突破练15　函数与方程--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练15　函数与方程
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·安徽合肥模拟)函数f(x)=--x+4的零点所在区间是(　　)
A.(4,5) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
[错题笔记]
2.(2026·海南质检)函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
[错题笔记]
3.(2026·广东江门模拟)关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足(　　)
A.a≥1 B.a>1且a≠5
C.a≠1且a≠5 D.a≠5
[错题笔记]
4.(原创)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是单调函数,若f[f(x)+]=3,则f(x)的零点为(　　)
A.2 B.1 C.4 D.6
[错题笔记]
5.(2026·北京模拟)设函数f(x)=4ln x-x(x>0),则y=f(x)满足(　　)
A.在区间(,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(,1),(1,e)内均无零点
[错题笔记]
6.(2026·海南海口模拟)对于函数f(x),若存在两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),其中x1+x2=0,f(x1)=f(x2),则称A,B两点为函数f(x)的一对“隐对称点”,若函数f(x)=则f(x)共有“隐对称点”(　　)
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
[错题笔记]
7.(多选)设函数f(x)=则以下结论正确的为(　　)
A.f(x)为R上的增函数
B.f(x)有唯一零点x0,且1C.若f(m)=5,则m=33
D.f(x)的值域为R
[错题笔记]
8.(多选)(2026·河南信阳模拟)已知函数f(x)=|1-2x|,实数a,b(aA.m>1 B.0C.2a+2b=2 D.a+b<0
[错题笔记]
9.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
10.定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估算,函数f(x)=的零点属于开区间　　　　　.(只要求写出一个符合条件,且长度不超过的开区间 )
[错题笔记]
能力·高分练
11.(原创)设函数f(x)=ax2-1,g(x)=cos x-a,若F(x)=g(x)-f(x)在区间(-1,1)上有且仅有一个零点,则a的值为(　　)
A.-1 B.
C.1 D.2
[错题笔记]
12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4等于(　　)
A.-12 B.-6
C.-8 D.4
[错题笔记]
13.(原创)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
14.(原创)已知ex=1++…,sin x=x-+…,cos x=1-+…,其中n!=1×2×3×…×n.则cos 1的近似值为　　　　　(精确到0.01);运用上述公式,可得到函数f(x)=ex-在区间(,1)内有　　　　　个零点.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(原创)(多选)已知函数f(x)=
若在区间(1,+∞)内存在n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得=…=,则n的取值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
[错题笔记]
16.(多选)(2026·四川绵阳模拟)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,其定理陈述如下:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a),x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.若关于函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”个数为m,函数g(x)=xex在区间[1,2]上的“中值点”的个数为n,则有m+n的值为(　　)(参考数据:π≈3.14,e≈2.72)
A.1 B.2
C.0 D.3
[错题笔记]
参考答案
1.C　函数f(x)=--x+4的定义域为[0,+∞),且函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,而f(2)=2->0,f(3)=1-<0,所以函数f(x)=--x+4的零点所在区间是(2,3).故选C.
2.C　函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示,由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C.
3.A　当a=5时,方程为-4x-1=0,则x=-,符合题意;当a≠5时,(a-5)x2-4x-1=0有实数根,需满足Δ=(-4)2-4(a-5)(-1)≥0,解得a≥1,所以a≥1,且a≠5,综合可知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则需满足a≥1,故选A.
4.B　因为f(x)在(0,+∞)上单调,令t=f(x)+(t>0),则f(x)=t-且f(t)=3,从而t-=3,解得t=4(负根已舍去),所以f(x)=4-(x>0),由f(x)=0解得x=1,所以f(x)的零点为1.故选B.
5.C　f(x)=4ln x-x的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=-1=,当00;当x>4时,f'(x)<0,故函数f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,故x=4时,函数f(x)取得极大值为f(4)=4(ln 4-1)>0,又f(e)=4ln e-e=4-e>0,f(1)=4ln 1-1=-1<0,f()=4ln=-4-<0,即在区间(,1)上恒有f(x)<0,又由零点存在定理 x0∈(1,e),使得f(x0)=0,即函数在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.故选C.
