突破练11　指数与对数的运算--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练11　指数与对数的运算
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·四川广安开学考试)若f(10x)=x,则f(3)等于(　　)
A.103 B.310 C.log310 D.lg 3
[错题笔记]
2.(2026·吉林延边开学考试)若5x-1+5x-2=150,则(x+1)(x+2)=(　　)
A.6 B.12
C.20 D.30
[错题笔记]
3.(2026·浙江开学考试)已知2x=12,log2=y,则x+y=(　　)
A.0 B.2 C.-1 D.1
[错题笔记]
4.(2026·四川广安开学考试)已知ab≠1,logam=,logbm=,则logabm=(　　)
A.5 B. C.6 D.
[错题笔记]
5.(2026·重庆开学考试)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=192ekx,其中k为常数.若该食品在20 ℃的保鲜时间为48小时,则在30 ℃的保鲜时间为(　　)
A.20小时 B.24小时
C.28小时 D.32小时
[错题笔记]
6.点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”,为机械声源中最基本的辐射体,点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:米)的关系视为ΔL=10lg,取lg 5≈0.7,则r从5米变化到80米时,衰减量的增加值约为(　　)
A.18 dB B.20 dB
C.24 dB D.27 dB
[错题笔记]
7.(原创)(多选)下列计算正确的是(　　)
A.(-60-(=-1
B.(+ln(ln e)=7
C.log23×log34=log67
D.lg 25+lg 8-lg 200+lg 2=0
[错题笔记]
8.(多选)(2025·山东济南模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a,R为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是(　　)
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后,人可以安全进入车库
[错题笔记]
9.(原创)(-+log9=　　　　　.
[错题笔记]
10.(2026·江苏南京阶段练习)已知x+=2,则+x3+=　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2026·江苏苏州期末)满足ax=by=cz,=0(x,y,z∈R)的有序实数组(a,b,c)可以是(　　)
A.(4,3,2) B.(4,2,3)
C.(3,9,2) D.(18,12,2)
[错题笔记]
12.(原创)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,设N=810×95,则N所在的区间为(　　)
A.(1011,1012) B.(1012,1013)
C.(1013,1014) D.(1014,1015)
[错题笔记]
13.放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减,设其初始质量为M0,质量M与时间t(单位:天)的函数关系为M=M0·(,若锶89的质量从M0衰减至M0,M0,M0所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1,t2,t3之间的关系为　　　　　.
[错题笔记]
14.设函数f(x)满足:对任意的正数x,y,f(xy)=yf(x)+xf(y),且f()=-,则f(2)=　　　　　,f(210)=　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2025·浙江杭州二模)定义“真指数”(e为自然对数的底数),则(　　)
A. B.
C.≥2 D.≤(
[错题笔记]
16.(2026·江西宜春开学考试)现有某种细胞1 000个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律,1小时后,细胞总数约为×1 000+×1 000×2=×1 000,2小时后,细胞总数约为×1 000+×1 000×2=×1 000,问当细胞总数超过1010个时,所需时间至少为(　　)(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301)
A.36小时 B.38小时
C.40小时 D.42小时
[错题笔记]
参考答案
1.D　令10x=3,解得x=lg 3,
故f(3)=f(10lg 3)=lg 3.故选D.
2.D　设x-2=t,则x=t+2,所以5x-1+5x-2=5t+1+5t=6×5t=150,则t=2,所以x=4,所以(x+1)(x+2)=5×6=30.故选D.
3.B　因为log2=y,所以2y=,又因为2x=12,所以2x×2y=12=4,所以2x+y=22,则x+y=2.故选B.
4.B　由logam=可得logma=2,由logbm=可得logmb=3,所以logabm=故选B.
5.B　由题意得192e20k=48,即e20k=,所以e10k=,当x=30时,y=192e30k=192×()3=24.故选B.
6.C　当r=5时,ΔL1=10lg,当r=80时,ΔL2=10lg 1 600π,则衰减量的增加值约为ΔL2-ΔL1=10lg 1 600π-10lg=80lg 2=80(lg 10-lg 5)≈80×(1-0.7)=24.故选C.
7.ABD　对于A,原式=-1-=-1,所以A正确;对于B,原式=(+ln(ln e)=7+ln 1=7,所以B正确;对于C,原式==2,所以C错误;对于D,原式=lg 52+lg 23-lg 200+lg 2=2(lg 5+lg 2)-lg=2-2=0,所以D正确.
8.ACD　设f(t)=aeRt,代入(4,64),(8,32),得解得a=128,R=-ln 2,A正确,B错误;此时f(t)=128(eR)t=27·()t=,所以f(12)=24=16(ppm),C正确;当f(t)≤0.5时,0.5=2-1,得7--1,所以t≥32,所以排气32分钟后,人可以安全进入车库,D正确.故选ACD.
9　原式=+lo=-
10.2+10　因为x+=2,所以(x+)2=x2+2x=x2+2+=8,即x2+=8-2=6,因为(x-)2=x2-2x=x2-2+=4,所以=2,因为x3+=(x+)(x2-x)=(x+)·(x2-1+)=2(6-1)=10,所以+x3+=2+10
11.D　记ax=by=cz=t>0,则a=,b=,c=,因为=0(x,y,z∈R),所以,所以b2=ac3,对于A,32≠4×23,故A错误;对于B,22≠4×33,故B错误;对于C,92≠3×23,故C错误;对于D,122=18×23,故D正确.故选D.
12.C　∵N=810×95,∴lg N=lg 810+lg 95=lg 230+lg 310=30lg 2+10lg 3≈9.030+4.771=13.801,∴N=1013.801∈(1013,1014),故选C.
13.t3=2t1+t2　由题意可得
即因为log212=log2(3×22)=log23+2,所以t3=2t1+t2.
14.2　10 240　令x=y=1,得f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0.令x=2,y=,得f(2)=f(2)+2×f(),所以f(2)=2.令x=2n,y=2,得f(2n×2)=2f(2n)+2nf(2),即+1.所以+1=+2=…=+9=10.所以f(210)=10 240.
15.C　对于A,取x1=3,x2=-2,左边x1+x2=1≥0,即左边等于e;右边e3·1=e3,故A错误;对于B,取x1=1,x2=2,左边x1-x2=-1<0,即左边等于1;右边等于,故B错误;对于C,由于ex>0恒成立,所以>0在x∈R恒成立,所以自然指数函数满足2=2,当且仅当即x1=x2时取等号,故C正确;对于D,取x1=-1,x2=-1,左边x1x2=1>0,即左边等于e;右边等于=1-1=1,故D错误.故选C.
16.C　记第n小时后细胞的个数为an,则an+1=an+an×2=an,a1=1 000,故{an}是首项为a1=1 000,公比为的等比数列,故an=1 000=103,令103>1010,得>107,则nlg>7,故n>39.77,又n为整数,故当细胞总数超过1010小时,所需时间至少为40小时.故选C.
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