，，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
答：此时伞沿支点离地面米；
【小题2】
解：当时，，
∴，
过作交于点，
在中，，，
，
，，，
，
∵，
，
在中，，，
，
过作交于点，
在中，，，
，
，
过作交于点，
在中，，，
，
答：小明的头不会被太阳光照射到．
27.【答案】【小题1】
解：二次函数的图像经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
，
顶点；
【小题2】
解：对称轴为直线，点，轴，
，
，，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
过作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时，为最大值，
四边形面积的最大值为；
【小题3】
解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或，
理由：①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，，
，
，
∵，，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
．
过点作轴于点，
设，则，
∵，
，
．
，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．连接，
过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
设，则，
∵，
∴，
，
．
∴，．
综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．
28.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，
同（1），，，
，
，，，
同理，
∴，即，
∴，，即，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，
同（1），，，
，
，，，
同理，
∴，即，
∴，，即，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上，的面积为3或9；
【小题3】
解：如图，当时，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得（舍去）或，
则的长为；
如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
同（1），，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
则的长为；
综上，的长为或．
第1页，共1页
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数，比-2小的是（ ）
A. -1 B. 0 C. D. -3
2.要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A. B. C. D. 且
3.去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（ ）
A. B. C. D.
6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
7.下列说法中，正确的是（）
A. 对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查
B. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
C. 一组数据3，6，6，5，8，2的众数是6，中位数是5
D. 某种彩票中奖的概率是，则购买100张这种彩票一定会中奖
8.如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
9.如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ）
A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点”
B. 二次函数的图象上没有“反射点”
C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8
D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数
二、填空题：本题共8小题，共18分。
11.分解因式： ．
12.一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为 ．（结果保留）
13.如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝ ．
14.命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是 命题．（填“真”或“假”）
15.如图，，，，若面积为10，则的面积为 ．
16.一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为 ．（写出一个即可）
17.《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何步而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门15里有树，则出南门 里见到树.
18.如图，矩形中，是直线上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点．
(1) 当点为中点时， ；
(2) 线段的最小值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
19.计算和化简
(1)
(2)
20.解方程和不等式组
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
如图，点在线段上，，且，．连接，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
22.(本小题10分)
某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1) 本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中选项“较少”占的百分比中 ，选项“较多”对应的圆心角是 度；
(3) 若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？
23.(本小题7分)
如图所示某地铁站有三个闸口．
(1) 一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
(2) 当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
24.(本小题7分)
如图，在中，；
(1) 请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；
①作边的中线；
②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用备用图）
25.(本小题7分)
如图，已知中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点．于，
(1) 求证：
(2) 若，，求的长．
26.(本小题7分)
如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且．
(1) 某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米）
(2) 如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，）
27.(本小题11分)
如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2) 若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
(3) 点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标．
28.(本小题12分)
如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得．
(1) 若点落在边上， ；
(2) 若点到的距离为2，求的面积；
(3) 如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】132°/132度
14.【答案】假
15.【答案】
16.【答案】y=
17.【答案】1.05
18.【答案】【小题1】
【小题2】
19.【答案】【小题1】
解：
=
=
【小题2】
解：
=
=
20.【答案】【小题1】
解：
，
，
，
，；
【小题2】
解：
解不等式得，，
解不等式得，，
所以此不等式组的解集为．
21.【答案】【小题1】
证明：∵，
，
在和中，
，
；
【小题2】
解：∵，，，
，
又，
．
22.【答案】【小题1】
解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比，
∴本次抽查的人数为（人），
∴“较多”的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
【小题2】
25
108
【小题3】
解：（人）．
答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名．
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6，
所以两名乘客选择不同闸口通过的概率；
24.【答案】【小题1】
解：①如图，中线即为所求；
②如图，点即为所求；
理由，∵，为圆的直径，
∴点在圆上，
∵，
∴．
【小题2】
25.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴
又∵，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴
∴，
即，
解得，
又∵，
∴．
26.【答案】【小题1】
解：当时，，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
答：此时伞沿支点离地面米；
【小题2】
解：当时，，
∴，
过作交于点，
在中，，，
，
，，，
，
∵，
，
在中，，，
，
过作交于点，
在中，，，
，
，
过作交于点，
在中，，，
，
答：小明的头不会被太阳光照射到．
27.【答案】【小题1】
解：二次函数的图像经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
，
顶点；
【小题2】
解：对称轴为直线，点，轴，
，
，，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
过作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时，为最大值，
四边形面积的最大值为；
【小题3】
解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或，
理由：①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，，
，
，
∵，，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
．
过点作轴于点，
设，则，
∵，
，
．
，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．连接，
过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
设，则，
∵，
∴，
，
．
∴，．
综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．
28.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，
同（1），，，
，
，，，
同理，
∴，即，
∴，，即，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，
同（1），，，
，
，，，
同理，
∴，即，
∴，，即，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上，的面积为3或9；
【小题3】
解：如图，当时，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得（舍去）或，
则的长为；
如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
同（1），，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
则的长为；
综上，的长为或．
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