突破练16　函数模型及其应用--2026全国版高中数学突破练(含答案)

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练16　函数模型及其应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·河北衡水阶段练习)某林区的森林面积每年比上一年平均增长12%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2026·贵州贵阳模拟)随着环保法的深入实施,生态环境持续改善,据统计,第x年某公园鸟类数量y(单位:只)近似满足y=klog3(x+1),观测发现第2年有鸟类共500只,估计第5年有鸟类(ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(　　)
A.765只 B.818只 C.915只 D.965只
3.(原创)研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)与震级M之间满足lg E=kM+b(k,b为常数).若5.5级地震所释放的能量为1.1×1013焦耳,8级地震所释放的能量为6.3×1016焦耳,则6级地震所释放的能量为(　　)(取100.8=6.3,100.05=1.1)
A.1.38×109焦耳 B.6.3×1016焦耳
C.6.3×1013焦耳 D.1.1×1016焦耳
4.(2026·江西南昌模拟)某食品的保鲜时长y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b.当x=0时,y=128,当x=30时,y=8.要保证该食品的保鲜时长不低于32 h,则储藏温度不高于(　　)
A.20 ℃ B.15 ℃ C.10 ℃ D.6 ℃
5.(原创)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇,开发生产一款智能产品,该产品每年的固定成本是25万元,每生产x万件该产品,需另投入成本ω(x)万元,其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完,每件的售价为70元,则该企业每年利润的最大值为(　　)
A.720万元 B.800万元
C.875万元 D.900万元
6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是(　　)
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲同学从家到公园的时间是30 min
C.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x
7.(多选)某大型商场开业期间为吸引顾客,推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动,奖品为本商场现金购物卡,可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分为五个等级,等级x与购物卡的面值y(单位:元)的关系式为y=eax+b+k,三等奖比四等奖的面值多100元,比五等奖的面值多120元,且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,则(　　)
A.a=-ln 5
B.k=15
C.一等奖的面值为3 130元
D.三等奖的面值为130元
8.(原创)随着市场需求和消费习惯的转变,摆摊创业正吸引着越来越多创业者.小李打算批发某种水果摆摊售卖,设他进货总费用f(x)(单位:百元)与进货量x(单位:百斤)之间的关系为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每斤的平均价格逐渐减小”,则a的取值范围为　　　　　.
9.(原创+跨学科融合)B—S指标在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后,可得一种B—S模型的定价公式:K=-Xn(n∈N*),其中K代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差,Xn为执行价格,r为利率,Tn为期权的有效期.已知K=-6 000,r=ln 2,X2=4X1,则T2-T1=　　　　　.
能力·高分练
10. (原创)(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保持量y=f(x)与时间x(单位:天)之间的函数关系,f(x)=
则下列说法正确的是(　　)
A.随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小菲的单词记忆保持量低于40%
D.26天后,小菲的单词记忆保持量不足20%
11.(2026·北京模拟)在交通工程学中有如下定义:交通流量Q(单位:辆/时)是单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度V(单位:千米/时)是单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度K(单位:辆/千米)是单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数,其中Q,V和K的测量通常视为连续不断的数值.设某路段的V和K满足V=v0(1-) (其中v0,k0是正数),则随着车流密度K增大,以下说法正确的是(　　)
A.车流速度V增大
B.交通流量Q增大
C.交通流量Q先减小后增大
D.交通流量Q先增大后减小
12.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元后,奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%,现有三个奖励模型:①y=0.2x,②y=log5x,③y=1.02x,则符合该商场要求的模型为　　　　　.(填序号)
素养·提升练
13.(15分)我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为“声压”,用P表示(单位:Pa),声压级SPL(单位:dB)表示声压的相对大小,已知SPL=klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时,声压P会变为原来的1 000倍.
(1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式;
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,一般当声压级SPL<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习 请说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3)
参考答案
1.D　依题意,(1+0.12)y=x,则y=log1.12x,x≥1,即f(x)=log1.12x,x≥1,显然选项A,B,C不符合题意,D符合.故选D.
2.B　由题意当x=2时,y=500,得500=klog3(2+1),解得k=500,所以x=5时,y=500log3(5+1)=500log3(3×2)=500(log33+log32)=500×(1+)≈818,故选B.
3.B　依题意,
解得则当M=6时,lg E=kM+b=6×1.5+4.8=13.8,则E=1013.8=100.8×1013=6.3×1013焦耳.故选C.
4.B　由题可知
则故a<0,设储藏温度不高于t ℃,该食品的保鲜时长不低于32 h,则eat+b=eat·eb≥32,则eat=e15a,则t≤15.故选B.
5.C　该企业每年利润f(x)=
当040时,f(x)=920-(x+)≤920-2=720(当且仅当x=100时,等号成立),即当x=100时,f(x)取得最大值720.由于875>720,所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C.
6.BD　在A中,甲同学在公园休息的时间是10 min,所以只走了50 min,A错误;由题中图象知,B正确;甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,D正确.
7.ACD　由题意可知,四等奖比五等奖的面值多20元,
∵100÷20=5,=e-a=5,则a=-ln 5,A正确;由(e3a+b+k)-(e4a+b+k)=e3a+b(1-ea)=100,可知e3a+b=125,∵四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,∴e4a+b+k=3(e5a+b+k),解得k=5,B错误;则三等奖的面值为e3a+b+k=125+5=130元,D正确;由ea+b+k=e3a+b·e-2a+k=125×25+5=3 130,故一等奖的面值为3 130元,C正确.
8.(4,6]　由题意,水果每斤的平均价格为g(x)=
因为随着进货量的增大,水果每斤的平均价格逐渐减小,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以解得49.2　由B—S模型的定价公式:K=-Xn(n∈N*),因为K=-6 000,r=ln 2,可得-6 000=-Xn,即Xn=6 000,所以Xn=6 000,可得Xn=6 000,
则因为X2=4X1,可得6 000=4×6 000,即=4,即,所以T2=T1+2,即T2-T1=2.
10.ABC　由函数解析式可知f(x)随着x的增大而减小,A正确;由图象可得B正确;当111.D　由题可得V=v0(1-),Q=VK=v0(1-)K(其中v0,k0是正数),随着车流密度K增大,1-减小,则车流速度V减小,故A错误;因为Q=v0(1-)K=-K2+Kv0=-(K2-k0K)=-(K-)2+,所以当K时交通流量Q随车流密度K的增大而增大,当K>时交通流量Q随车流密度K的增大而减小,所以随着车流密度K增大,交通流量Q先增大后减小.故选D.
12.②　在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略),观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,所以按模型y=log5x进行奖励符合商场的要求.
13.解 (1)由题意可得,klg+60=klg,则klg+60=k(3+lg),所以3k=60,解得k=20,
故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL=20lg
(2)不会干扰我们正常的学习,理由如下:
当SPL=40时,由20lg=40,
即lg=2,可得P1=P2=2×10-3,
所以P=P1=210-3,
将其代入SPL=20lg可得SPL=20lg=20lg(102)=40+10lg 2≈43<45,
故不会干扰我们正常的学习.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)