6. C　等价转化为函数y=f(x)(x≥0)与函数y=f(-x)(x>0)的图象的交点个数,作出函数f(x)的大致图象如图所示,再作出曲线y=2x(x<0)关于y轴对称的曲线C:y=f(-x)(x>0)的图象,数形结合可知曲线y=x|2-x|(x≥0)与曲线C有3个交点,所以f(x)图象上“隐对称点”有3对.故选C.
7. BC　作出f(x)的图象如图所示.由图可知A错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一零点x0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,B正确;对于C,当x≤2时,2x-3≤1,故log2(m-1)=5,解得m=33,C正确;对于D,f(x)的值域为(-3,+∞),D错误.故选BC.
8.BCD　f(x)=|1-2x|=且当x<0时,0<2x<1,此时f(x)=1-2x∈(0,1),y=f(x)-m的零点即函数y=f(x)与y=m的图象交点的横坐标(如图所示),
由图象可知,当09.[5,10)　令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上为增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,
即(5-k)(10-k)<0,解得5又f(1)=0时,k=5.
综上,实数k的取值范围是[5,10).
10.()　因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=是减函数.
又f(1)=-1=-<0,f()=-(<0,f()=>0,即f()·f()<0,所以函数f(x)在()上有零点,且
11.D　由函数f(x)=ax2-1,g(x)=cos x-a,可得F(x)=g(x)-f(x)=cos x-a-ax2+1,则F(-x)=cos (-x)-a-a(-x)2+1=cos x-a-ax2+1=F(x),所以函数F(x)是(-1,1)上的偶函数,因为函数F(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,所以F(0)=0,即F(0)=2-a=0,解得a=2.故选D.
12.C　由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期T=8.又f(x)是R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)图象关于直线x=2对称.再结合f(x)在区间[0,2]上单调递增,作出函数大致图象,如图所示.
不妨令x113.(-2,0]　由f(x)=得f(x)=作出函数图象如图所示,
g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1,x2,x3,即f(x)-m=0有3个解x1,x2,x3,由图象可知m∈(0,6],不妨设x114.0.54　0　cos 1≈1-=1-0.54,由于函数y=ex,y=-在(,1)上单调递增,所以f(x)=ex-在(,1)上单调递增,由于f()=-+1+=->->0,所以f(x)=ex->0在(,1)上恒成立,故f(x)=ex-在区间(,1)内无零点.
15.AB　的几何意义为点(xn,f(xn))与原点连线的斜率,=…=的几何意义为连线斜率相等,作出f(x)=的大致图象,如图所示,在区间(1,+∞)上与y=kx的交点个数为1或2或3,又n≥2,故选AB.
16.B　设函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”为x0,由f(x)=sin x,得f'(x)=cos x,则由拉格朗日中值定理得,f(π)-f(0)=f'(x0)(π-0),即πcos x0=0,而x0∈(0,π),则x0=,即函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”的个数为1,因此m=1,设函数g(x)=xex在区间[1,2]上的“中值点”为x1,由g(x)=xex,求导得g'(x)=(x+1)ex,由拉格朗日中值定理得,g(2)-g(1)=g'(x1)(2-1),即2e2-e=(x1+1),令函数h(x)=(x+1)ex-2e2+e,h'(x)=(x+2)ex,x∈(1,2),h'(x)>0,h(x)在(1,2)上单调递增,h(1)=2e-2e2+e=3e-2e2<0,h(2)=3e2-2e2+e=e2+e>0,则h(x)在(1,2)上有唯一零点,即方程2e2-e=(x+1)ex在区间(1,2)上有1个解,因此函数g(x)=xex在区间[1,2]上的“中值点”的个数为1,即n=1,所以m+n=2.故选B.
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