突破练9 函数的对称性及应用--2026全国版高中数学突破练(含答案)
文档属性
| 名称 | 突破练9 函数的对称性及应用--2026全国版高中数学突破练(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026全国版高中数学突破练
突破练9 函数的对称性及应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·山东聊城检测)函数y=2-x与y=-2x的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x轴对称
[错题笔记]
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=2对称,当0A.2 B.-2 C.-4 D.4
[错题笔记]
3.(2025·河南郑州一模)已知曲线y=ln-x+a关于点(-1,0)中心对称,则a=( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
[错题笔记]
4.(原创)函数f(x)=x9+x8+x7+…+图象的对称中心为( )
A.(0,-1) B.(0,1)
C.(1,0) D.(-1,0)
[错题笔记]
5.(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,则( )
A.f(0)=1 B.f(1)=-1
C.f(2)=0 D.f(3)=0
[错题笔记]
6.(2025·重庆阶段练习)已知函数f(x)=log3|ax-1|(a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=( )
A.2 B.1 C. D.
[错题笔记]
7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.f(x)的周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
[错题笔记]
8.(多选)设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是( )
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
[错题笔记]
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)= .
①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.
[错题笔记]
10.(原创)已知函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,f(0)=1,则f(2 030)= .
[错题笔记]
11.(15分)(原创)已知函数f(x)是R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)的值.
能力·高分练
12.(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=6-f(-x),g(x)=+3,若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m C.2m D.3m
13.(2025·宁夏吴忠二模)定义在R上的函数f(x)满足f(-1+x)+f(-1-x)=0,且f(1+x)+f(1-x)=0,当x∈[-1,0)时,f(x)=ex-a,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-b,则f(x)的最小值为( )
A.-6 B.-4
C.-3 D.-2
素养·提升练
14.(15分)(2026·山东枣庄模拟)关于函数的对称性有如下结论:对于给定的函数y=f(x),x∈D,如果对于任意的x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b成立(a,b为常数),则函数f(x)关于点(a,b)对称.
(1)用题设中的结论证明:函数f(x)=关于点(3,-2)对称.
(2)若函数f(x)既关于点(2,0)对称,又关于点(-2,1)对称,且当x∈(2,6)时,f(x)=2x+3x,求:
①f(-5)的值;
②当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)的表达式.
参考答案
1.C 令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x,∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,∴y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称.
2.C ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).∵f(x)关于x=2对称,∴f(x+2)=f(-x+2),∴f(6)=f(4+2)=f(-4+2)=f(-2)=-f(2),∴f(6)=-f(2)=-22=-4.故选C.
3.C 因为y=ln-x+a关于点(-1,0)中心对称,所以f(-2-x)+f(x)=0,所以ln-(-2-x)+a+ln-x+a=0,解得a=-1.故选C.
4.D 由题意得f(x)=x9+x8+x7+…+=(x+1)9,又因为y=x9为奇函数,函数图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=(x+1)9图象的对称中心为(-1,0).故选D.
5.D 根据题意,因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,所以f(1)=0.
又因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),即f(2+x)=f(2-x),
所以f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(3)=f(1)=0.故选D.
6.D 依题意,log3|a(-x)|=log3|ax|,函数f(x)=log3|ax|是偶函数,其图象关于y轴对称,函数f(x)=log3的图象可视为函数y=log3|ax|的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移个单位长度而得,因此函数f(x)=log3|ax-1|的图象的对称轴为x=,所以=2,即a=故选D.
7.ACD ∵f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;∵f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,故C正确;∵f(x)周期为4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
8.ABD ∵f(x)=2x-1+21-x,∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,A,D错误;∵f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函数,故B错误.
9.2sinx(答案不唯一) 由①②③可知函数f(x)是图象的对称轴为x=1,定义域为R的奇函数,且f(1)=2,可写出满足条件的函数f(x)=2sinx.
10.4 因为y=f(x-1)的图象关于x=1对称,所以y=f(x)的图象关于x=0对称,即y=f(x)是偶函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=-1,可得f(1)·f(-1)=2f(1),又f(x)>0,所以f(-1)=2,则f(1)=f(-1)=2,所以函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=4,所以f(x+4)·f(x+2)=4,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=0,可得f(2)·f(0)=2f(1),则f(2)=4,
故f(2 030)=f(507×4+2)=f(2)=4.
11.解 (1)∵f(x)的图象关于x=1对称,∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x),当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,∴f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,∴f(1+x)=f(1-x).∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),即f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
∴f(0)=0,f(1)=2-1=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=f(1)=1.
