2025-2026学年北京市清华附中志新学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年北京市清华附中志新学校高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，-1），则=（　　）
A. -1+i B. -2+2i C. 1-i D. 2-2i
2.设集合A={0，1，2，3}，B={x|log3x＜1}，则A∩（ RB）=（　　）
A. {0，1} B. {1，2} C. {1，3} D. {0，3}
3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，则 =（　　）
A. B. 8 C. 12 D.
4.设抛物线y2=4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF=30°，则|PQ|=（　　）
A. B. C. D.
5.的展开式中x4的系数为（　　）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
6.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点．若C的一条渐近线方程为3x+4y=0，则=（　　）
A. B. C. D.
7.设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α-β）＞sinβ”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某学术会议有6个相邻座位（编号1至6），安排来自3所不同大学的6位教授入座，每校2人（甲校（A1，A2）、乙校（B1，B2）、丙校（C1，C2）），要求甲校的A1必须坐在乙校的B1的左侧且相邻；丙校的C1与C2两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（　　）
A. 60种 B. 72种 C. 84种 D. 96种
9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为h（t）=Asinωt（A＞0，ω＞0），其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；f表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率f：
音 宫 商 角 徵 羽
频率f 262Hz 293Hz 330Hz 392Hz 440Hz
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（　　）
A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵
10.已知函数f（x）=ex-3，g（x）=+ln，若f（m）=g（n）成立，则m-n的最大值为（　　）
A. 1-ln2 B. ln2 C. 2ln2 D. ln2-1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数则f（0）+f（1）= .
12.冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物.将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
13.端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日.从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体ABCD，如图所示.设棱AD的长为6cm,其余的棱长均为2cm,则该四角粽的表面积为 cm2，内含食物的体积为 cm3.（粽叶的厚度忽略不计）
14.已知（x+4）5=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= .
15.已知曲线G：x|x|+y|y|=4，O为坐标原点.给出下列四个结论：
①曲线G关于直线y=x成轴对称图形；
②经过坐标原点O的直线l与曲线G有且仅有一个公共点；
③直线l：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π-2；
④设直线l：y=kx+2，当k∈（-1，0）时，直线l与曲线G恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（a,+∞）上存在最小值，求a的取值范围.
17.(本小题14分)
在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，，且a＜c.
（1）求角A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.
条件①：c=8，C为锐角；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，BC=BB1=2，点D，E分别为BC，AC1的中点.
（1）求证：DE∥平面ABB1A1；
（2）求直线AC1与平面B1DE所成角的正弦值；
（3）在棱AC上是否存在一点P，使得点P在平面B1DE内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题14分)
已知椭圆E的长轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点（不与左右顶点重合），点T（t,0）在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y轴于点Q，是否存在t,使得为定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，请说明理由.
20.(本小题14分)
已知函数f（x）=ae-x-ln（x+1），a∈R.
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线经过（-2，0），求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点，
（i）求a的取值范围；
（ii）若m,n∈R满足，f（m）＞0且f（m）=f（n）+1，证明：|n-m|＜1.
21.(本小题15分)
设集合A的元素均为实数，若对任意a∈A，存在b∈B，c∈C.使得b+c=a且b-c=1，则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”，依此类推…
（1）设A={3，5，7}，直接写出集合A的“孪生集”；
（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C，若使集合 B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：A中所有元素之和为3n；
（3）若A={ak|ak=a1+2（k-1），1≤k≤n,k∈N*}，请直接写出A的“n级孪生集”的个数，设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω，若Ω=M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1，M2，M3）的个数.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】1560
13.【答案】

14.【答案】405
15.【答案】①③④
16.【答案】极大值为，极小值为f（3）=-9 [-3，3）
17.【答案】 选择条件①：10；选择条件②：6；选择条件③：6
18.【答案】连接A1C，则点E为A1C的中点，
因为点D为BC的中点，
所以DE∥A1B，
又DE 平面ABB1A1，A1B 平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1 存在；
19.【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆E的长轴长为4，离心率为，
所以．
所以a=2，c=1，所以b2=3．
所以椭圆E的方程为．
（Ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k,所以直线l的方程为y=k（x+1），k≠0．
联立方程组
消去y,化简得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
所以．
所以直线TM的方程为，直线TN的方程为．
所以．
所以．
所以
=
=．
所以当3t2-12=0时，为定值，即t=2（负值舍）时，有定值3．
当t=2时，若直线l斜率不存在，
不妨设，
所以P（0，1），Q（0，-1）．
所以．
综上，当t=2时，有定值3．
20.【答案】 （i）a∈（-∞，-1）；（ii）证明：由a＜-1，当x≥0时，ae-x≤a＜-1-l（x+1）≤0，故f（x）＜-1＜0．
因f（m）＞0，故m∈（-1，0）．
由f（m）=f（n）+1，得f（n）=f（m）-1＞-1，结合x≥0时f（x）＜-1，故n∈（-1，0）．
，因a＜-1，x∈（-1，0）时，，
故f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）单调递增．
f（m）＞f（n），故m＞n，又m，n∈（-1，0），
故|n-m|=m-n＜0-（-1）=1，即|n-m|＜1
21.【答案】B={2，3，4}，C={1，2，3} 证明见解析 2n，
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