北京市中国人民大学附属中学西山学校2025-2026学年九年级下学期中考零模数学（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市中国人民大学附属中学西山学校2025-2026学年九年级下学期中考零模数学（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-05 00:00:00 | ||
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文档简介
北京市中国人民大学附属中学西山学校2025-2026学年九年级下学期中考零模数学
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ）
A. 6.56×10 km B. 6.56×10 km C. 2×10 km D. 2×10 km
3.下列图形能折叠成三棱柱的是（）
A. B.
C. D.
4.有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的有（）个
（1）小智将一把直尺与一块三角板如图放置，若测得，则的度数为．
（2）正八边形的每个内角均等于．
（3）十边形的内角和等于．
（4）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是；从袋子中随机摸出两个球，一个是红球，一个是白球的概率也为．
（5）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值可以为，．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6.如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（ ）个
（1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分；（5）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边 AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10.因式分解 ．
11.方程的解为 ．
12.已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13.如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC.若，则∠DOC=_____．
14.为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共 千克．
15.如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ．
16.化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤①登记旧实验器材与废弃物 步骤②清洁实验台面 步骤③摆放新实验器材
大实验台 4 5 2
小实验台 3 1
(1) 现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费 分钟．
(2) 现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要 分钟．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.计算：．
四、解答题：本题共11小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
解不等式组：
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题4分)
下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
21.(本小题4分)
如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若平分，，，求四边形的面积．
(3) 在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是 ．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．
(1) 求函数的解析式；
(2) 已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围．
23.(本小题4分)
某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差
A m 85
B 87
C 8 n
(1) 任务1： ， ；
(2) 【数据分析与运用】任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断 A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由．
(3) 任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是 ．
①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变；
②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变；
③新增四个分数后， C款机器人运动能力得分的方差减小．
24.(本小题4分)
如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，的半径为3，，求的长．
25.(本小题4分)
某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系．
（小时） 0 1 2 4 6 8
0
0
(1) 在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象．
(2) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当净化时间约为 小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为 小时（结果保留小数点后一位）；
②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为 毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为 毫克/立方米．
26.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2) 将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．
①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围；
②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围．
27.(本小题4分)
如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接．
(1) 如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长；
(2) 如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明．
28.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段．
(1) 如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，）
①的所有可能值为 ；
②若点在第四象限，则点的坐标为 ：
(2) 当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】-6或2
13.【答案】54
14.【答案】145.6
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
【小题2】
13
17.【答案】解：
.
