北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试高一数学试题（含答案）

北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试高一数学试题
一、单项选择题：本大题共11小题，共44分。
1.已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量＝(1,2)，＝(－2，m)，且//，则2 ＋3等于()
A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10)
3.单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.若点关于y轴的对称点为，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
6.已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图像，保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到的解析式为（ ）.
A. B.
C. D.
8.已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一条件：①；②；③中，所有可以选择的条件的序号为（）
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
10.若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
11.在菱形ABCD中，，，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共1小题，共5分。
12.下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知，，则 ．
14.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； .
15.已知在ABC中,a=4,b=4,A=,则B= .
16.已知函数的部分图像如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， .
17.已知正方形的边长为，点满足，则 ．
18.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m.
19.如图,在ABC中,已知=,=2,P是线段AD与BE的交点,若=m+n,则m+n的值为 .
20.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题:
①线段的中点的广义坐标为
②向量平行于向量的充要条件是
③向量垂直于向量的充要条件是
其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）
四、解答题：本题共6小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
已知向量，．
(1)求；
(2)设与的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求k的值．
22.(本小题10分)
已知向量，，设函数．
(1)若，求；
(2)若，求的最大值和最小值．
23.(本小题10分)
在中，.
(1)求的大小；
(2)若点在边上，且，再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长.
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
24.(本小题10分)
已知平面四边形中，，，.
(1)若，求的长；
(2)设，记四边形的周长，求的最大值.
25.(本小题10分)
已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使f（x）唯一确定，求：
（Ⅰ）ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f（x）在区间上的最大值和最小值.
条件①：函数y=f（x）图象的相邻两个对称中心间的距离为；
条件②：函数y=f（x）的图象可以由函数y=cos2x的图象平移得到；
条件③：直线为函数y=f（x）图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
26.(本小题11分)
设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．
(1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；
(2)当时，若具有性质，求的最大值；
(3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】B
12.【答案】AD
13.【答案】 /
14.【答案】0 ； ； ； ； ；
15.【答案】
16.【答案】2 ；
17.【答案】 ； -1
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】①②
21.【答案】解：（1）由已知，，
则，故；
（2）由已知可得，，，
则；
（3）由向量与互相垂直，
则，
解得.

22.【答案】解：（1），，，
，
，；
（2）设，，，
转化为，
对称轴为，
当时，取最大值，且最大值为，即的最大值为；
当时，取最小值，且最小值为，即的最小值为;
综上可知，的最大值为，最小值为.

23.【答案】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
又，所以，所以，则，
又，所以.
（2）若选①：，
在中，由正弦定理，
即，所以，因为，
所以，所以，
此时，则，则不满足三角形内角和定理，故不存在；
若选②：因为，又，
所以，
所以
，显然，
所以，
所以，
在中，由正弦定理，
即，解得，在中，所以，
所以，
此时，
在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去），
所以存在，且；
若选③：因为的面积为，
所以，所以，
在中由余弦定理
，
所以，
又，
所以，
在中，所以，
所以，
此时，所以存在，且.

24.【答案】（1）
连接，
因为，，，
所以为正三角形，，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得，解得.
（2）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以四边形的周长
，
所以当时，的最大值为.

25.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）==；
选条件①：函数y=f（x）图象的相邻两个对称中心间的距离为，故函数的最小正周期为π，所以ω=2；
故f（x）=sin（2x+），令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，所以，
当x=时，函数取得最小值为，当x=时，函数取得最大值为1．
条件②：函数y=f（x）的图象可以由函数y=cos2x的图象平移得到，所以ω=2；
故f（x）=sin（2x+），令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，所以，
当x=时，函数取得最小值为，当x=时，函数取得最大值为1．
条件③：直线为函数y=f（x）图象的一条对称轴，当x=-时，f（）=±1，故，（k∈Z），所以ω=-3k-1（k∈Z），
当k=-1时，ω=2；
故f（x）=sin（2x+），令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，所以，
当x=时，函数取得最小值为，当x=时，函数取得最大值为1．
26.【答案】解：（1）因为，所以具有性质；
因为，
所以．
（2）方法：1：
由性质得，所以，
因为，
所以，
则，，，
所以，
所以，
又因为当时，
具有性质，
且，
所以的最大值为1．
方法2：
先用反证法证明，
假设，
由，则，
所以，同理，
所以，
由，
所以，
与已知矛盾，假设不成立，
所以，
当时，，
此时，
所以的最大值为1．
（3）由性质可得，
所以①，且②，
在①中不妨设，
在②中不妨设，
由对称性可以设，
所以，
所以
，即，
因为存在，（其中有个个），
（其中有个，个）具有性质，
并且，
，
，
所以，
综上最大值为．

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