北京中学2025-2026学年第二学期3月学情调研高二数学试卷（含答案）

北京中学2025-2026学年第二学期3月学情调研高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.计算:3!=( )
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
2.二项式的展开式为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）
A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45%
4.在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（　　）
A. 75 B. 150 C. 300 D. 600
5.此时此刻你正在做这道选择题, 假设你会做的概率是, 当你会做的时候, 又能选对正确答案的概率为100%, 而当你不会做这道题时, 你选对正确答案的概率是0.25,那么这一刻,你答对题目的概率为( )
A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
6.离散型随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E(X)=2.7,则下列结论错误的是（ ）
A. m+n=0.5 B. E(3X-1)=7.1 C. D(X)=0.81 D. P(X>2)=0.5
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上单调递增
C. ，对于 D.
9.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A. 4.5cm B. 5cm C. 5.5cm D. 6cm
10.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.的展开式中常数项是 ．
12.5人排成一排．其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有 种．
13.一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 .
14.对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数 .
15.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.
则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.
16.已知函数，，给出下列四个结论：
若，则；
若函数，则在区间上单调递增；
若关于的方程在区间上无解，则；
若点，分别在函数和的图象上，则一定存在，关于直线对称
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数.
（1）已知曲线y=f（x）切线的倾斜角是0，求该切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间；
（3）已知g（x）=f（x）ln（x+2），直接写出函数g（x）的零点个数.
18.(本小题15分)
商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153
(1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；
(2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望；
(3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大 （结论不要求证明）
19.(本小题15分)
已知椭圆E过点，短轴长为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）过点C（1，0）且不与y轴垂直的直线l与椭圆E交于M，N两点，直线AM的斜率与直线BN的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由.
20.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax-ex+1.
（1）当a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的极值；
（3）已知a＞1，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）和一个极值点x0，记A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x0，f（x0）），试判断|AC|与|BC|的大小关系，并说明理由.
21.(本小题15分)
对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列.
(1)若：，1，，1，1，，写出，并求；
(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
(3)若数列满足，求数列的个数.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】24
13.【答案】
14.【答案】（答案不唯一）
15.【答案】4 ； 8
16.【答案】
17.【答案】（1） （2）f（x）单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调递增区间为（-1，3） （3）1
18.【答案】（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件，
由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150，
所以；
（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
；
所以的分布列为：
1 2 3 4
所以的数学期望为；
（3）2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，
故；
2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，
故；
2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则，
故，
即、、中最大.

19.【答案】 直线AM的斜率与直线BN的斜率的比值为定值，定值为
20.【答案】y=0 a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）的极大值为alna-a+1，无极小值 | BC|＜|AC|
21.【答案】解：（1）由：，1，，1，1，，
可得：1，，1，1，，，
，1，1，，，1.
∴；
（2）∵，
由数列A为数列，所以，
对于数列，，…，中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有个，有个，则，
因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列；
（3）首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴，
故，
其次，由数列为数列可知，，
解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，
所以数列的个数为个.

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