18.【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
19.【答案】解：
=+
=+
=，
∵x-3y-2=0，
∴x-3y=2，
∴原式==3．
20.【答案】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积： ．
卫生间面积： ．
客厅面积： ．
卧室面积： ．
由题意，可得．
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
21.【答案】【小题1】
证明：四边形是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形，
、、，
，
在中，，
即，
，
，
；
【小题3】
（2）（3）（4）
22.【答案】【小题1】
解：把代入，得：，
∴，
把代入得：，
解得，
∴函数；
【小题2】
解：当时，对每一个的值，需存在整数满足，
∵对所有成立，
∴，
整理得，
分三种情况讨论：
①当时，取（满足），则
，，
此时，不符合题意，舍去；
②当时，，则对于：
，
∵，
∴，
∴，即恒成立，
同时，说明与之间必然存在整数，符合题意；
③当时，取（满足），则
，，
此时，
若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围为．
23.【答案】【小题1】
9
83
【小题2】
解：A款机器人的综合成绩为：分，
B款机器人的综合成绩为：分，
C款机器人的综合成绩为：分，
由于
因此，综合成绩最高的是A款机器人；
【小题3】
24.【答案】【小题1】
解：连接．
，
．
与相切于点，
，
．
，
，
．
，
，
；
【小题2】
解：过点作于点．
∵，，
．
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
．
25.【答案】【小题1】
解：如图
【小题2】
2.2
2.9
11.8
9.2
26.【答案】【小题1】
解：，
则抛物线的顶点坐标为．
【小题2】
①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为，
当，图形如下图所示，
据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大；
当，图形如下图所示，
当，解析式为，
则点的坐标为，点的坐标为，
可得，
令，即当，随着的增加而增加，
的对称轴为，
则，解得，
综上，的取值范围为或．
②解：如图，当，抛物线为，当，，当，，
即在图形上，随着的增大而增大，
设，则，可转化为，
若对任意的，都有，
则，解得，
其中，则，
解得．
27.【答案】【小题1】
解：由题意得，，，
，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
即；
解得（负值已舍去），
在中，；
【小题2】
解：．
证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
28.【答案】【小题1】
或
【小题2】
解：如图：令交轴的负半轴于点，则，，
∵的弦，，
∴点到的距离为，
∴是以为圆心，为半径的圆的切线，
以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，
连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点与点关于直线对称，
∴此时直线经过，，
∴；
如图：
延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，
作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时直线经过点和，
∴；
综上所述，的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为．
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ）
A. 6.56×10 km B. 6.56×10 km C. 2×10 km D. 2×10 km
3.下列图形能折叠成三棱柱的是（）
A. B.
C. D.
4.有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的有（）个
（1）小智将一把直尺与一块三角板如图放置，若测得，则的度数为．
（2）正八边形的每个内角均等于．
（3）十边形的内角和等于．
（4）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是；从袋子中随机摸出两个球，一个是红球，一个是白球的概率也为．
（5）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值可以为，．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6.如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（ ）个
（1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分；（5）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边 AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10.因式分解 ．
11.方程的解为 ．
12.已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13.如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC.若，则∠DOC=_____．
14.为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共 千克．
15.如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ．
16.化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤①登记旧实验器材与废弃物 步骤②清洁实验台面 步骤③摆放新实验器材
大实验台 4 5 2
小实验台 3 1
(1) 现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费 分钟．
(2) 现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要 分钟．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.计算：．
四、解答题：本题共11小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
解不等式组：
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题4分)
下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
21.(本小题4分)
如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若平分，，，求四边形的面积．
(3) 在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是 ．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．
(1) 求函数的解析式；
(2) 已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围．
23.(本小题4分)
某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差
A m 85
B 87
C 8 n
(1) 任务1： ， ；
(2) 【数据分析与运用】任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断 A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由．
(3) 任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是 ．
①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变；
②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变；
③新增四个分数后， C款机器人运动能力得分的方差减小．
24.(本小题4分)
如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，的半径为3，，求的长．
25.(本小题4分)
某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系．
（小时） 0 1 2 4 6 8
0
0
(1) 在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象．
(2) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当净化时间约为 小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为 小时（结果保留小数点后一位）；
②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为 毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为 毫克/立方米．
26.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2) 将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．
①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围；
②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围．
27.(本小题4分)
如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接．
(1) 如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长；
(2) 如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明．
28.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段．
(1) 如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，）
①的所有可能值为 ；
②若点在第四象限，则点的坐标为 ：
(2) 当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】-6或2
13.【答案】54
14.【答案】145.6
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
【小题2】
13
17.【答案】解：
.
18.【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
19.【答案】解：
=+
=+
=，
∵x-3y-2=0，
∴x-3y=2，
∴原式==3．
20.【答案】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积： ．
卫生间面积： ．
客厅面积： ．
卧室面积： ．
由题意，可得．
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
21.【答案】【小题1】
证明：四边形是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形，
、、，
，
在中，，
即，
，
，
；
【小题3】
（2）（3）（4）
22.【答案】【小题1】
解：把代入，得：，
∴，
把代入得：，
解得，
∴函数；
【小题2】
解：当时，对每一个的值，需存在整数满足，
∵对所有成立，
∴，
整理得，
分三种情况讨论：
①当时，取（满足），则
，，
此时，不符合题意，舍去；
②当时，，则对于：
，
∵，
∴，
∴，即恒成立，
同时，说明与之间必然存在整数，符合题意；
③当时，取（满足），则
，，
此时，
若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围为．
23.【答案】【小题1】
9
83
【小题2】
解：A款机器人的综合成绩为：分，
B款机器人的综合成绩为：分，
C款机器人的综合成绩为：分，
由于
因此，综合成绩最高的是A款机器人；
【小题3】
24.【答案】【小题1】
解：连接．
，
．
与相切于点，
，
．
，
，
．
，
，
；
【小题2】
解：过点作于点．
∵，，
．
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
．
25.【答案】【小题1】
解：如图
【小题2】
2.2
2.9
11.8
9.2
26.【答案】【小题1】
解：，
则抛物线的顶点坐标为．
【小题2】
①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为，
当，图形如下图所示，
据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大；
当，图形如下图所示，
当，解析式为，
则点的坐标为，点的坐标为，
可得，
令，即当，随着的增加而增加，
的对称轴为，
则，解得，
综上，的取值范围为或．
②解：如图，当，抛物线为，当，，当，，
即在图形上，随着的增大而增大，
设，则，可转化为，
若对任意的，都有，
则，解得，
其中，则，
解得．
27.【答案】【小题1】
解：由题意得，，，
，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
即；
解得（负值已舍去），
在中，；
【小题2】
解：．
证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
28.【答案】【小题1】
或
【小题2】
解：如图：令交轴的负半轴于点，则，，
∵的弦，，
∴点到的距离为，
∴是以为圆心，为半径的圆的切线，
以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，
连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点与点关于直线对称，
∴此时直线经过，，
∴；
如图：
延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，
作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时直线经过点和，
∴；
综上所述，的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为．
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