第7课时 最大公因数
一、在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【答案】 1 4 18 3 7 11
【分析】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；
除了分子和分母是互质数的情况外，其他的可以用短除法求各个分数中分子和分母的最大公因数；
用短除法求最大公因数，先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】（1）因为7和9是互质数，
所以7和9的最大公因数是1
（2）
8和36的最大公因数：2×2＝4
（3）
18和72的最大公因数：2×3×3＝18
（4）
9和15的最大公因数：3
（5）
21和49的最大公因数：7
（6）
11和66的最大公因数：11
二、写出下面各数与3、7的最大公因数，你能发现什么规律
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
与3的最大公因数
我发现：当一个数是质数的倍数时，它们的最大公因数是( )；当一个数不是质数的倍数时，它们的最大公因数是( )．
利用刚才发现的规律，直接写出下面各组数的最大公因数。
（7，12）＝( ) （ 5，15）＝( ) （44，11）＝( )
【答案】 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 质数本身 1 1 5 11
【详解】略
三、利用分解质因数的方法（短除法的形式），求出下面各组数的最大公因数。
45和60 26和78 286和429 42，168和126
【答案】15；26；143；42
【分析】两求个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】45和60的最大公因数是3×5＝15
26和78的最大公因数是26
286和429的最大公因数是143
42，168和126的最大公因数是42
四、填一填。
1．已知a＝2×3×5×7，b＝2×2×3×3×5×11，则a和b的最大公因数是( )。
【答案】30
【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，据此解答即可。
【详解】因为a＝2×3×5×7，b＝2×2×3×3×5×11，则a和b的最大公因数是2×3×5＝30。
2．按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。
(1)两个数都是合数：（ ）和（ ）。 (2)一个质数，一个合数：（ ）和（ ）。
(3)一个奇数，一个合数：（ ）和（ ）。(4)一个质数，一个偶数：（ ）和（ ）。
【答案】(1) 8 25 (2) 5 9 (3) 7 12 (4) 11 18
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。两数互质，最大公因数是1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数。
能被2整除的数叫做偶数，不能被整数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；1不是质数；一个自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数，这样的数叫做合数；据此解答。
【详解】(1)两个数都是合数：8和25。（答案不唯一）
(2)一个质数，一个合数：5和9。（答案不唯一）
(3)一个奇数，一个合数：7和12。（答案不唯一）
(4)一个质数，一个偶数：11和18。（答案不唯一）
3．如果a＝4b（a、b为非零自然数），那么a和b的最大公因数是( )，如果x和y（x、y为非零自然数）的最大公因数是1，那么x和y的最小公倍数是( )。
【答案】 b xy
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；如果x和y（x、y为非零自然数）的最大公因数是1，说明这两个数互质，最小公倍数就是这两个数的乘积。
【详解】由分析可得，如果a＝4b（a、b为非零自然数），那么a和b的最大公因数是b，如果x和y（x、y为非零自然数）的最大公因数是1，那么x和y的最小公倍数是xy。
4．三个连续偶数的和是24，这三个数的最大公因数是( )。
【答案】 2
【详解】中间的偶数：24÷3＝8
所以三个连续偶数分别为6、8、10。
，所以最大公因数为2。
【点睛】三个连续偶数之间的关系为n－2，n，n＋2，熟悉并正确应用这种关系，是解答本题关键所在。
5．两个自然数的最大公因数是15，这两个数的全部公因数是（ ）。
【答案】1、3、5、15
【分析】这两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数；因为15的因数有1、3、5、15；据此解答即可。
【详解】因为15的因数有1、3、5、15，共4个；
【点睛】解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答；应明确：两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数。
6.两个数的最大公因数是10，这两个数的积是600，这两个数分别是( )和( )。
【答案】 20 30
【分析】两个数的最大公因数是10，这两个数公有的质因数是2和5，将600分解质因数，将质因数分成含2×5的两组，分别乘起来即可。
【详解】，600＝2×2×2×3×5×5，2×2×5＝20，2×3×5＝30，这两个数分别是20和30；
或者2×5＝10，2×2×3×5＝60，这两个数分别是10和60。
【点睛】本题考查了最大公因数和合数分解质因数，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积。
五、问题解决。
1．芳芳家要给卧室铺地砖，她通过测量发现卧室长3.6米、宽2.8米。请你帮助她解答下面的问题。
（1）如果用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，那么选择的地砖边长最大是多少分米？
（2）如果用长方形地砖铺满，且都用整块的地砖，购买长9分米，宽6分米的地砖符合要求吗？用你喜欢的方式说明理由，可以写一写或者画一画等。
【答案】（1）4分米 （2）不符合；见详解
