专题04 实数及其简单运算（5大题型）专题04 实数及其简单运算（5大题型）同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题04 实数及其简单运算
【题型1】实数的概念和分类
【题型2】相反数、绝对值、倒数
【题型3】实数与数轴
【题型4】实数的大小比较
【题型5】实数的运算
【知识点1】无理数
1、无限不循环小数又叫作无理数.
2、常见的无理数的三种形式
(1)开方开不尽的数的方根；如：等；
(2)π及化简后含π的数；如：，π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.303 003 000 3…(相邻两个 3之间依次多一个0).
3、无理数与有理数的区别
(1)任何一个有理数都可以写成分数的形式(两个整数之比)，无理数不能写成分数的形式.
(2)任何一个有理数都可以写成有限小数(整数可以写成小数点后为0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.
【知识点2】实数及其分类
1、有理数和无理数统称实数.
2、实数的分类
【知识点3】实数与数轴
1、与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示.
(1)数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；
(2)表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度.
2、当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
3、实数的大小比较
(1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
(2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
【知识点4】实数的有关概念
1、一般地，对于实数同样有：
(1)数a的相反数是-a.一个正实数的绝对值是它本身；
(2)一个负实数的绝对值是它的相反数；
(3)0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则|a|=
2、实数的常用性质：
(1)相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0.
(2)倒数：若a与b互为倒数，则ab=1.
(3)绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|.
(4)平方根：非负数都有平方根.
(5)立方根：任意实数都有立方根.
【知识点5】实数的运算
1、实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
2、在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
(1)加法交换律 a＋b＝b＋a
(2)乘法交换律 a×b＝b×a
(3)加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(4)乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)
(5)分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
3、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
【题型1】实数的概念和分类
1．下列说法正确的是(　　)
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
2．下列说法正确的是(　　)
A.是分数　 　B.是无理数 C．π－3.14是有理数　　D.是有理数
3．在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有(　　)
A．185个　　B．186个 C．187个　　D．188个
4．下列数：6，－3.14，，0，－，0.，－，1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0)，其中属于整数的有____________；属于负分数的有____________；属于无理数的有____________________________________．
5．在实数，，0，－π，，，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_________．
【题型2】相反数、绝对值、倒数
6．π的倒数是(　　)
A．π　　B.　　C．－π　　D．－
7．下列各组数中，互为相反数的是(　　)
A．－与　　B.与－ C．|－|与　　D.与
8．求下列各数的相反数和绝对值：
－；；－；π－3.14；－.
【题型3】实数与数轴
9．已知数轴上点所表示的数是，则与点 相距2个单位长度的点表示的数是( )
A.或 B.或
C. D.
10．实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11．如图，把直径为1个单位长度的圆从点 沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点 表示的数是2，则滚动前点 表示的数是( )
A. B. C. D.
12．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆， 是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点.该半圆沿数轴从原点开始向右无滑动滚动，当点 第一次落在数轴上时，点表示的数为______.
13．如图，数轴上，，三点表示的数分别为，，，已知 是最小的正整数，且，满足 .
(1)求式子 的值；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点 重合的点表示的数；
(3)若数轴上的点满足，求点 表示的数．
【题型4】实数的大小比较
14．在0，，，四个数中，最大的数是( )
A. B.0 C. D.
15．在实数，，，中，最小的是( )
A. B. C. D.
16．如图，在数轴上点表示，点表示，则，两点之间表示整数的点有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
17．给出三个数：π，3， ，将它们按从小到大的顺序排列为( )
A. 3<π< B. π<3< C. <3<π D. π< <3
18．比较大小.(填“ ”“ ”或“ ”)
(1)___ ；
(2)___ .
19．在数轴上标出下列各数，并把它们用“ ”连接起来.
，，0，， .
【题型5】实数的运算
20．计算的结果是( )
A.0 B.4 C.8 D.12
21．下列各式中运算正确的是( )
A. B. C. D.
22．计算：＋(－1)2 028＝_______．
23．对于有理数a，b，定义min的含义为：当a＜b时，min＝a，例如：min＝－2.已知min＝a，min＝，且a和b为两个连续正整数，则ab－2的立方根为_______．
24．已知a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－，…，an＝－.定义：S1＝a1＝－1，S2＝a1＋a2＝(－1)＋(－)＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝(－1)＋(－)＋(－)＝－1，…，按此规律类推，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝_______．
25．计算：
(1)＋3－5＝_______；
(2)＋－＝_______；
(3)＋2 ＝_______．
26．计算：
(1)(＋)； (2)＋.
(3) ；
(4) ；
(5) .
27．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是可以用来表示的小数部分.因为的整数部分是1，所以减去这个数的整数部分，所得的差就是小数部分.请根据上述信息解答下列问题：
(1)的整数部分是___，小数部分是_________
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，，求的相反数．
28．先阅读，然后解答提出的问题.
若，都是有理数，且满足，求的值.
解：由题意得 .
因为， 都是有理数，
所以， 也都是有理数.
因为是无理数，所以， ，
所以，，所以 .
问题：若，都是有理数，且满足，求 的值.
