突破练6　函数的概念及其表示--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练6　函数的概念及其表示
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·贵州贵阳三模)已知函数f(x)=则f(f(-1))=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
[错题笔记]
2.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(1,5)
B.(-∞,1)∪(5,+∞)
C.(-∞,1]∪(5,+∞)
D.(-∞,1]∪[5,+∞)
[错题笔记]
3.(2026·山西太原期中)已知函数f(x)=,则f()f()…f()=(　　)
A. B.5
C.9 D.10
[错题笔记]
4.网购女鞋时,常常会看到一张女鞋尺码对照表,如图所示,第一行是我们习惯称呼的“鞋码”(单位:号),第二行是脚长(单位:mm),请根据表中数据,思考:网店正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动,那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是(　　)
鞋码 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A.[201,205] B.[206,210]
C.[211,215] D.[216,220]
[错题笔记]
5.(2025·湖北黄冈二模)已知函数f(x)=x2的定义域A R,值域B={9},则满足条件的f(x)有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
[错题笔记]
6.(2025·北京朝阳二模)已知函数f(x)=|x|-|x-2|+1,则对任意实数x,有(　　)
A.f(1-x)=2-f(1+x)
B.f(-x)=-f(x)-2
C.f(2-x)=2+f(x)
D.f(2+x)=f(2-x)
[错题笔记]
7.(多选)已知f(2x+1)=4x2,则下列结论正确的是(　　)
A.f(-3)=16
B.f(x)=4x2
C.f(x)=16x2+16x+4
D.f(x)=x2-2x+1
[错题笔记]
8.(多选)十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念:若函数f(x)满足f(x)·f(-x)=1,则称f(x)为“倒函数”.下列函数为“倒函数”的是(　　)
A.f(x)=1 B.f(x)=x2
C.f(x)=ex D.f(x)=ln x
[错题笔记]
9.(2025·吉林模拟预测)已知函数f(x)=若f(f(f(m)))=,则f(m)=　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·湖南邵阳模拟)已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,4],则函数g(x)=的定义域为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2026·湖南长沙模拟)已知函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],则函数y=f(x+1)的定义域和值域分别为(　　)
A.[0,2]和[6,10]
B.[-2,0]和[6,10]
C.[0,2]和[5,9]
D.[-2,0]和[5,9]
[错题笔记]
12.(2026·内蒙古开学考试)设定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足2f(x)+f()=6x+,则f(x)f()的最小值是(　　)
A.16 B.25
C.20 D.36
[错题笔记]
13.(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),若f(-1)=,则f(4)=(　　)
A.1 B.16 C.128 D.256
[错题笔记]
14.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,则当x∈[1,2)时,f(x)=　　　　　　　　 .
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　)
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
[错题笔记]
16.给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.
(1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为　　　　　;(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.C　因为f(x)=则f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=2.故选C.
2.C　由题意得,解得x≤1或x>5,∴函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪(5,+∞).故选C.
3.C　由题设f()=,
故f()f()…f()=…=9.故选C.
4.B　设“脚长”为y,“鞋码”为x,根据题意发现x与y满足y=5x+50的函数关系,当x=32时,y=5×32+50=210.故选B.
5.C　令f(x)=x2=9,则x=±3,则满足条件的f(x)有f(x)=x2,x∈{3};f(x)=x2,x∈{-3};f(x)=x2,x∈{-3,3},故满足条件的f(x)有3个.故选C.
6.A　因为f(x)=|x|-|x-2|+1=作出函数图象,如图,
由图象可知,函数图象关于点(1,1)中心对称,故A正确;图象不关于点(0,-1)对称,故B错误;当x=1时,f(2-1)=1≠2+f(1)=3,故C错误;令x=-1,则f(2-1)=1≠f(3)=3,故D错误.故选A.
7.AD　依题意,f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)+1,因此f(x)=x2-2x+1,故B,C错误,D正确;显然f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16,故A正确.
8.AC　对于A,f(x)=1,则f(-x)=1,所以f(x)·f(-x)=1,故A正确;对于B,f(x)=x2,则f(2)·f(-2)=16,故B错误;对于C,f(x)=ex,则f(-x)=e-x,所以f(x)·f(-x)=ex·e-x=e0=1,故C正确;对于D,f(x)=ln x定义域为(0,+∞),则当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),此时f(-x)无意义,故D错误.故选AC.
9　设f(m)=k,f(k)=n,则f(n)=,当n≤0时,f(n)=n2=,∴n=-=f(k),k无解,不符合题意;当n>0时,f(n)=n+2=,∴n==f(k);当k≤0时,f(k)=k2=,∴k=-=f(m),m无解,不符合题意;当k>0时,f(k)=k+2=,∴k==f(m).
10.(2,3)　因为函数y=f(x+1)的定义域是[2,4],所以2≤x≤4,故2x+1≤3,因为g(x)=有意义,所以所以211.D　由函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],可得x∈[-1,1]和f(x)∈[5,9],令-1≤x+1≤1,解得-2≤x≤0,所以函数y=f(x+1)的定义域为[-2,0],又由函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,得到y=f(x+1)的图象,所以函数y=f(x+1)与函数y=f(x)的值域相同,即f(x+1)∈[5,9].故选D.
12.B　对于2f(x)+f()=6x+,代入,得2f()+f(x)=+9x,则2[2f(x)+f()]-[2f()+f(x)]=3f(x)=2(6x+)--9x,得f(x)=x+,则f(x)f()=(x+)(+4x)=4x2++17≥2+17=25,当且仅当4x2=,即x=±1时,等号成立,故f(x)f()的最小值是25.故选B.
13.D　由题设f(0)=f(0+0)=[f(0)]2,则f(0)=0或f(0)=1,若f(0)=0,令x1=x,x2=0,则对于任意x有f(x)=f(x)f(0)=0,而f(-1)=,不符合题意,所以f(0)=1,则f(0)=f(1-1)=f(1)f(-1)=1,故f(1)==4,由f(4)=f(2+2)=[f(2)]2=[f(1)]4=44=256.故选D.
14　根据f(x)=2f(x+1)得,f(x-1)=2f(x).当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x-1)=,所以f(x)=f(x-1)=
15.B　∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000.∴f(20)>1 000.结合各选项知,选项B一定正确.
16.(1)a(a为正整数)　(2)16　由定义知,该函数满足两个条件,一是定义域为正整数集,值域为正整数集或它的子集,二是对于任意大于k的正整数n有f(n)=n-k.
(1)由k=1,∴f(n)=
故当n=1时,函数f(1)为任意一个正整数a.
(2)∵k=4,当n≤4时,2≤f(n)≤3,
∴f(1)=2或3,且f(2)=2或3,且f(3)=2或3,且f(4)=2或3,根据分步乘法计数原理可得f的个数为2×2×2×2=16.
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