12.D 对于f(x),f(x)=6-f(-x),f(-x)=6-f(x),所以f(x)的图象关于点(0,3)对称.设h(x)=,因为h(-x)==-h(x),所以h(x)=是奇函数,图象关于原点对称,所以g(x)=h(x)+3的图象关于点(0,3)对称,所以f(x),g(x)的图象的交点关于(0,3)对称,所以(xi+yi)=xi+yi=0+3m=3m.故选D.
13.D 由f(-1+x)+f(-1-x)=0,即f(-x)+f(-2+x)=0,可得f(x)的图象关于点(-1,0)对称;由f(1+x)+f(1-x)=0,即f(-x)+f(x+2)=0,可得f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x+2)=f(x-2),即f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4.易知f(-1)=f(1)=0,所以e-1-a=2-b=0,所以a=,b=2,所以f(x)在[-1,1]上的值域为[-2,1-).又f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以当x∈[1,3]时,f(x)∈(-1,2],即f(x)在一个周期内的值域为[-2,2],所以f(x)的最小值为-2.故选D.
14.解 (1)f(x)=的定义域为{x|x≠3},对任意x≠3有f(3+x)+f(3-x)=(-2-)+(-2-)=-4,∴函数f(x)=关于点(3,-2)对称.
(2)函数f(x)关于点(2,0)对称,∴f(2+x)+f(2-x)=0,即f(x)+f(4-x)=0,
又函数f(x)关于点(-2,1)对称,
∴f(-2+x)+f(-2-x)=2,即f(x)+f(-4-x)=2,∴f(-4-x)=2+f(4-x),即f(x+8)=f(x)-2.
①f(-5)=f(3)+2=23+3×3+2=19,
②x∈(8k-2,8k+2),x-8k∈(-2,2),4-(x-8k)∈(2,6),
∴f(x)=f(x-8)-2=f(x-8×2)-2×2=f(x-8×3)-2×3=…=f(x-8k)-2k,又由f(x)=-f(4-x),
∴f(x)=f(x-8k)-2k=-f[4-(x-8k)]-2k=-{24-(x-8k)+3[4-(x-8k)]}-2k,即当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)=-24-x+8k+3x-26k-12.
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2026全国版高中数学突破练
突破练9 函数的对称性及应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·山东聊城检测)函数y=2-x与y=-2x的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x轴对称
[错题笔记]
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=2对称,当0
[错题笔记]
3.(2025·河南郑州一模)已知曲线y=ln-x+a关于点(-1,0)中心对称,则a=( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
[错题笔记]
4.(原创)函数f(x)=x9+x8+x7+…+图象的对称中心为( )
A.(0,-1) B.(0,1)
C.(1,0) D.(-1,0)
[错题笔记]
5.(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,则( )
A.f(0)=1 B.f(1)=-1
C.f(2)=0 D.f(3)=0
[错题笔记]
6.(2025·重庆阶段练习)已知函数f(x)=log3|ax-1|(a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=( )
A.2 B.1 C. D.
[错题笔记]
7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.f(x)的周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
[错题笔记]
8.(多选)设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是( )
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
[错题笔记]
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)= .
①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.
[错题笔记]
10.(原创)已知函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,f(0)=1,则f(2 030)= .
[错题笔记]
11.(15分)(原创)已知函数f(x)是R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)的值.
能力·高分练
12.(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=6-f(-x),g(x)=+3,若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m C.2m D.3m
13.(2025·宁夏吴忠二模)定义在R上的函数f(x)满足f(-1+x)+f(-1-x)=0,且f(1+x)+f(1-x)=0,当x∈[-1,0)时,f(x)=ex-a,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-b,则f(x)的最小值为( )
A.-6 B.-4
C.-3 D.-2
素养·提升练
14.(15分)(2026·山东枣庄模拟)关于函数的对称性有如下结论:对于给定的函数y=f(x),x∈D,如果对于任意的x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b成立(a,b为常数),则函数f(x)关于点(a,b)对称.
(1)用题设中的结论证明:函数f(x)=关于点(3,-2)对称.
(2)若函数f(x)既关于点(2,0)对称,又关于点(-2,1)对称,且当x∈(2,6)时,f(x)=2x+3x,求:
①f(-5)的值;
②当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)的表达式.
参考答案
1.C 令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x,∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,∴y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称.
