第八章 实数 单元培优测试题（含解析）2026年人教版数学七年级下册

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第八章 实数 单元培优测试题
（时间：100分钟 总分120分）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．估计5-的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
3．下面有四种说法，其中正确的是（　　）
A．的立方根是4 B．49的算术平方根是
C．的立方根是 D．
4．多项式与多项式相加，化简后不含的项是（　　）
A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项
5．下列说法错误的是（　　）
A．2的平方根是
B．的立方根是
C．10是100的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
6．下列说法：①立方根等于它本身的数是1或或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③在两个连续整数和之间，那么；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若关于的不等式组无解，则；⑥若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则；其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（　　）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
8．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
9．一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（　　）．
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
10．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 已知[x]表示不大于x的最大整数，例如[[5. 5]=5. 现对69进行如下操作：
，若正整数m进行3次操作后变为2，m的最大值为　 　.
12．已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，　 　．
13．若，则　 　．
14．已知a，b为定值，无论k为何值，关于x的方程 的解总是 1，则 a+b=　 　.
15．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（8分）计算：
（1）； （2）
17．（9分）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，．
运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中，为有理数，求和的值；
（2）若均为有理数，且，求的算术平方根．
18．（9分）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
①　 　，　 　，
②　 　，　 　；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简：　 　，②化简：　 　．
19．（9分）阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
任务：
（1）材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M；
（2）如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________；
（3）数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小．
（4）若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点．
20．（9分）阅读材料，完成下列任务：
【问题情境】因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【问题解决】
（1）利用材料一中的方法，求的整数部分；
（2）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（3）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
21．（10分）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得．
∴当时，A值与字母x的取值无关．
【知识应用】（1）已知，．
①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值；
【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值．
22．（10分）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
（1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
（2）81的四次方根为　 　；-32的五次方根为　 　；
（3）若有意义，则的取值范围是　 　；若有意义，则的取值范围是　 　；
（4）求的值：．
23． （11分）跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①∵，，又∵，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数46656，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；②它的立方根的个位数字是　 　；
③46656的立方根是　 　；
（2）求195112的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
答案
1．【答案】B
【解答】解：一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，，
解得，
，
，
，即，
故选：B．
【分析】先利用一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，列出关于a的方程，得出，再代入求出它的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
2．【答案】C
【解答】解：5﹣=，
∵49<54<64，
∴7<<8，
∴5﹣的值应在7和8之间，
故选：C．
【分析】先化成最简二次根式，再合并同类项，再估算无理数的范围即可求出答案.
3．【答案】C
【解答】解：A、的立方根是，故本选项错误；
B、49的算术平方根是7，故本选项错误；
C、的立方根是，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C
【分析】
A、负数有一个负的立方根，正数有一个正的立方根，0的立方根是0；
B、正数有两个平方根，是一对相反数；
C、同A；
D、算术平方根具有双重非负性．
4．【答案】B
【解答】解：x3-3x2＋2x＋1＋2x3＋3x2-3x-5＝3x3-x-4，
∴合并后不含二次项，
故答案为：B．
【分析】利用整式的加减法的计算方法化简，再结合结果分析判断即可.
