山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

高三普通部下学期开学考试---数学
一、单选题
1.若复数z满足，则z的虚部为( )
A. B. 1 C. D. i
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前n项和为，若与是方程的两根，则
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
4.已知，则
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则( )
A. 1 B. C. 3 D. 2
6.双曲线E：的左、右焦点分别为，，点P是以为直径的圆与双曲线E的一个交点，若，则双曲线E的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，，记，，，则( )
A. B. C. D.
8.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.下列说法中正确的有( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10.已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是
A. C的准线方程为B. 直线与C相切
C. 若，则的最小值为D. 若，则的周长的最小值为11
11.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则
A. 球与圆柱的体积之比为
B. 四面体 CDEF的体积的取值范围为
C. 平面 DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若 P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三、填空题
12.在的展开式中，的系数是 .
某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 .
14.已知，若，不等式恒成立，则a的取值范围为 .
四、解答题
15.已知数列的首项，前n项和为
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和
16.如图，四边形ABCD是等腰梯形，是CD的中点，O是BD与AE的交点，将沿AE折到的位置.
证明：平面POB；
若平面ABCE，求二面角的正弦值.
17.为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．
已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x表示，，利润用单位：万元表示，已知y与x的经验回归方程为
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
t
求的值结果精确到；
某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长．设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量
ⅰ求X的分布列及数学期望；
ⅱ规定：进行多轮选择，每轮出现记为A，出现记为B，先出现AB 为甲胜，先出现AA为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为B且最终甲胜的概率”，求及甲胜的概率．
参考数据：，，，
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，
18.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、
Ⅰ求椭圆和双曲线的标准方程；
Ⅱ设直线、的斜率分别为、，证明；
Ⅲ是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．
当时，求函数与在公共点处的切线方程；
求a的最小值；
求证：当时，1.【答案】B
【解析】解：由题意得，，
所以z的虚部为
故答案选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属基础题.
先求出，再求补集.
【解答】
解：，
故选
3.【答案】D
【解析】解：由题意，与是方程的两根，
所以两根之和为，
因为是等差数列，
根据等差数列性质：
若，则，
此处，
故，
等差数列前n项和公式为，
因此
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换，以及辅助角公式，属于基础题．
【解答】
解：因为，
所以，即，
所以，
故选
5.【答案】D
【解析】解：由题，且在上的投影向量为单位向量，
不妨设在菱形OACB中，为AB的中点，
则，
故选：
6.【答案】D
【解析】解：设，
由点P在以为直径的圆上，得，根据勾股定理：
因为，且，故：，
两边平方得：，
将代入上式，得：，解得
由双曲线定义，平方得：，
将和代入，得：，
化简得，即，
离心率
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抽象函数，比较大小，属于中档题．
根据题意，赋值，分别求出a，b，c的值，即可判断.
【解答】
解：根据题意，
令，得，所以，故，
令，则，
所以，
令，，则，
所以，显然，
令，则，
即，
又，
又，所以，即，
所以，从而，
所以，
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及两角和的正切公式的应用，属于中档题.
由两角和的正切公式的变形求出，由正弦定理得，数形结合再由三角形面积公式可得结果.
【解答】
解：由得，
所以，则，
由于，所以，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，故，
如图，，
则，则点O到AB的距离为1，
故
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用不等式的性质的应用判定各选项的正误，即可得到答案．
【解答】
解：对于选项A：若，，则，
则，故，选项A正确；
对于选项B：若，则，又，所以， 选项B正确；
对于选项C，当，时，可得，
所以，选项C错误；
选项D，若，，则，所以，选项D正确．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
根据抛物线的标准方程和准线方程可判定A；联立直线与抛物线的方程可判定B；设则，可判定C；根据的周长为，结合抛物线的性质，可得，即可判定
【解答】解：根据抛物线可得，所以准线方程为：，故 A错误；
联立直线与抛物线方程得，
，消去y得，，得，所以直线与抛物线相切，故B正确；
设则，
所以当时，的最小值为，故C正确；
因为，，所以，
因为的周长为，
设点P到准线的距离，则，
所以，
故D正确.