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参考答案
【题型1】实数的概念和分类
1．下列说法正确的是(　　)
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
2．下列说法正确的是(　　)
A.是分数　 　B.是无理数 C．π－3.14是有理数　　D.是有理数
【答案】D
3．在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有(　　)
A．185个　　B．186个 C．187个　　D．188个
【答案】B
4．下列数：6，－3.14，，0，－，0.，－，1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0)，其中属于整数的有____________；属于负分数的有____________；属于无理数的有____________________________________．
【答案】6，0 －3.14，－ －，1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0)
5．在实数，，0，－π，，，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_________．
【答案】－1
【题型2】相反数、绝对值、倒数
6．π的倒数是(　B　)
A．π　　B.　　C．－π　　D．－
【答案】B
7．下列各组数中，互为相反数的是(　A　)
A．－与　　B.与－ C．|－|与　　D.与
【答案】A
8．求下列各数的相反数和绝对值：
－；；－；π－3.14；－.
解：－，，－，π－3.14，－的相反数分别是，，－，3.14－π，，绝对值分别是，，－，π－3.14，.
【题型3】实数与数轴
9．已知数轴上点所表示的数是，则与点 相距2个单位长度的点表示的数是( )
A.或 B.或
C. D.
【答案】A
【解析】与点相距2个单位长度的点可能在点 的左侧或右侧.当该点在点的右侧时，表示的数为；当该点在点 的左侧时，表示的数为.综上，与点相距2个单位长度的点表示的数是或 .
10．实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题中数轴可得 ，故选项A不符合题意；由及绝对值的意义知 ，故选项B不符合题意；由题中数轴可知，而，则， ，故 ，故选项C符合题意，选项D不符合题意.
11．如图，把直径为1个单位长度的圆从点 沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点 表示的数是2，则滚动前点 表示的数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由圆的直径为1，可得圆的周长为 ，圆上点滚动到点，滚动的距离是 ，因为点表示的数是2，所以滚动前点表示的数是.
12．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆， 是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点.该半圆沿数轴从原点开始向右无滑动滚动，当点 第一次落在数轴上时，点表示的数为______.
【答案】4+π
【解析】由半圆的直径为4，知圆的的长为 ,所以当点 第一次落在数轴上时，点距原点个单位长度，所以点表示的数为.
13．如图，数轴上，，三点表示的数分别为，，，已知 是最小的正整数，且，满足 .
(1)求式子 的值；
解：因为 ，
所以，，解得， ，
所以 .
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点 重合的点表示的数；
解：因为是最小的正整数，所以 .
因为(数轴沿表示 的点折叠)，
所以， ，
所以与点重合的点表示的数是 .
(3)若数轴上的点满足，求点 表示的数．
解：设点表示的数为 .分以下三种情况讨论：
若点在点的左侧，则，解得 (舍去)
(点左侧的点表示的数小于 )；
若点在，之间，则，解得 ；
若点在点的右侧，则，解得 ．
综上所述，点 表示的数是0或4．
【题型4】实数的大小比较
14．在0，，，四个数中，最大的数是( )
A. B.0 C. D.
【答案】C
15．在实数，，，中，最小的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，
， 最小的数是 .
16．如图，在数轴上点表示，点表示，则，两点之间表示整数的点有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】B
【解析】 ，， ，
与之间的整数有,0,1,2，， 两点之间表示整数的点有4个.
17．给出三个数：π，3， ，将它们按从小到大的顺序排列为( )
A. 3<π< B. π<3< C. <3<π D. π< <3
【答案】B
18．比较大小.(填“ ”“ ”或“ ”)
(1)___ ；
【解析】，，， .
(2)___ .
【解析】 ，， ，
， .
19．在数轴上标出下列各数，并把它们用“ ”连接起来.
，，0，， .
解：，，， .
在数轴上表示如图所示：
所以 .
【题型5】实数的运算
20．计算的结果是( )
A.0 B.4 C.8 D.12
【答案】A
【解析】 .
21．下列各式中运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】无法计算，故A项不符合题意； ，故B项不符合题意；，故C项符合题意； ，故D项不符合题意.
22．计算：＋(－1)2 028＝_______．
【答案】3
23．对于有理数a，b，定义min的含义为：当a＜b时，min＝a，例如：min＝－2.已知min＝a，min＝，且a和b为两个连续正整数，则ab－2的立方根为_______．
【答案】－1
24．已知a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－，…，an＝－.定义：S1＝a1＝－1，S2＝a1＋a2＝(－1)＋(－)＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝(－1)＋(－)＋(－)＝－1，…，按此规律类推，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝_______．
【答案】－1
25．计算：
(1)＋3－5＝_______；
(2)＋－＝_______；
(3)＋2 ＝_______．
【答案】3 － ＋
26．计算：
(1)(＋)；
解：原式＝8.
(2)＋.
解：原式＝.
(3) ；
解：
.
(4) ；
解：
．
(5) .
解： ．
27．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是可以用来表示的小数部分.因为的整数部分是1，所以减去这个数的整数部分，所得的差就是小数部分.请根据上述信息解答下列问题：
(1)的整数部分是___，小数部分是_________
【答案】4
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
解：， .
， .
.
(3)已知，其中是整数，，求的相反数．
解：， .
，其中是整数， ，
， ，
，
的相反数是 .
28．先阅读，然后解答提出的问题.
若，都是有理数，且满足，求的值.
解：由题意得 .
因为， 都是有理数，
所以， 也都是有理数.
因为是无理数，所以， ，
所以，，所以 .
问题：若，都是有理数，且满足，求 的值.
解：由题意,得 .
因为， 都是有理数，
所以和 也都是有理数.
因为是无理数，所以， ，
所以， ，
所以或 ．
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