15.2 分式的运算
1.分式的乘除
@基础分点训练
知识点1 分式的乘法
1. 的计算结果是（ C ）
A. B.4a C. D.
2.计算：
（1） ＝ ；
（2） （－）＝ －6xy ；
（3） ＝ ；
（4） ＝ .
3.计算：
（1） ；
解：原式＝－.
（2） .
解：原式＝
＝a.
知识点2 分式的除法
4.计算÷的结果为（ B ）
A.a B.－a
C.－ D.
5.计算÷的结果是（ A ）
A.2 B.2a＋2
C.1 D.
6.计算：
（1）÷；
解：原式＝
＝.
（2）÷（x＋3）；
解：原式＝
＝.
（3）÷.
解：原式＝
＝
＝.
知识点3 分式的乘方
7.计算（）3的结果是（ C ）
A. B. C. D.
8.下列等式成立的是（ A ）
A.（）m＝ B.（）2＝
C.（－）3＝ D.（）3＝
9.计算：
（1）（）2；
解：原式＝
＝. （2）（）3.
解：原式＝
＝－.
易错点 弄错运算顺序导致出错
10.计算x÷（x－2） 时，小虎给出了他的解答过程如下：
解：x÷（x－2） ＝x÷＝x÷1＝x.
试说明小虎的求解过程是否正确，如果不正确，请你指出错误之处，并写出正确的解答过程.
解：不正确，错误之处在于先算了乘法，再算除法.
正确的解答过程是：
原式＝x
＝.
@中档提分训练
11.（河北中考）化简x32的结果是（ A ）
A.xy6 B.xy5
C.x2y5 D.x2y6
12.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简.过程如下，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ D ）
老师÷→甲 →乙 →丙 →丁
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
13.计算：÷ ＝ .
14.若（）2÷（）2＝3，则a4b4的值是 9 .
15.老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示，求被手遮住部分的代数式.
÷＝.
解：被手遮住部分的代数式为
÷＝ ＝.
@拓展素养训练
16.A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，B玉米试验田是边长为（a－2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克.
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）根据题意，得A玉米试验田的面积为（a2－4）平方米，B玉米试验田的面积为（a－2）2平方米.
∵a2－4－（a－2）2＝4a－8，且a＞2，∴4a－8＞0.
∴A玉米试验田的面积大.
∴B玉米试验田的单位面积产量高.
（2）根据题意，得
A玉米试验田单位面积的产量为，
B玉米试验田单位面积的产量为，
∴÷＝ ＝.
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.
2.分式的加减
@基础分点训练
知识点1 同分母分式相加减
1.（广州中考）计算＋的结果为（ C ）
A. B. C. D.
2.（河南中考）化简－的结果是（ A ）
A.x＋1 B.x
C.x－1 D.x－2
3.计算：
（1）（深圳中考）－＝ a－1 ；
（2）（上海中考）－＝ 2 .
4.计算：
（1）＋；
解：原式＝
＝
＝.
（2）＋.
解：原式＝－
＝
＝
＝m＋3.
知识点2 异分母分式相加减
5.计算－的结果是（ B ）
A. B.－
C. D.－
6.计算：
（1）（台州中考）－＝ ；
（2）（武汉中考）－＝ .
7.计算：
（1）＋；
解：原式＝＋
＝
＝
＝.
（2）－；
解：原式＝
＝.
（3）x＋3－.
解：原式＝－
＝
＝.
知识点3 分式的混合运算
8.化简 的结果为（ B ）
A. B.
C. D.
9.化简：1－÷.
解：原式＝1－
＝1－
＝
＝－.
易错点 计算时漏掉分母而致错
10.化简：－－1.
圆圆的解答如下：
－－1＝4x－2（x＋2）－（x2－4）
＝－x2＋2x.
圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解法.
解：圆圆的解答错误，正确的解法：
原式＝－－
＝
＝
＝－.
@中档提分训练
11.（河北中考）如图，若x为正整数，则表示－的值的点落在（ B ）
A.段① B.段② C.段③ D.段④
12.【新定义试题】定义一种新运算：x*y＝－，则（m＋1）*（m－1）的结果为（ C ）
A. B.－
C.－ D.
13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距s km，若一艘游轮在静水中航行的速度为a km/h，水流速度为b km/h（b＜a），则该游轮往返两港口所需时间相差 h.
14.先化简，再求值：（x＋1－）÷，请从0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值.
解：原式＝（－）÷
＝÷
＝
＝.
∵要使原式有意义，则x≠1，3，0.∴x＝2.
∴原式＝＝－10.
@拓展素养训练
15.【材料阅读题】阅读下面的材料：
若＝＋（其中A，B为常数），试求A，B的值.
解：＋＝
＝.
根据题意，得解得
仿照以上解法，解答下列问题：
（1）已知＝－（其中M，N为常数），求M，N的值；
（2）若＝－对任意自然数n都成立，则a＝ ，b＝ ；
（3）计算：＋＋＋…＋＝ .
解：（1）－＝＝.
根据题意，得解得
计算强化专题 分式的运算及化简求值
类型一 分式的运算
1.【运算能力】计算：
（1）－；
解：原式＝－
＝
＝－.
（2）3 ÷2；
解：原式＝－ ÷
＝－
＝－.
（3） ；
解：原式＝
＝
＝
＝6＋2m.
（4）（河南中考）÷；
解：原式＝÷
＝
＝a＋2.
（5）÷.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝.
2.以下是某同学化简÷的部分运算过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式＝ 第一步
＝
第二步
＝ 第三步
…
（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是 通分 ，其依据是 分式的基本性质 ；
（2）上面的运算过程中第 三 步出现了错误，这一步错误的原因是 分子相减时未变号 ；
（3）请你写出该式子化简的正确过程.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝.
