突破练13　对数函数--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练13　对数函数
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　)
A.log2x B. C.lox D.2x-2
[错题笔记]
2.(2026·北京开学考试)函数f(x)=的定义域是(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[e,+∞) D.(e,+∞)
[错题笔记]
3.(2026·山东济南开学考试)已知集合A={x|eln x<1},B={x|ln ex<1},则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
[错题笔记]
4.(原创)已知a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)
A.bC.a[错题笔记]
5.(2026·广东广州模拟)已知函数y=ln(x2-2ax-3a2)在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,] B.(-∞,1)
C.(-1,) D.(-1,0)∪(0,)
[错题笔记]
6.(原创)已知函数f(x)=3log2x-2(x-1),则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A.(1,4) B.(-∞,1)∪(4,+∞)
C.(0,1)∪(4,+∞) D.(0,4)
[错题笔记]
7.(原创)(多选)对于函数f(x)=lg x的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),下列结论中正确的是(　　)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f()<
[错题笔记]
8.(多选)关于函数f(x)=ln(ex+e-x-2),以下说法正确的是(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)在区间(0,+∞)单调递增
D.f(x)在区间(0,+∞)单调递减
[错题笔记]
9.(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)=loga(3x+4)+2x恒过定点(m,n),则m+n=　　　　　.
[错题笔记]
10.(2026·天津东丽开学考试)已知函数f(x)=ln,则不等式f(1-3a2)+f(1-a)<0的解集为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2026·山东日照开学考试)若定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2x-1,则不等式f(-x)-f(x)<0的解集为(　　)
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(2,+∞)
[错题笔记]
12.(2026·山东菏泽期中)过曲线y=log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log3x于点B,C,若直线BC过原点,则其斜率为(　　)
A.1 B.
C. D.
[错题笔记]
13.(15分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.
素养·提升练
14.(2025·江苏镇江模拟)已知A,B,C是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点,且A在x轴上,BC∥x轴,BC=,则=(　　)
A. B. C. D.-
[错题笔记]
参考答案
1.A　由题意得,f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f(2)=1,所以loga2=1.
所以a=2,所以f(x)=log2x.
2.D　由ln x-1>0得ln x>1=ln e,
因为函数y=ln x是单调增函数,所以x>e.所以函数f(x)=的定义域是(e,+∞).故选D.
3.A　由eln x<1可得ln x<0,∴04.B　因为a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1+log72=1+,且log27>log25>log23>0.所以a>b>c.
5.C　因为f(t)=ln t在(0,+∞)上单调递增,由函数y=ln(x2-2ax-3a2)在[1,+∞)上单调递增,可得g(x)=x2-2ax-3a2在[1,+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立,解得-16.C　依题意f(x)=3log2x-2(x-1)<0,得log2x<(x-1),由观察可得方程组的解为画出y=log2x,y=(x-1)的图象,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(4,+∞).故选C.
7.BC　对于选项A,f(x1+x2)=lg(x1+x2)≠lg x1·lg x2,即f(x1+x2)≠f(x1)·f(x2),故A错误.对于选项B,f(x1·x2)=lg(x1x2)=lg x1+lg x2=f(x1)+f(x2),故B正确.对于选项C,f(x)=lg x在定义域中是增函数,>0,故C正确.对于选项D,x1,x2>0(x1≠x2),利用基本不等式知f()=lg()>lg,又=lg,则f()>,故D错误.故选BC.
8.BC　由e-x>0,ex>0,得e-x+ex≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则f(x)的定义域为{x|x≠0},∵f(-x)=ln(e-x+ex-2)=f(x),∴f(x)为偶函数,故A错误,B正确;当x>0时,函数t=ex>1且单调递增,函数u=t+-2>0且单调递增,函数y=ln u单调递增,∴函数f(x)在(0,+∞)单调递增,故C正确,D错误.
9.-3　令3x+4=1,则x=-1,又f(-1)=-2,所以f(x)过定点(-1,-2),即m=-1,n=-2,所以m+n=-3.
10. (0,)　函数f(x)=ln的定义域为(-1,1),f(-x)=ln=-ln=-f(x),函数f(x)=ln(-1)是奇函数,而函数u=-1在(-1,1)上单调递减,函数y=ln u在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)在(-1,1)上单调递减,不等式f(1-3a2)+f(1-a)<0 f(1-a)<-f(1-3a2)=f(3a2-1),则-1<3a2-1<1-a<1,解得011.D　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),则由f(-x)-f(x)<0,可得-f(x)-f(x)<0,即f(x)>0,当x>0时,由f(x)=log2x-1>0,解得x>2;当x=0时,由奇函数的性质可得f(0)=0,不满足f(x)>0;当x<0时,-x>0,则f(-x)=log2(-x)-1,
由奇函数的性质,可得f(x)=-f(-x)=log2(-x)+1,由-log2(-x)+1>0,解得x>-2,故-2综上,不等式f(-x)-f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D.
12.B　设A(x0,log3x0),过点A作x轴的平行线,交y=log3x于点B(log3x0),过点A作y轴的平行线交y=log3x于点C(x0,log3x0),由题意可得,解得x0=4或x0=1,经检验,x0=1不符合,故其斜率为故选B.
13.解 (1)由题意可知h(x)=(4-2log2x)log2x=2-2(log2x-1)2.∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,令t=log2x,∵x∈[1,4],∴t=log2x∈[0,2],∴(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15,∵4t+12,当且仅当4t=,即t=时,等号成立,∴4t+-15的最小值为-3,∴k<-3.
综上,实数k的取值范围是(-∞,-3).
14.C　根据函数的解析式画出图象如下图,
因为点A在x轴上,所以A(1,0).因为BC=,所以设B(x,|log2x|),则C(x+,|log2(x+)|).根据绝对值函数的对称性,log2x=-log2(x+),所以x=,化简得4x2+15x-4=0,解得x=-4(舍去)或x=,所以B(,2),C(4,2).所以=(-,2),=(3,2),所以=-3+2×2=故选C.
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