故选
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题.
【解答】
解：由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球体积为，圆柱的体积为，
所以球与圆柱的体积之比为，故A正确；
过O作于G，则由题可得，
设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，
当时，平面DEF截得球的截面面积最大值为，故C错误；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点E到平面的距离
又，所以故B错误；
由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.
12.【答案】160
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
根据二项展开式的通项公式求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得的系数．
【解答】
解：的展开式的通项公式为，
令，
解得，
所以的系数是，
故答案为：
13.【答案】45
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布的性质，二项分布的方差，属于基础题.
求出规格指标X位于区间的概率，再根据二项分布的方差公式可得随机变量Y的方差.
【解答】
解：由正态分布的性质得质量指标在区间
的概率为，
即1件产品的质量指标位于区间的概率为，
∽，故
14.【答案】
【解析】解：设函数，需满足对所有恒成立，
，
当时，随x增大而递增， 随x增大而递减，
因此在上单调递增，令，解得，
所以存在唯一零点使得，即：，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此的最小值为，
，
要求恒成立，即，
设，
，
因，故，即在上单调递增，
当时，；
因此的解集为，
故a的取值范围为
故答案为：
15.【答案】解：由题意得，，，
两式相减得，
则，，
因为，，
所以，对任意正整数都成立，
故是首项为1，公比为3的等比数列，
所以；
因为，
所以，
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：证明：如图，连接BE，
为CD的中点，，
又且，
四边形ABED为菱形，，
，
又，平面POB，
平面POB，
与四边形ABED为菱形同理，可知四边形ABCE为菱形，
平面POB；
由可知即是边长为2的等边三角形，
又平面ABCE，
所以两两互相垂直，
以O为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
已知，
则，
，
设平面PAB的法向量为，
则，
取，得，
故平面PAB的一个法向量为，
设平面PBC的法向量为，
则，
取，得，，
故平面PBC的一个法向量为，
，
故二面角的正弦值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：由已知公式得，
所以，，
所以，
由题意知， X的可能取值为2，3，4，
，，
，
其分布列为
X 2 3 4
P
当第一轮为A时，若第二轮为 B，则甲胜;若第二轮为A，则乙胜，
所以
当第一轮为B时，若第二轮为A，则最终甲胜的概率为，若第二轮为B，则最终甲胜的概率为，
所以，解得
由全概率公式知：甲胜的概率
【解析】本题考查了回归直线方程，离散型随机变量的分布列与期望以及全概率公式，属于中档题.
由题中数据与已知公式，代入进行计算即可求解；
由题意知， X的可能取值为2，3，4，分别算出相应的概率，写出分布列，根据期望公式求出期望即可求解；
根据题意分别求出，再由全概率公式知：甲胜的概率，即可求解.
18.【答案】解：Ⅰ由题意知，椭圆离心率为，
得，又，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程为；
所以椭圆的焦点坐标为，
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为
Ⅱ设点，
则，，
，
又点在双曲线上，
，即，
Ⅲ假设存在常数，使得得恒成立，
则由Ⅱ知，
设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，
由方程组消y得：，
设，，
则由韦达定理得，，
，
同理可得，
，
，
存在常数，使得恒成立．
【解析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．
Ⅰ由题意知，椭圆离心率为，及椭圆的定义得到又，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
Ⅱ设点，根据斜率公式求得、，把点在双曲线上，即可证明结果；
Ⅲ设直线AB的方程为，则可求出直线CD的方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得，，代入，求得的值．
19.【答案】解：当时，，，
，，
设公共点为，
则，
切点为，
则，
所以切线方程为
因为，，
，，
设公共点为，
则e87b781aa55f58cd2736f4f43f056773
由①得，
代入②得，
即，
则，
令，
令，
，
1
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
则，
，
则
要证，
即证，
令，
，
令，
则，
x
+ 0 -
单调递增 极小大值 单调递减
，
且 ，
由知
，
则，
，
即

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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