【分析】（1）3.6米＝36分米，2.8米＝28分米，用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，求选择的地砖边长最大是多少，就是求36和28的最大公因数，列出36和28的所有因数，再找出它们的最大公因数，据此解答。
（2）用长方形地砖铺满，且都用整块的地砖，必须满足长方形的长能够整除36，且宽能够整除28，或者长方形的长能够整除28，且宽能够整除36，据此解答。
【详解】（1）3.6米＝36分米；2.8米＝28分米
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
28的因数：1、2、4、7、14、28。
36和28的最大公因数是4。
答：选择的地砖边长最大是4分米。
（2）购买长9分米、宽6分米的地砖不符合要求。理由如下：
无论是9分米的边，还是6分米的边都不能整块摆在卧室的宽边上。
答：购买长9分米、宽6分米的地砖不符合要求。
2．大理石是重结晶的石灰岩，因最初产地在我国云南大理而得名，主要用于加工成各种形材。当地一家加工厂将一块长60厘米、宽4分米、高32厘米的大理石截成同样大小的正方体（棱长为整厘米数），且没有剩余，截成的正方体的棱长最长是多少？一共可以截成多少个这样的正方体？
【答案】4厘米；1200个
【分析】4分米＝40厘米，由题意可知，求截成的正方体的棱长最长是多少，就是求60、40、32的最大公因数，先把60、40、32分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；用60、40、32分别除以它们的最大公因数，再把它们的商相乘即可解答。
【详解】4分米＝40厘米
60＝2×2×3×5
40＝2×2×2×5
32＝2×2×2×2×2
60、40、32的最大公因数是2×2＝4
所以正方体棱长最长是4厘米；
（60÷4）×（40÷4）×（32÷4）
＝15×10×8
＝150×8
＝1200（块）
答：截成的正方体的棱长最长是4厘米，一共可以截成1200个这样的正方体。
3．五（7）班举行了庆祝元旦的美食分享会，家长们准备了115个小面包，148个蛋挞，74个橘子，平均分给班上的同学们。结果小面包多了7个，蛋挞多了4个，橘子多了2个，这个班最多有多少名同学？
【答案】36名
【分析】首先计算实际分发的各类食物数，再找出这些数的最大公因数，即为班级最多的同学数，据此解答。
【详解】小面包：115－7＝108（个）
蛋挞：148－4＝144（个）
橘子：74－2＝72（个）
108、144、72的最大公因数是：2×2×3×3＝36，所以，这个班最多有36名同学。
答：这个班最多有36名同学。
【点睛】本题考查最大公因数，熟练掌握用短除法求最大公因数是解题的关键。
六、马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？
【答案】马超：10枚；刘涛：9枚；王阳：6枚
【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。
【详解】540＝2×2×3×3×3×5
化为：540＝（2×3）×（2×5）×（3×3）
540＝6×10×9
因为：
10－9＝1
9－6＝3
马超买的邮票枚数－刘涛买的邮票枚数＝1（枚）
刘涛买的邮票枚数－王阳买的邮票枚数＝3（枚）
所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。
答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。
【点睛】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。
2
3第7课时 最大公因数
一、在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
二、写出下面各数与3、7的最大公因数，你能发现什么规律
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
与3的最大公因数
我发现：当一个数是质数的倍数时，它们的最大公因数是( )；当一个数不是质数的倍数时，它们的最大公因数是( )．
利用刚才发现的规律，直接写出下面各组数的最大公因数。
（7，12）＝( ) （ 5，15）＝( ) （44，11）＝( )
三、利用分解质因数的方法（短除法的形式），求出下面各组数的最大公因数。
45和60 26和78 286和429 42，168和126
四、填一填。
1．已知a＝2×3×5×7，b＝2×2×3×3×5×11，则a和b的最大公因数是( )。
2．按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。
(1)两个数都是合数：（ ）和（ ）。 (2)一个质数，一个合数：（ ）和（ ）。
(3)一个奇数，一个合数：（ ）和（ ）。(4)一个质数，一个偶数：（ ）和（ ）。
3．如果a＝4b（a、b为非零自然数），那么a和b的最大公因数是( )，如果x和y（x、y为非零自然数）的最大公因数是1，那么x和y的最小公倍数是( )。
4．三个连续偶数的和是24，这三个数的最大公因数是( )。
5．两个自然数的最大公因数是15，这两个数的全部公因数是（ ）。
6.两个数的最大公因数是10，这两个数的积是600，这两个数分别是( )和( )。
五、问题解决。
1．芳芳家要给卧室铺地砖，她通过测量发现卧室长3.6米、宽2.8米。请你帮助她解答下面的问题。
（1）如果用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，那么选择的地砖边长最大是多少分米？
（2）如果用长方形地砖铺满，且都用整块的地砖，购买长9分米，宽6分米的地砖符合要求吗？用你喜欢的方式说明理由，可以写一写或者画一画等。
2．大理石是重结晶的石灰岩，因最初产地在我国云南大理而得名，主要用于加工成各种形材。当地一家加工厂将一块长60厘米、宽4分米、高32厘米的大理石截成同样大小的正方体（棱长为整厘米数），且没有剩余，截成的正方体的棱长最长是多少？一共可以截成多少个这样的正方体？
3．五（7）班举行了庆祝元旦的美食分享会，家长们准备了115个小面包，148个蛋挞，74个橘子，平均分给班上的同学们。结果小面包多了7个，蛋挞多了4个，橘子多了2个，这个班最多有多少名同学？
六、马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？
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