5．【答案】A
【解答】A：2的平方根是，算术平方根是，说法错误
B：的立方根是，正确
C：10是100的一个平方根，正确
D：算术平方根是本身的数只有0和1，正确
故选：A
【分析】一个正数的平方根是2个，一正一负。
6．【答案】B
【解答】解：，，，
立方根等于它本身的数是1或或0，故①正确，符合题意；
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行，故②错误，不符合题意；
，
，即，
，，
，故③正确，符合题意；
初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，故④错误，不符合题意；
关于的不等式组无解，
，
解得：，故⑤错误，不符合题意；
关于的不等式组有解，
，，
解得：，
每个解都不在的范围内，
当时，解得：，此时无解；
当时，解得：，故⑥错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故答案为：B．
【分析】利用立方根的定义及计算方法、平行线的公理及判定方法、估算无理数大小的方法及计算方法、解不等式组的方法及步骤逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【解答】
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
【分析】
由于从1开始到25，每相邻两个自然数的平方之间依次有2个、4个、6个、8个、88个自然数，则由新定义知，每相邻两个平方数之间的连续自然数包括其中较小的平方数的算术平方根的整数部分相等，即（共有3个1）、（共5个2）、（共7个3）（共89个44），则可对原算式进行变形，从而转化为有理数的加减运算，由于从2开始到2024结束，则共有23个自然数的平方数，即共有23组数据，再利用一对相反数的和为0可简化算式并计算即可．
8．【答案】A
【解答】解：由数轴可知，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是，
故答案为：A．
【分析】先根据数轴得到，再根据无理数的估算求解即可．
9．【答案】B
【解答】解：设原来的棱长为x，则体积为，
由题意可知，现在正方形的体积为，则棱长为，
∴棱长变为原来的4倍.
故答案为：B.
【分析】设原来的棱长为x，则体积为，根据正方体体积的计算公式以及立方根的定义求解，即可得到答案.
10．【答案】C
【解答】解：①∵，
∴3是81的四次方根，①正确；
②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；
③∵
，
则S的三次方根是，③正确；
④由已知得：，
即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048，
又由，
故整数，
则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确；
故应选：C．
【分析】
本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．
对于①：因为，根据n次方根的定义可知：3是81的四次方根，所以该说法正确；
对于②：对于任意实数a和正奇数n，方程都有且只有一个实数解，所以该说法正确；
对于③：我们用平方差公式对S的式子进行化简可得：，因此S的三次方根是，所以该说法正确；
对于④：根据二次根式的性质化简得：，根据绝对值的定义可知：数轴上点a 到 2023 和 2025 的距离之和为4048，所以 2023和2025两点间的距离为2025-( 2023)=4048，因此 a 的取值范围是 2023≤a≤2025，所以在此范围内的整数个数为：2025 ( 2023)+1=4049 个，所以该说法错误；
综上：正确的是：①②③，共计3个，由此可得出答案．
11．【答案】（1）5
（2）6560
【解答】解：(1)由题知，
因为
所以对28进行一次操作后变为5.
故答案为：5；
(2)因为 ，
所以m的最大值为6560.
故答案为： 6560.
【分析】(1)根据所给新定义的运算法则，进行计算即可；
(2)根据所给新定义的运算法则，求出m的最大值即可.
12．【答案】4
【解答】解：∵，
∴20-a≥0，即a≤20，
∵a，b均为正整数，
∴a=20、19、16、11、4，
当a=20，；
当a=4，；
∴当时，b取最大值4.
故答案为：4．
【分析】本题根据平方根的性质以及a，b均为正整数，可以先确定a的正整数值，然后观察式子发现，当a增大时，b减小；a减小时，b增大，即可知当a取最小值4时，b取最大值，由此即可得出答案．
13．【答案】-1
【解答】解：∵，
∴a+3=0，b-2=0，
∴a=-3，b=2，
∴，
故答案为：-1.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将其代入计算即可.
14．【答案】0
【解答】解： 关于x的方程 的解总是 1，
则总成立，
化简得2（k+a）=6-（2+bk），
2k+2a=4-bk，
（2+b）k+2a=4，
无论k为何值，上式总成立，则2+b=0，2a=4，解得a=2，b=-2，
a+b=2-2=0，
故答案为0.
【分析】将x=1代入方程得到总成立，化简得（2+b）k+2a=4，从而得到2+b=0，2a=4，得到a、b的值后再进行计算即可.
