北京市第九中学2025-2026学年第二学期3月月考试卷高一数学（含答案）

北京市第九中学2025-2026学年第二学期3月月考试卷高一数学
一、单项选择题：本大题共15小题，共60分。
1.下列各角中，与角终边重合的是（ ）
A. B. C. D.
2.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为（ ）
A. B. C. D.
3.若角α的终边经过点P（-2，3），则tanα=（　　）
A. B. C. D.
4.函数的图像 ( )
A. 关于原点对称 B. 关于点(，0)对称
C. 关于y轴对称 D. 关于直线对称
5.已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是 （ ）
A. B. C. D.
6.下列各式正确的是（）
A. B.
C. D.
7.与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.设，则“”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.对函数的图象分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变
③将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位
其中能得到函数的图象的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
11.在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
12.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A. B. C. D.
13.已知,R,则“存在kZ使得=k+”是“=”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.设A为非空集合，函数y=f（x）的定义域为D，若存在x0∈D使得对任意的x∈D均有f（x）-f（x0）∈A，则称函数y=f（x）具有A-性质.给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（　　）
①若A=[0，+∞）且f（x）≥0恒成立，则函数y=f（x）具有A-性质；
②若A=[a,b]且f（x）=sinx,则“b-a≥2”是“函数y=f（x）具有A-性质的必要非充分条件.
A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误
15.设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）.①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.已知sin=-,(,),则cos= .
17.满足的所有α的集合为 .
18.已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=
19.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 .
20.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有
①
②与时小球偏离平衡位置的距离之比为
③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则
三、解答题：本题共6小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.
(1)求的值；
(2)求的值.
22.(本小题10分)
已知，θ∈（0，π），求下列各式的值.
（1）sinθ cosθ；
（2）sinθ-cosθ.
23.(本小题10分)
已知函数f（x）=2sin（2x+），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T及f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象．
x
u=2x+
f（x）
24.(本小题10分)
已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值和最小值.
25.(本小题10分)
“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米．
(1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
26.(本小题15分)
对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】A
12.【答案】C
13.【答案】C
14.【答案】C
15.【答案】B
16.【答案】-
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】②③
21.【答案】解：（1）由题意，，
由三角函数的定义得，，
；
（2）
.

22.【答案】解：（1）由题意知，
可得，
解得；
（2）由（1）知，
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
可得sinθ-cosθ＞0，
所以
===．
23.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（2x+），故它的最小正周期为=π，
令2x+=kπ+，k∈Z，
可得：x=kπ-，k∈Z，即f（x）的图象的对称轴方程为：x=kπ-，k∈Z，
（Ⅱ）由题意可得表格如下：
x - -
u=2x+ 0 π 2π
f（x） 0 2 0 -2 0
根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，如图：

24.【答案】解：（1）的最小正周期；
（2）∵，
∴，
∴，
∴的单调递增区间为，；
（3）∵
∴
∴
∴当，即时，函数取得最小值当，即时，函数取得最大值

25.【答案】解：（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面88，最低点距离地面，
则，解得，
因转一周大约需要，则，故，
又因，解得，因，则，
故，；
（2）由，可得，
因，根据余弦函数的图象性质可得，解得，
则，即摩天轮在运行一周的过程中，游客能有6分钟最佳视觉效果.

26.【答案】解：（1），则；
，则，
故①否；②是.
（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：
.
所以对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，.
（3）因为，所以函数，
则，
.
取，
则有，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，
则有在上有唯一零点，在上有唯一零点.
又由于，
则对任意，有，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，.
综上所述，存在，使得在上有4046个零点，
且，，，，，，，
其中，.

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