19.1 二次根式的概念及性质 同步练习（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1 二次根式的概念及性质
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( )
A. x<3 B. x>3
C. x≥3 D. x≠3
3.已知a是负整数， 有意义，则a的值最大是 ( )
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
4.下列四个式子中结果为负数的是( )
A. B.
C. D.
5.如图是物理学中的一个单摆装置，小球从点 A 静止释放到点 C 再回到点A(忽略摩擦力和空气阻力)的时间为1个周期.已知周期 且重力加速度g取10 m/s .若一个单摆的摆长l为0.4m，则该单摆的周期T为 ( )
A. 0.4πs
B. 0.04πs
C. 0.02πs
D. 0.2πs
6.如果一个三角形的三边长分别为2，k，6，那么化简 的结果为( )
A. 11-k B. 3k-11
C. k+5 D. k-11
二、填空题(每小题3分，共12分)
7.当 时，二次根式 的值为 .
8.已知长方形的面积是20，若长是宽的2倍，则该长方形的宽是 .
9.若 则 的值为 .
10.若实数a,b 满足 则a+b的值为 .
三、解答题(共40分)
11. (8分)计算:
12.(10分)实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简
13.(10分)如图①，小明在做浮力实验时，用一根细线将一个底面为正方形的长方体铁块完全浸入到原本盛满水的烧杯中(烧杯近似看作圆柱体，且有水溢出，忽略细线体积).如图②，在拿出铁块后，烧杯中水面下降了2cm(π取3).
(1)设溢出的水的体积为 V cm ，求烧杯的底面半径r的长(用含 V的代数式表示)；
(2)已知铁块底面的边长为3cm,高为4 cm，求烧杯的底面半径r的长.
14. (12 分)观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式为 ；
(2)写出你猜想的第n个等式(n为正整数，用含 n的式子表示)，并证明；
(3)计算 的值.
1. A 【解析】形如 的式子叫做二次根式.∵2>0,∴ 是二次根式，故 A 选项符合题意；∵-3<0,∴ 不是二次根式，故B 选项不符合题意； 不是二次根式，故 C选项不符合题意；∵a的正负性不能确定，故D 选项不符合题意.
2. C 【解析】由题意得x-3≥0,解得x≥3.
3. A 【解析】∵ 有意义,∴1-3a≥0,∴a≤ .又∵a为负整数，∴a的最大值是-1.
4. D 【解析】 故 A 选项不符合题意； 故 B 选项不符合题意； 故C选项不符合题意； -0.6，故D 选项符合题意.
5. A 【解析】∵周期为 将l=0.4m, 代入，可得
6. B 【解析】∵三角形的三边长分别为2,k,6,∴40,k-8<0,∴ 原式=2k-3-|k-8|=2k-3-(8-k)=3k-11.
7. 2 【解析】将 代入，得
8. 【解析】设长方形的宽是x，则长方形的长是2x，由题意得 解得 故长方形的宽是
9. 2 【解析】∵ 1=0,解得
10. - 1 【解析】∵ ∴a=±3.又∵3-a≠0,∴a≠3,∴a=-3,b=2,∴a+b=-3+2=-1.
11.解:(1)原式=π-3; (2分)
(2)原式 ( 2分)
(3)原式 (2分)
(4)原式
∵x>0,∴原式 (2分)
12.解:根据题图,得a>0>b>c,|c|>|a|>|b|,
∴b-c>0,a+b>0,c-a<0,
∴原式
=(b-c)-(a+b)+(a-c)
=b-c-a-b+a-c
=-2c. (10分)
13.解:(1)∵2πr =V,即
(5分)
(2)∵长方体的底面为正方形且边长为3 cm,高为4cm,
∴溢出的水的体积为(
∴由(1)可知，烧杯的底面半径 (10分)
14.解: (4分)
(2)第n个等式为 (5分)
证明：左边
右边=2n+1,
∴左边=右边，
∴等式成立； (8分)
=3+5+7+…+51
=675. (12分)