突破练17　导数的概念及其意义、导数的运算--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练17　导数的概念及其意义、导数的运算
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东中山模拟)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,那么f'()=(　　)
A.-2 B.2 C. D.-
[错题笔记]
2.已知函数f(x)=x3-3ax-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则a=(　　)
A.-3 B.-1 C.0 D.1
[错题笔记]
3.已知函数f(x)在R上可导,且满足
=1,则函数f(x)在点(2,f(2))处切线的斜率为(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
[错题笔记]
4.(2025·江苏连云港模拟)若函数f(x)=x2+bln x的图象在点M(1,1)处的切线与直线2x-y+6=0垂直,则ba=(　　)
A.- B.0 C. D.
[错题笔记]
5.(2025·河北衡水模拟)曲线y=esin xcos x在x=处的切线方程为(　　)
A.y=e(x-) B.y=-e(x-)
C.y=x- D.y=-x+
[错题笔记]
6.(多选)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f'(3)<0 B.f'(-1)>0
C.f(-1)-f'(-1)>0 D.f(3)-3f'(3)>0
[错题笔记]
7.(2025·河北沧州期末)已知f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)=ln x,则f(x)=　　　　.(写出一个符合条件的即可)
[错题笔记]
8.(2025·江苏南京高三开学考试)若直线y=2x+a是曲线y=ln x+x+1的一条切线,则a=　　　　.
[错题笔记]
9.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
10.(2025·河南郑州模拟)过原点且与曲线y=xsin x相切的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
[错题笔记]
11.(原创)已知A,B分别为曲线y=ex+x+1和直线y=2x-3上的点,则|AB|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
12.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f(1-x)=,则f(x)在点(,2)处的切线方程为(　　)
A.4x+y-4=0
B.12x-y-4=0
C.2x-2y+3=0
D.12x+y-4=0
[错题笔记]
13.(原创)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为　　　　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
14.(2025·山东济宁一模)曲线y=(a>0)与y=ln x和y=ex分别交于A,B两点,设曲线y=ln x在A处的切线斜率为k1,y=ex在B处的切线斜率为k2,若k1+k2=,则a=(　　)
A.2ln 2 B.2ln 3
C.3ln 2 D.3ln 3
[错题笔记]
15.(2025·山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,该直线称为两个函数的“公法线”.函数y=与函数y=1+ex+1的“公法线”方程为　　　　　　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.A　因为函数f(x)=sin 2x+cos 2x,所以f'(x)=2cos 2x-2sin 2x,f'()=2cos π-2sin π=-2.
2.D　因为f'(x)=3x2-3a,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以k=f'(1)=3-3a=0,解得a=1.
3.A　由=1,得=-2,所以f'(2)==-2.
4.C　因为f'(x)=ax+,依题意有解得则ba=
5.B　设f(x)=y=esin xcos x,则f'(x)=esin xcos2x+esin x(-sin x)=esin x(cos2x-sin x),
当x=时,f()=cos=0,f'()=(cos2-sin)=-e,所以曲线y=esin xcos x在x=处的切线方程为y=-e(x-).
6.AC　由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0,即f'(3)<0,故A正确;
f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率,故f'(-1)<0,故B错误;
由图可知f(-1)>0,f'(-1)<0,
故f(-1)-f'(-1)>0,故C正确;
直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率,即7.xln x-x(只要符合xln x-x+c,c为常数,均可)　因为(xln x)'=ln x+1,
所以由题意f'(x)=ln x,所以f(x)=x·ln x-x+c,c为常数.
8.0　设直线y=2x+a与曲线y=ln x+x+1的切点为(x0,y0),
对函数y=ln x+x+1求导得y'=1+,
因为直线y=2x+a是曲线y=ln x+x+1的一条切线,所以1+=2,解得x0=1,所以y0=x0+ln x0+1=2,
因为切点(x0,y0)在直线y=2x+a上,所以a=y0-2x0=0.
9.(-∞,-4)∪(0,+∞)　由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.
设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0).
又切线过原点,∴-(x0+a)=-x0(1+x0+a),整理得+ax0-a=0.
∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,+ax0-a=0有2个不同实数解,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
10.C　设切点(x0,x0sin x0),因为曲线y=xsin x,
所以y'=sin x+xcos x,所以=sin x0+x0cos x0(x0≠0),所以cos x0=0.
当x0=时,所以k=1,所以切线方程为y=x;
当x0=-时,所以k=-1,所以切线方程为y=-x;
当x0=0时,所以x0sin x0=y'=0,所以切线方程为y=0,所以切线有3条.
11.A　令f(x)=(ex+x+1)-(2x-3)=ex-x+4,
因为ex≥x+1,则f(x)=ex-x+4≥x+1-x+4=5,故曲线y=ex+x+1和直线y=2x-3无交点,
由y=ex+x+1,则y'=ex+1,令y'=ex+1=2,解得x=0,
则曲线y=ex+x+1上的点(0,2)到直线y=2x-3的距离为,则|AB|的最小值为
12.B　由f(x)+2f(1-x)=,得f()+2f()=6,解得f()=2,
即点(,2)在函数y=f(x)的图象上,求导得f'(x)-2f'(1-x)=-,令x=,则f'()=12,所以f(x)在点(,2)处的切线方程为y-2=12(x-),即12x-y-4=0.
13.2x+y-9=0　∵y=x2-2x+5,
∴y'=2x-2,设切点(x1,y1),
∴在(x1,y1)处的切线斜率为k1=2x1-2,
∴在(x1,y1)处的切线方程为y-y1=(2x1-2)(x-x1),
∵(x1,y1)在曲线y=x2-2x+5上,
∴y1=-2x1+5,
∴在(x1,y1)处的切线方程为y-(-2x1+5)=(2x1-2)(x-x1),
∵此切线过点P(0,1),∴将P(0,1)代入切线方程成立,即1-(-2x1+5)=(2x1-2)(0-x1),解得=4,x1=±2.
当x1=2时,y1=5,当x1=-2时,y1=13,∴M(2,5)或M(-2,13).
同理可得切点N(2,5)或N(-2,13),
∵M,N是不同的切点,∴不妨设M(2,5),N(-2,13),∴直线MN的方程为,整理得2x+y-9=0.
14.A　因为y=ln x和y=ex互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且反比例函数y=(a>0)的图象也关于直线y=x对称,可知点A,B关于直线y=x对称,
设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0),
设f(x)=ln x,g(x)=ex,则f'(x)=,g'(x)=ex,
由题意可得k1+k2=+x0=,解得x0=2或x0=(舍去),
可得A(2,ln 2),则=ln 2,所以a=2ln 2.
15.x+y-1=0　由y=求导得y'=,则法线斜率为-,则y=在(a,)(0≤a≤2)处的法线方程为y-=-(x-a).
由y=1+ex+1求导得y'=ex+1,则法线斜率为-,则y=1+ex+1在(b,1+eb+1)处的法线方程为y-(1+eb+1)=-(x-b).
由“公法线”定义得,-=-+1+eb+1,
解得a=,b=-1,所以“公法线”方程为x+y-1=0.
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