突破练10　幂函数与二次函数--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练10　幂函数与二次函数
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·四川广元模拟)已知函数f(x)=(n2-2n+1)xn,则“f(x)为幂函数”是“n=2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
2.(2026·湖南长沙模拟)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递增,则m的值为(　　)
A.1 B.-3
C.-4 D.1或-3
[错题笔记]
3. (2026·上海模拟)如图所示是函数y=(m,n均为正整数,且m,n互质)的图象,则(　　)
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是奇数,且>1
[错题笔记]
4.(原创)若函数f(x)=x2-(m-2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,则实数m的取值范围是(　　)
A.(3,4) B.(4,6)
C.[5,9] D.[-11,9]
[错题笔记]
5.已知二次函数y=mx2-2mx(m为常数),当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为-2,则m的值是(　　)
A.-2 B.1
C.2或- D.-1
[错题笔记]
6.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
7. (多选)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则(　　)
A.f(1-x)=f(x)
B.f(2)>0
C.f()D.b2-4ac>0
[错题笔记]
8.幂函数f(x)=xa(a∈R)满足:对任意x∈R有f(-x)=f(x),且f(-1)[错题笔记]
9.(原创)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,M,N为其交点,即有BM=MN=NA,那么ab=　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
10.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(　　)
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
[错题笔记]
11.(多选)已知函数f(x)=x2-2x+a有两个不同的零点x1,x2,以下结论正确的是(　　)
A.a<1
B.若x1x2≠0,则
C.f(-1)=f(3)
D.函数y=f(|x|)有四个零点
[错题笔记]
12.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
13.已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,实数a满足(a2-1<(3a+3,则实数a的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
14.对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.
甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;
乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1);
丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1;
丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.
你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出的正确答案为　　　　　.
[错题笔记]
15.(2026·浙江舟山模拟)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),满足f(2)0)在区间[0,1]上的最大值为5,则m的值为　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.B　由函数f(x)=(n2-2n+1)xn为幂函数,得n2-2n+1=1,解得n=0或n=2,所以“f(x)为幂函数”是“n=2”的必要不充分条件.故选B.
2.A　由题意可得解得所以m=1.故选A.
3.B　由幂函数的性质可知,y=与y=x的图象恒过点(1,1)和点(0,0),即在第一象限的交点为(1,1),当0x,则<1,又y=的图象关于y轴对称,所以y=为偶函数,所以(-x,又m,n互质,所以m为偶数,n为奇数.故选B.
4.B　函数f(x)=x2-(m-2)x+4图象的对称轴为x=,∵函数f(x)=x2-(m-2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,∴1<<2,解得45.C　∵y=mx2-2mx,∴函数图象的对称轴为直线x=1,①当m>0时,抛物线的开口向上,∵当-1≤x≤2时,函数在x=1处取得最小值,又函数值y的最小值为-2,∴当x=1时,y=-2,∴m-2m=-2,解得m=2.②当m<0时,抛物线的开口向下,∵当-1≤x≤2时,函数在x=-1处取得最小值,又函数值y的最小值为-2,∴当x=-1时,y=-2,∴m+2m=-2,解得m=-,故选C.
6.B　当a<0时,g(x)=xa定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,而f(x)=ax2+2x+1的图象开口向下,且对称轴为x=->0,f(0)=1,故A可能;当a=2n(n∈N*)时,g(x)=xa为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=-<0,Δ=4-4a<0,其图象和x轴没有交点,故D可能;当a=(n∈N*)时,g(x)=xa的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=-<0,Δ=4-4a>0,图象和x轴有两个交点,故C可能;B中二次函数的图象与x轴只有一个交点,则Δ=4-4a=0,解得a=1,此时g(x)=x,为一条过原点的直线,故B不可能.故选B.
7.BD　因为函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(2-x)=f(x),故A错误;因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(-1,0),所以f(2)=f(0)>0,故B正确;因为函数图象开口向下,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且图象关于直线x=1对称,所以f()=f()>f(0),故C错误;由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故b2-4ac>0,故D正确.故选BD.
8(答案不唯一)　取f(x)=,则定义域为R,且f(-x)==f(x),f(-1)=1,f(2)=,满足f(-1)9.1　依题意,BM=MN=NA,所以M,N是线段AB的三等分点,而A(1,0),B(0,1),所以M(),N(),所以,a=lo,b=lo,ab=lolo=1.
10.B　由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,所以解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-)2+,因为t>0,所以当t==3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间,故选B.
11.ABC　二次函数f(x)对应二次方程x2-2x+a=0根的判别式Δ=(-2)2-4a=4-4a>0,a<1,故A正确;由根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=a,,故B正确;因为f(x)图象的对称轴为x=1,则有f(-1)=f(3),故C正确;当a=0时,y=f(|x|)=|x|2-2|x|=|x|(|x|-2)=0有三个零点,故D不正确.
12.[-2,1]　当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=当22时,f(x)>0,故a>2不符合题意;当02时,由f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,解得02时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;当a<0,x>2时,由f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,解得-2≤a<0.综上,-2≤a≤1.
13.(-1,4)　∵幂函数f(x)=(p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,
∴p2-2p-3<0,解得-114.　选丙,画出y2=x2-ax-1的草图,如图所示,y2=x2-ax-1过定点C(0,-1).∴y2=x2-ax-1与x轴有两个交点,且两交点在原点两侧,又y1=(a-1)x-1也过定点C(0,-1),故直线y1=(a-1)x-1只有过点A,C才满足题意,∴a-1>0,即a>1,令y1=0得x=,将点(,0)代入y2=x2-ax-1=0,解得a=0(舍去)或a=
15　因为f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,所以k=-2或k=1.当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)0),当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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