2.C ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).∵f(x)关于x=2对称,∴f(x+2)=f(-x+2),∴f(6)=f(4+2)=f(-4+2)=f(-2)=-f(2),∴f(6)=-f(2)=-22=-4.故选C.
3.C 因为y=ln-x+a关于点(-1,0)中心对称,所以f(-2-x)+f(x)=0,所以ln-(-2-x)+a+ln-x+a=0,解得a=-1.故选C.
4.D 由题意得f(x)=x9+x8+x7+…+=(x+1)9,又因为y=x9为奇函数,函数图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=(x+1)9图象的对称中心为(-1,0).故选D.
5.D 根据题意,因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,所以f(1)=0.
又因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),即f(2+x)=f(2-x),
所以f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(3)=f(1)=0.故选D.
6.D 依题意,log3|a(-x)|=log3|ax|,函数f(x)=log3|ax|是偶函数,其图象关于y轴对称,函数f(x)=log3的图象可视为函数y=log3|ax|的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移个单位长度而得,因此函数f(x)=log3|ax-1|的图象的对称轴为x=,所以=2,即a=故选D.
7.ACD ∵f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;∵f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,故C正确;∵f(x)周期为4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
8.ABD ∵f(x)=2x-1+21-x,∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,A,D错误;∵f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函数,故B错误.
9.2sinx(答案不唯一) 由①②③可知函数f(x)是图象的对称轴为x=1,定义域为R的奇函数,且f(1)=2,可写出满足条件的函数f(x)=2sinx.
10.4 因为y=f(x-1)的图象关于x=1对称,所以y=f(x)的图象关于x=0对称,即y=f(x)是偶函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=-1,可得f(1)·f(-1)=2f(1),又f(x)>0,所以f(-1)=2,则f(1)=f(-1)=2,所以函数f(x)对 x∈R满足f(x+2)·f(x)=4,所以f(x+4)·f(x+2)=4,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=0,可得f(2)·f(0)=2f(1),则f(2)=4,
故f(2 030)=f(507×4+2)=f(2)=4.
11.解 (1)∵f(x)的图象关于x=1对称,∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x),当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,∴f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,∴f(1+x)=f(1-x).∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),即f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
∴f(0)=0,f(1)=2-1=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=f(1)=1.
12.D 对于f(x),f(x)=6-f(-x),f(-x)=6-f(x),所以f(x)的图象关于点(0,3)对称.设h(x)=,因为h(-x)==-h(x),所以h(x)=是奇函数,图象关于原点对称,所以g(x)=h(x)+3的图象关于点(0,3)对称,所以f(x),g(x)的图象的交点关于(0,3)对称,所以(xi+yi)=xi+yi=0+3m=3m.故选D.
13.D 由f(-1+x)+f(-1-x)=0,即f(-x)+f(-2+x)=0,可得f(x)的图象关于点(-1,0)对称;由f(1+x)+f(1-x)=0,即f(-x)+f(x+2)=0,可得f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x+2)=f(x-2),即f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4.易知f(-1)=f(1)=0,所以e-1-a=2-b=0,所以a=,b=2,所以f(x)在[-1,1]上的值域为[-2,1-).又f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以当x∈[1,3]时,f(x)∈(-1,2],即f(x)在一个周期内的值域为[-2,2],所以f(x)的最小值为-2.故选D.
14.解 (1)f(x)=的定义域为{x|x≠3},对任意x≠3有f(3+x)+f(3-x)=(-2-)+(-2-)=-4,∴函数f(x)=关于点(3,-2)对称.
(2)函数f(x)关于点(2,0)对称,∴f(2+x)+f(2-x)=0,即f(x)+f(4-x)=0,
又函数f(x)关于点(-2,1)对称,
∴f(-2+x)+f(-2-x)=2,即f(x)+f(-4-x)=2,∴f(-4-x)=2+f(4-x),即f(x+8)=f(x)-2.
①f(-5)=f(3)+2=23+3×3+2=19,
②x∈(8k-2,8k+2),x-8k∈(-2,2),4-(x-8k)∈(2,6),
∴f(x)=f(x-8)-2=f(x-8×2)-2×2=f(x-8×3)-2×3=…=f(x-8k)-2k,又由f(x)=-f(4-x),
∴f(x)=f(x-8k)-2k=-f[4-(x-8k)]-2k=-{24-(x-8k)+3[4-(x-8k)]}-2k,即当x∈(8k-2,8k+2),k∈Z时,f(x)=-24-x+8k+3x-26k-12.
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