15．【答案】
【解答】解：∵2＜＜3，2＜＜3，
∴a＝ 2，b＝2，
a＋b＝ 2＋2＝，
故答案为．
【分析】估算和，得到a、b的值，然后代入求和解答即可．
16．【答案】（1）解；
；
（2）解；∵，
∴，
∴或，
∴或．
【分析】本题考查求平方根的方法解方程，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先根据算术平方根和立方根的性质计算化简，再根据绝对值的性质取绝对值，燃后再计算加减法即可得到答案；
（2）根据平方根的性质：方程两边同时开根方，得到两个一元一次方程，再解方程即可得到答案．
（1）解；
；
（2）解；∵，
∴，即或，
解得或．
17．【答案】（1）解：∵，其中为有理数，∴，；
∴，．
（2）解：∵，，
∵m、n为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，，的算术平方根为；
当，时，，的算术平方根为；
综上所述，的算术平方根为或．
【分析】（1）根据题意，得到，，求得m和n的值，即可得到答案；
（2）先整理得到，得出，，求得m和n的值，分类讨论，进而求得的平方根，得到答案.
18．【答案】（1）；；；
（2）；
【解答】解：；②×25
故答案为：8；8；15；15；
(2)①②
故答案为：
【分析】(1)利用算术平方根的计算方法解答即可；
(2)利用(1)的结果化简计算.
19．【答案】（1）
（2），
（3）解：点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示：
．
（4）解：由（1），得，，
原式
．
【解答】解：（1）由勾股定理得：，如图，M点表示的数为；
解：（2）由图可知，点到1的距离为，
∴点B表示的数为，点表示的数为：；
故答案为：，；
【分析】（1）根据图形，利用勾股定理，求得大正方形的边长，结合数轴构造无理数的方法，即可 得到答案；
（2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离，得到点B表示的数为，点表示的数为：，即可得出结果；
（3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较，即可得到答案；
（4）将a和的值代入代数式 ，化简绝对值，再在数轴上表示出结果，即可得到答案．
（1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为；
（2）由图可知，点到1的距离为，
∴点B表示的数为，点表示的数为：；
故答案为：，；
（3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示：
．
（4）由（1），得，，
原式
．
20．【答案】（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）解：∵，即．
∴的小数部分是．
（3）解：∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
【分析】（1）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（2）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（3）参照材料二中的计算方法先画出图形，再求解即可.
（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）∵，即．
∴的小数部分是．
（3）∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
21．【答案】解：（1）①，，∴
，
②若的值与字母m的取值无关，
则，
∴．
（2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，
销售完这30件羽绒服的利润为：，
当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，
∴
∴
【分析】
（1）①把看作常数，利用整式的混合运算化简多项式即可；
②根据的值与字母m的取值无关，结合①解方程即可；
（2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，可求出该商场的总利润为，再把a当作常数利用整式的加减混合运算整理得，再根据题意知即可得出a的值．
22．【答案】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；
（2）；
（3）；为任意实数
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
【解答】解：（2）；
故答案为：；
（3）解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的五次方，
∴为任意实数．
故答案为：，为任意实数；
【分析】（1）根据阅读材料模仿直接下定义即可；
（2）根据四次方根、五次方根的定义直接求解即可；
（3）根据偶次方根被开方数为非负数，奇次方根被开方数为任意实数分别解答即可；
（4）利用四次方根的定义求解即可.
23．【答案】（1）两；6；36
（2）解：，又，
，
能确定195112的立方根是个两位数
的个位数是2，又，
能确定195112的立方根的个位数是8．
如果划去195112后面的三位112得到数195，
而，则，可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
因此195112的立方根是58．
【解答】解：（1）①，，
又，
，
能确定46656的立方根是个两位数．
②的个位数是6，
又，
能确定46656的立方根的个位数是6．
③如果划去46656后面的三位656得到数46，
而，则，可得，
由此能确定46656的立方根的十位数是3
因此46656的立方根是36．
故答案为：①两，②6，③36；
【分析】（1）根据题意先确定两位数，再确定各位数字和十位数字，即可得出结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得出结论．
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