突破练7　函数的单调性与最值--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练7　函数的单调性与最值
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是(　　)
A. B.- C.-2 D.2
[错题笔记]
2.(2025·北京顺义一模)下列函数中,单调递增且值域为[0,+∞)的是(　　)
A.y=x2 B.y=
C.y=3x-1 D.y=log2x
[错题笔记]
3.(2025·江西南昌二模)若函数f(x)=2 026|x-a|在区间[2 027,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(　　)
A.[2 027,+∞) B.(0,2 027]
C.(-∞,2 027) D.(-∞,2 027]
[错题笔记]
4.(原创)已知定义域为R的函数f(x),对 x1,x2∈R,x1A.f(3)C.f(2)[错题笔记]
5.(2025·天津模拟)已知a,b∈(0,+∞),则“a>b”是“a->b-”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
6.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,且函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”,区间I叫做“可变区间”.若函数f(x)=x2-4x+2是区间I上的“可变函数”,则“可变区间”I为(　　)
A.(-∞,-)和[,2]
B.[,2]
C.(0,]
D.[1,]
[错题笔记]
7.(多选)(2026·湖南长沙模拟)如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是(　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.<0
[错题笔记]
8.(多选)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在R上为增函数
B.f(e)>f(2)
C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0
D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]
[错题笔记]
9.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·陕西安康模拟)已知函数f(x)的图象关于(2,0)中心对称,且f(x)在[2,+∞)上单调递减,若f(3-2a)+f(4a+5)>0,则实数a的取值范围为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(一题多解)(2025·湖南长沙模拟)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正数a,b都有f(ab)=f(a)·f(b)≠0,且当x>1时,f(x)<1,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是增函数,且f(x)<0
B.f(x)是增函数,且f(x)>0
C.f(x)是减函数,且f(x)<0
D.f(x)是减函数,且f(x)>0
[错题笔记]
12.(原创)定义在D上的函数f(x),若满足:存在常数M>0,对任意x∈D,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数.下列函数中,是在其定义域上的有界函数的为(　　)
A.y=tan(x+)
B.y=2x
C.y=
D.y=x-[x]([x]表示不大于x的最大整数)
[错题笔记]
13.已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且f[f(x)+]=,则f(1)+f(3)=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
[错题笔记]
14.已知命题p:“若f(x)[错题笔记]
素养·提升练
15.(2024·新高考Ⅱ,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
[错题笔记]
16.(2025·甘肃甘南模拟)已知函数f(x)的定义域为D,若 x∈D,都有f(x+t)>f(x),t∈N*,则称函数f(x)为“t距”增函数.若函数f(x)=(a∈R),且f(x)是(-1,+∞)上的“3距”增函数,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,+∞) B.(-3,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-2)
[错题笔记]
参考答案
1.A　因为函数y=-x和y=在[-2,-]上均单调递减,所以f(x)=-x+在[-2,-]上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=2-
2.B　对A,函数在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故A不满足题意;对B,函数在[-1,+∞)上单调递增,且函数值域为[0,+∞),故B满足题意;对C,函数在R上单调递增,且函数值域为(0,+∞),故C不满足题意;对D,函数在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故D不满足题意.故选B.
3.D　根据函数f(x)=2 026|x-a|在区间[2 027,+∞)上单调递增,且y=2 026x单调递增,可得y=|x-a|在区间[2 027,+∞)上单调递增,所以a≤2 027.故选D.
4.B　因为 x1,x2∈R,x10,即f(x1)>f(x2),可知f(x)是R上的减函数,且π>3>2,所以f(π)5.C　令f(x)=x-(x>0),∵y=x,y=-在(0,+∞)上都为增函数,
∴f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,又a,b∈(0,+∞),∴a>b f(a)>f(b),即“a>b”是“a->b-的充要条件.故选C.
6.A　因为函数f(x)=x2-4x+2图象的对称轴为直线x=2,所以函数y=f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,又当x≤2且x≠0时,=x+-4,令g(x)=x+-4(x≤2且x≠0),则g(x)在(-∞,-)和[,2]上单调递增,故f(x)的“可变区间”I为(-∞,-)和[,2].
7.AB　由函数单调性的定义,可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,A,B正确,D错误;对于C,∵x1,x2的大小关系无法判断,∴f(x)的单调性也无法判断,C错误.
8.BC　易知f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增,故A错误,B正确;若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥0或a+1≤0,即a≤-1或a≥0,故C正确;当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],故x∈[-1,1]时,f(x)∈(-∞,2],故D错误.
9.[0,1)　由题意知g(x)=
函数图象如图实线部分所示,根据图象可知,函数g(x)的单调递减区间是[0,1).
10.(-∞,-2)　由函数f(x)的图象关于(2,0)中心对称,则f(4-x)=-f(x).又因为f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以当x∈[2,+∞)时,f(x)≤0,且f(x)在(-∞,2)上单调递减,且f(x)>0,可得f(x)在R上单调递减.又因为f(3-2a)=-f(1+2a),所以f(3-2a)+f(4a+5)>0,可得f(4a+5)>f(1+2a),则4a+5<1+2a,得a<-2.
11.D　(方法1)取f(x)=(x>0),满足题干条件,则f(x)是减函数,且f(x)>0.
(方法2)当x>0时,f(x)=f()=[f()]2>0.设x1>x2>0,则>1,由已知得f()<1,∴f(x1)-f(x2)=f(x2)-f(x2)=f()·f(x2)-f(x2)=f(x2)[f()-1]<0,即f(x1)12.D　对于A,当x时,|y|→+∞,A选项错误;y=2x在区间(0,+∞)上,y∈(1,+∞),B选项错误;对于C,当x→0时,|y|→+∞,C选项错误;因为y=x-[x]∈[0,1),对任意x∈D,都有|y|≤1成立,D选项正确.故选D.
13.B　由题得f(x)为单调函数,令f(x)+=m(m为大于0的常数),f(m)=,所以m-2m2-m-6=0,解得m=2,则f(x)=2-,则f(1)+f(3)=2-3+2-1=0.故选B.
14.f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)(答案不唯一,只要满足题意即可)　由f(x)=(x-1)2,x∈(0,4),则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减后单调递增,当x=1时,函数值最小,且f(x)15.C　当x≤-a时,x+a≤0,当x≥-a时,x+a≥0,当-b所以a2+b2=(a+1)2+a2=2,当且仅当a=-,b=时,等号成立.故选C.
16.B　∵函数f(x)=(a∈R),且f(x)是(-1,+∞)上的“3距”增函数,∴当x>-1时,f(x+3)-f(x)>0恒成立.又y=2x为增函数,∴(x+3)2+a(x+3)>x2+a|x|.当x≥0时,(x+3)2+a(x+3)>x2+ax,即2x+a+3>0恒成立,于是a+3>0,解得a>-3;当-1x2-ax,即2ax+6x+3a+9>0恒成立,整理得(2x+3)(a+3)>0,解得a>-3.综上,实数a的取值范围为(-3,+∞).故选B.
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