突破练8　函数的奇偶性与周期性--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练8　函数的奇偶性与周期性
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·浙江杭州一模)函数f(x)=
是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
[错题笔记]
2.(2025·浙江台州三模)已知函数f(x)=(a∈R)为奇函数,则f(a)=(　　)
A. B. C. D.2
[错题笔记]
3.(2026·黑龙江绥化开学考试)已知函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是(　　)
A.f(-1)B.f(1)C.f(1)D.f(2)[错题笔记]
4.(2025·河南郑州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x,y,都有f(x)+f(y)=f(x+y)+a,则a=(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-1
[错题笔记]
5.(2026·山东临沂开学考试)已知奇函数f(x)满足对于任意的实数x,都有f(x+2)=-,且f(1)=,则f(2 027)=(　　)
A.- B.
C.-1 D.1
[错题笔记]
6.(2026·江苏南通开学考试)若定义在R上的函数f(x)满足:f(2x-1)为偶函数,f(x+1)为奇函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=|x|,则f()=(　　)
A.- B.0 C. D.
[错题笔记]
7.(多选)已知函数f(x)和g(x)的定义域为R,若f(x)的最小正周期为a,g(x)的最小正周期为b,则(　　)
A.f(x)+g(x)为周期函数
B.f(x)g(x)为周期函数
C.f()+g()为周期函数
D.f()g()为周期函数
[错题笔记]
8.(原创)(多选)f(x)是定义在R上的偶函数,对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(2-x),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.f(2 025)=0
C.当x∈[2,3]时,f(x)=-log2(4-x)
D.函数f(x)在[0,2 026]内有1 010个零点
[错题笔记]
9.(2025·陕西榆林模拟)若奇函数f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R),则f(1)=　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·贵州六盘水三模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x),x∈[0,2]时,f(x)=mex-1,则f(31)=　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2026·安徽合肥开学考试)已知定义在[1-m,2m-3]上的偶函数f(x),且当x∈[0,2m-3]时,f(x)单调递增,则关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是(　　)
A.(0,1) B.(,1]
C.(0,] D.(,2]
[错题笔记]
12.(2025·广东广州三模)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R,且满足g(x)=f(x)+e-x,则[f(x)]2+[g(x)]2=(　　)
A.1 B.-1
C.f(2x) D.g(2x)
[错题笔记]
13.(多选)(2026·山东临沂模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)
[错题笔记]
14.(2025·云南曲靖模拟)函数f(x)=ln(ex+1)可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,则h(x)的最小值为　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2025·河南周口模拟)已知函数f(x)的定义域为[0,+∞),f()0,则(　　)
A.f(2)>0
B.f(10)>9f(9)
C.f(5)D.
[错题笔记]
16.(2026·陕西延安模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当0A.-2- B.2+
C.6 D.8+
[错题笔记]
参考答案
1.B　当x>0时,-x<0,则f(-x)=x-1=f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x-1=f(x),又f(0)=-1.综上,对任意x都有f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
2.C　当x<0时,-x>0,则f(-x)=2-x=()x=-f(x)=ax,所以a=,f()=故选C.
3.B　因为函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,所以对 x∈R,f(-x+1)=f(x+1),所以y=f(x)关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3).又因为y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(1)4.C　令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)+a,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,f(0)=0,则a=0.故选C.
5.A　由f(x+2)=-,得f(x)的周期T=4,f(2 027)=f(506×4+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-
6.A　由f(2x-1)为偶函数,得f(-2x-1)=f(2x-1),即f(-x-1)=f(x-1),f(-x-2)=f(x);由f(x+1)为奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+2)=-f(x),因此f(-x-2)=-f(-x+2),即f(x+4)=-f(x),则f(x+8)=f(x),所以f()=f()=-f(-)=-故选A.
7.CD　当是无理数时,f(x)+g(x)和f(x)g(x)可能不为周期函数,故A,B错误;f()=f(+a)=f(),g()=g(+b)=g(),f()和g()的周期均为ab,因此f()g()和f()+g()均有为ab的周期,故C,D正确.
8.ABC　∵f(x)是定义在R上的偶函数,且对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数的周期为4,A正确;f(2 025)=f(1)=0,B正确;当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],则f(x)=-f(x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),C正确;由题意知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 023)=f(2 025)=0,于是函数f(x)在[0,2 026]内有1 013个零点,D错误.
9.6　依题意f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)为奇函数,则-x3+(a-5)x2-ax=-x3-(a-5)x2-ax,即(a-5)x2=0,可得a-5=0,即a=5,故f(x)=x3+5x,则f(1)=13+5=6.
10.1-e　因为定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(1-x),所以f(x+3)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x-4+3)=-f[1-(x-4)]=-f(5-x)=f(x-5),即f(x)=f(x+8),故f(x)的周期为8,当x∈[0,2]时,f(x)=mex-1,则f(0)=m-1=0,所以m=1,所以f(31)=f(-1)=-f(1)=1-e.
11.B　由题意,函数f(x)是定义在[1-m,2m-3]上的偶函数,所以1-m+2m-3=0,解得m=2,即函数f(x)的定义域为[-1,1],当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,所以当x∈[-1,0]时,f(x)单调递减,关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m),
即f(2x-1)>f(x-1),
所以解得所以原不等式的解集为(,1].故选B.
12.D　∵g(x)=f(x)+e-x,∴g(-x)=f(-x)+ex.∵f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,∴g(-x)=g(x),f(-x)=-f(x),∴f(x)+e-x=f(-x)+ex=-f(x)+ex,∴f(x)=,g(x)=f(x)+e-x=+e-x=,∴[f(x)]2+[g(x)]2==g(2x).故选D.
13.CD　由题知函数f(x)的定义域为R,因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2),于是f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.故选CD.
14.ln 2　由题意g(x)+h(x)=ln(ex+1),则g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=ln(e-x+1),两式相加得2h(x)=ln(ex+1)+ln(e-x+1),则h(x)=ln(ex+1)(e-x+1)=ln(ex++2),又ex++2≥2+2=4,当且仅当ex=,即x=0时,等号成立,所以h(x)min=ln 4=ln 2.
15.C　令x=y=1,则f(1)0,可得f(2)<0,A错误;令y=x,则f(x)-f(x+1)>f(1)>0,可得f(x+1)i,所以i=,D错误.故选C.
16.B　因为f(x)是R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),又由f(1+x)=f(1-x)可得f(-x)=f(x+2),则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4为函数f(x)的一个周期.因为当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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