类型二 分式的化简求值
3.（湖南中考）先化简，再求值： ＋，其中x＝3.
解：原式＝ ＋
＝＋
＝.
当x＝3时，原式＝.
4.（南京中考）先化简，再求值：÷，其中a＝3，b＝2.
解：原式＝÷
＝
＝.
当a＝3，b＝2时，原式＝＝1.
5.先化简，再求值：÷，其中a2－a－1＝0.
解：原式＝
＝
＝.
∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，
∴原式＝＝1.
6.先化简：÷，再从0，1，2，3中选择一个适合的数代入求值.
解：原式＝
＝
＝x.
∵x（x－2）≠0，∴x≠0，x≠2.
∴x＝1或3.
当x＝1时，原式＝1.
（当x＝3时，原式＝3.）
7.先化简，再求值：÷＋，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数代入求值.
解：原式＝ ＋
＝＋
＝
＝.
解不等式组 得－3＜x≤2.
∴不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2.
∵要使原式有意义，则x≠1，0，－2，
∴x可取－1，2.
当x＝2时，原式＝＝.
［或当x＝－1时，原式＝＝－1.］15.2 分式的运算
1.分式的乘除
@基础分点训练
知识点1 分式的乘法
1. 的计算结果是( )
A. B.4a C. D.
2.计算：
（1） ＝ ；
（2） （－）＝ ；
（3） ＝ ；
（4） ＝ .
3.计算：
（1） ；
（2） .
知识点2 分式的除法
4.计算÷的结果为( )
A.a B.－a
C.－ D.
5.计算÷的结果是( )
A.2 B.2a＋2
C.1 D.
6.计算：
（1）÷；
（2）÷（x＋3）；
（3）÷.
知识点3 分式的乘方
7.计算（）3的结果是( )
A. B. C. D.
8.下列等式成立的是( )
A.（）m＝ B.（）2＝
C.（－）3＝ D.（）3＝
9.计算：
（1）（）2；
（2）（）3.
易错点 弄错运算顺序导致出错
10.计算x÷（x－2） 时，小虎给出了他的解答过程如下：
解：x÷（x－2） ＝x÷＝x÷1＝x.
试说明小虎的求解过程是否正确，如果不正确，请你指出错误之处，并写出正确的解答过程.
@中档提分训练
11.（河北中考）化简x32的结果是( )
A.xy6 B.xy5
C.x2y5 D.x2y6
12.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简.过程如下，接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
老师÷→甲 →乙 →丙 →丁
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
13.计算：÷ ＝ .
14.若（）2÷（）2＝3，则a4b4的值是 .
15.老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示，求被手遮住部分的代数式.
÷＝.
@拓展素养训练
16.A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，B玉米试验田是边长为（a－2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克.
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
2.分式的加减
@基础分点训练
知识点1 同分母分式相加减
1.（广州中考）计算＋的结果为( )
A. B. C. D.
2.（河南中考）化简－的结果是( )
A.x＋1 B.x
C.x－1 D.x－2
3.计算：
（1）（深圳中考）－＝ ；
（2）（上海中考）－＝ .
4.计算：
（1）＋；
（2）＋.
知识点2 异分母分式相加减
5.计算－的结果是( )
A. B.－
C. D.－
6.计算：
（1）（台州中考）－＝ ；
（2）（武汉中考）－＝ .
7.计算：
（1）＋；
（2）－；
（3）x＋3－.
知识点3 分式的混合运算
8.化简 的结果为( )
A. B.
C. D.
9.化简：1－÷.
易错点 计算时漏掉分母而致错
10.化简：－－1.
圆圆的解答如下：
－－1＝4x－2（x＋2）－（x2－4）
＝－x2＋2x.
圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解法.
@中档提分训练
11.（河北中考）如图，若x为正整数，则表示－的值的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
12.【新定义试题】定义一种新运算：x*y＝－，则（m＋1）*（m－1）的结果为( )
A. B.－
C.－ D.
13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距s km，若一艘游轮在静水中航行的速度为a km/h，水流速度为b km/h（b＜a），则该游轮往返两港口所需时间相差 h.
14.先化简，再求值：（x＋1－）÷，请从0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值.
@拓展素养训练
15.【材料阅读题】阅读下面的材料：
若＝＋（其中A，B为常数），试求A，B的值.
解：＋＝
＝.
根据题意，得解得
仿照以上解法，解答下列问题：
（1）已知＝－（其中M，N为常数），求M，N的值；
（2）若＝－对任意自然数n都成立，则a＝ ，b＝ ；
（3）计算：＋＋＋…＋＝ .
计算强化专题 分式的运算及化简求值
类型一 分式的运算
1.【运算能力】计算：
（1）－；
（2）3 ÷2；
（3） ；
（4）（河南中考）÷；
（5）÷.
2.以下是某同学化简÷的部分运算过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式＝ 第一步
＝
第二步
＝ 第三步
…
（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是 ，其依据是 ；
（2）上面的运算过程中第 步出现了错误，这一步错误的原因是 ；
（3）请你写出该式子化简的正确过程.
类型二 分式的化简求值
3.（湖南中考）先化简，再求值： ＋，其中x＝3.
4.（南京中考）先化简，再求值：÷，其中a＝3，b＝2.
5.先化简，再求值：÷，其中a2－a－1＝0.
6.先化简：÷，再从0，1，2，3中选择一个适合的数代入求值.
7.先化简，再求值：÷＋，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数代入求值.
