15.4 零指数幂与负整数指数幂
1.零指数幂与负整数指数幂
@基础分点训练
知识点1 零指数幂
1.计算：30＝（ B ）
A.－3 B.1 C.3 D.－1
2.若（x－1）0＝1成立，则x的取值范围是 x≠1 .
3.计算：（－2）0＋｜－2｜＝ 3 .
知识点2 负整数指数幂
4.代数式2－1可以表示（ C ）
A.2的相反数 B.2的绝对值
C.2的倒数 D.2的倒数的相反数
5.计算：6－2＝（ D ）
A.－12 B.－36 C. D.
6.下列计算正确的是（ C ）
A.x x＝2x B.（－x）2＝－x2
C.x－2＝ D.x－3＝－
7.（1）计算：50＋4－2＝ .
（2）计算：（－2 026）0×－1＝ 2 .
8.计算：
（1）（2m2n－2）－2 3m－3n3；
解：原式＝2－2m－4n4 3m－3n3
＝×3m－7n7
＝.
（2）（2a6b）－1÷（a－2b）3.
解：原式＝a－6b－1÷a－6b3
＝b－4
＝.
@中档提分训练
9.已知a＝2－2，b＝（π－3.14）0，c＝（－1）3，则a，b，c的大小关系为（ B ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
10.【新定义试题】定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a－2＋ab＋｜－b｜，那么▲2的值是 5 .
11.已知43n 8n＝－9，则n的值是 1 .
12.计算：（－1）－2 026＋（）2－（π＋5）0－3－2.
解：原式＝1＋－1－
＝.
13.已知10－2α＝3，10－β＝－，求106α＋2β的值.
解：∵10－2α＝＝3，10－β＝＝－，
∴102α＝，10β＝－5.
∴106α＋2β＝（102α）3 （10β）2
＝3×（－5）2
＝.
@拓展素养训练
14.已知（x－1）x2－1＝1，求x的值.
解：当x－1＝1，即x＝2时，（x－1）x2－1＝13＝1；
当x－1＝－1，即x＝0时，（x－1）x2－1＝（－1）－1＝－1（不合题意，舍去）；
当x2－1＝0且x－1≠0，即x＝－1时，
（x－1）x2－1＝（－2）0＝1.
∴x的值为2或－1.
2.科学记数法
@基础分点训练
知识点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.把0.081 3写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（ D ）
A.1 B.－2 C.0.813 D.8.13
2.【跨学科 生物】在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.000 000 78 m，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为（ C ）
A.7 B.6 C.－7 D.－6
3.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”.已知一粒米的质量约0.000 021千克，则数据0.000 021用科学记数法表示为 2.1×10－5 .
4.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 001 24；
（2）－0.000 000 004 06.
解：（1）0.000 001 24＝1.24×10－6.
（2）－0.000 000 004 06＝－4.06×10－9.
知识点2 将用科学记数法表示的数还原为原数
5.一种细菌的半径是4×10－5 m，用小数表示为（ C ）
A.400 000 m B.40 000 m
C.0.000 04 m D.0.000 004 m
6.新型的环保材料石墨烯是世界上最薄的纳米材料，科学家计算其理论厚度是a m，用科学记数法表示为9.8×10－6 m，则a中小数点后面0的个数为（ B ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.将5.62×10－3用小数表示是 0.005 62 .
@中档提分训练
8.日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46 nm，已知1 nm＝10－9 m，数据46 nm用科学记数法可表示为 4.6×10－8 m.
9.（河北中考）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（ D ）
A.5×10－4 B.5×10－5
C.2×10－4 D.2×10－5
10.已知一个水分子的直径约为3.85×10－9 m，某花粉的直径约为5×10－4 m，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ C ）
A.0.77×10－5倍
B.77×10－4倍
C.7.7×10－6倍
D.7.7×10－5倍
11.已知p＝7.52×10－6，下列关于p值的叙述正确的是（ B ）
A.小于0
B.介于0与1两数之间，两数中比较接近0
C.介于0与1两数之间，两数中比较接近1
D.大于1
12.一个正方体盲盒的棱长为0.4 m.
（1）这个盲盒的体积是多少（用科学记数法表示）？
（2）若有一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？
解：（1）0.43＝6.4×10－2（m3）.
∴这个盲盒的体积是6.4×10－2 m3.
（2）6.4×10－2÷（1×10－3）3＝64 000 000（个）.
∴需要64 000 000个这样的小立方块才能将盲盒装满.
教材回归专题 教材P11阅读材料“类比”变式
【类比学习】
在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系.就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有：
①当分子相同时，分母越小，分数的值越大.如＜；
②当分母相同时，分子越大，分数的值越大.如＜；
③当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大.
例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数.
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如图所示，小明的牌分别是x＋1、x＋3、x＋5，小强的牌分别是x－1、x－3、x－5.他们各自选两张牌组成分式，并且约定x是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜.
（1）小明组成的分式中值最大的分式是 ；小强组成的分式中值最大的分式是 ；
（2）小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明.
解：（2）小强说的有道理，证明如下：
－＝－
＝
＝
＝.
∵x是大于5的正整数，∴（x－5）（x＋1）＞0.
∴－＞0，即＞.
故小强说的有道理.
数学活动 质量百分比浓度问题
【问题背景】
科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变.（溶液浓度＝×100％）
【实验操作】
这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格.
姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度
同学甲 a b x
同学乙 c d x
同学丙 e f x
【解决问题】
（1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3，
①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝ 25％ ；
②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5 g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2 g，请求出c和f的值；
最后，小组组长将同学甲、乙、丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变；
（2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知＝＝＝x，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：＝x；
【拓展延伸】
（3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知＝＝，其中a，b，c均不为0且a＋b＋c≠0，求的值.请类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题.
解：（1）②依题意，得＝，当d＝4.5时，＝，解得c＝1.5.
经检验，c＝1.5是分式方程的解，且符合题意.
依题意，得＝，当e＝2时，＝，解得f＝6.
经检验，f＝6是分式方程的解，且符合题意.
（2）证明：∵＝＝＝x，a，b，c，d，e，f均为正数，∴a＝（a＋b）x，c＝（c＋d）x，e＝（e＋f）x.
∴a＋c＋e＝（a＋b）x＋（c＋d）x＋（e＋f）x.∴＝＝x，
即＝x.
（3）设＝＝＝k，∴a＋b－c＝kc，a－b＋c＝kb，－a＋b＋c＝ka.
∴（a＋b－c）＋（a－b＋c）＋（－a＋b＋c）＝ka＋kb＋kc.∴a＋b＋c＝k（a＋b＋c）.
∵a，b，c均不为0且a＋b＋c≠0，∴k＝1.∴a＋b－c＝kc＝c，a－b＋c＝kb＝b，－a＋b＋c＝ka＝a.
∴a＋b＝2c，a＋c＝2b，b＋c＝2a.∴＝ ＝8.15.4 零指数幂与负整数指数幂
1.零指数幂与负整数指数幂
@基础分点训练
知识点1 零指数幂
1.计算：30＝( )
A.－3 B.1 C.3 D.－1
2.若（x－1）0＝1成立，则x的取值范围是 .
3.计算：（－2）0＋｜－2｜＝ .
知识点2 负整数指数幂
4.代数式2－1可以表示( )
A.2的相反数 B.2的绝对值
C.2的倒数 D.2的倒数的相反数
5.计算：6－2＝( )
A.－12 B.－36 C. D.
6.下列计算正确的是( )
A.x x＝2x B.（－x）2＝－x2
C.x－2＝ D.x－3＝－
7.（1）计算：50＋4－2＝ .
（2）计算：（－2 026）0×－1＝ .
8.计算：
（1）（2m2n－2）－2 3m－3n3；
（2）（2a6b）－1÷（a－2b）3.
@中档提分训练
9.已知a＝2－2，b＝（π－3.14）0，c＝（－1）3，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
10.【新定义试题】定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a－2＋ab＋｜－b｜，那么▲2的值是 .
11.已知43n 8n＝－9，则n的值是 .
12.计算：（－1）－2 026＋（）2－（π＋5）0－3－2.
13.已知10－2α＝3，10－β＝－，求106α＋2β的值.
@拓展素养训练
14.已知（x－1）x2－1＝1，求x的值.
2.科学记数法
@基础分点训练
知识点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.把0.081 3写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为( )
A.1 B.－2 C.0.813 D.8.13
2.【跨学科 生物】在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.000 000 78 m，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为( )
A.7 B.6 C.－7 D.－6
3.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”.已知一粒米的质量约0.000 021千克，则数据0.000 021用科学记数法表示为 .
4.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 001 24；
（2）－0.000 000 004 06.
知识点2 将用科学记数法表示的数还原为原数
5.一种细菌的半径是4×10－5 m，用小数表示为( )
A.400 000 m B.40 000 m
C.0.000 04 m D.0.000 004 m
6.新型的环保材料石墨烯是世界上最薄的纳米材料，科学家计算其理论厚度是a m，用科学记数法表示为9.8×10－6 m，则a中小数点后面0的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.将5.62×10－3用小数表示是 .
@中档提分训练
8.日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46 nm，已知1 nm＝10－9 m，数据46 nm用科学记数法可表示为 m.
9.（河北中考）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为( )
A.5×10－4 B.5×10－5
C.2×10－4 D.2×10－5
10.已知一个水分子的直径约为3.85×10－9 m，某花粉的直径约为5×10－4 m，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的( )
A.0.77×10－5倍
B.77×10－4倍
C.7.7×10－6倍
D.7.7×10－5倍
11.已知p＝7.52×10－6，下列关于p值的叙述正确的是( )
A.小于0
B.介于0与1两数之间，两数中比较接近0
C.介于0与1两数之间，两数中比较接近1
D.大于1
12.一个正方体盲盒的棱长为0.4 m.
（1）这个盲盒的体积是多少（用科学记数法表示）？
（2）若有一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？
教材回归专题 教材P11阅读材料“类比”变式
【类比学习】
在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系.就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有：
①当分子相同时，分母越小，分数的值越大.如＜；
②当分母相同时，分子越大，分数的值越大.如＜；
③当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大.
例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数.
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如图所示，小明的牌分别是x＋1、x＋3、x＋5，小强的牌分别是x－1、x－3、x－5.他们各自选两张牌组成分式，并且约定x是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜.
（1）小明组成的分式中值最大的分式是 ；小强组成的分式中值最大的分式是 ；
（2）小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明.
数学活动 质量百分比浓度问题
【问题背景】
科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变.（溶液浓度＝×100％）
【实验操作】
这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格.
姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度
同学甲 a b x
同学乙 c d x
同学丙 e f x
【解决问题】
（1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3，
①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝ ；
②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5 g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2 g，请求出c和f的值；
最后，小组组长将同学甲、乙、丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变；
（2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知＝＝＝x，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：＝x；
【拓展延伸】
（3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知＝＝，其中a，b，c均不为0且a＋b＋c≠0，求的值.请类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题.
