突破练18 利用导数研究函数的单调性--2026全国版高中数学突破练(含答案)
文档属性
| 名称 | 突破练18 利用导数研究函数的单调性--2026全国版高中数学突破练(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 318.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026全国版高中数学突破练
突破练18 利用导数研究函数的单调性
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广西南宁模拟)函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是( )
A.(-,+∞) B.(-2,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
2.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=,eA.f(a)=f(b)
B.f(a)C.f(a)>f(b)
D.f(a),f(b)的大小关系不能确定
3.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
4.(2025·湖北七市(州)期末)已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(2x-1)+f(x)>0的解集为( )
A.(-∞,1) B.(,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,)
5.(2025·河北承德高三期末)已知函数f(x)=-x3-ax2-(a2+1)x,则( )
A.f(1.10.9)>f(0.90.9)>f(ln 0.9)
B.f(ln 0.9)>f(0.90.9)>f(1.10.9)
C.f(1.10.9)>f(ln 0.9)>f(0.90.9)
D.f(ln 0.9)>f(1.10.9)>f(0.90.9)
6.(2025·上海宝山模拟)如图所示为函数f(x)的图象,则不等式<0的解集为 .
7.(15分)已知函数f(x)=ln(x+1)+(k∈R).
(1)若k=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在其定义域上单调递增,求k的取值范围.
能力·高分练
8.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=,若x0∈(1.5,2),则( )
A.f(x0)>f(5-x0)
B.f(x0)C.f(x0)+f(5-x0)D.以上都不对
9.(2025·甘肃平凉模拟)已知函数f(x)=e|x|-x2,若a=f(-),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
10.(13分)(原创)已知函数f(x)=xex-x2-ax+,a∈R.讨论函数f(x)的单调性.
11.(15分)(2025·浙江金华模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|成立,求k的取值范围.
素养·提升练
12.(原创)若函数f(x)满足f(x)=-f(),则称f(x)为“倒负函数”.已知“倒负函数”f(x)=aln x+bx-在x=1处的切线与x轴平行,则f(x)( )
A.在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减
B.在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增
C.在(0,+∞)单调递增
D.在(0,+∞)单调递减
13.(多选)(2025·八省联考,10)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则( )
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
参考答案
1.A 函数f(x)=(x+1)e2x的定义域为R,
又f'(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解得x>-,所以函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(-,+∞).
2.C 令f'(x)==0,解得x=e,
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,e)上单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在区间(e,+∞)上单调递减,又ef(b).
3.C 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立,即a在区间(1,2)内恒成立.
设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,
所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,
则0<,即a≥e-1.故选C.
4.B 由题意得f(x)的定义域为R,
因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,
又f'(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在R上为单调递增函数,由f(2x-1)+f(x)>0得f(2x-1)>-f(x)=f(-x),所以2x-1>-x x>,
所以不等式的解集为(,+∞).
5.B 由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=-x2-ax-(a2+1),
因为Δ=-3a2-4<0,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)是减函数.又因为ln 0.9f(0.90.9)>f(1.10.9).
6. (-∞,)∪(1,2) 由图象得f(x)在区间(-∞,),(2,+∞)上单调递增,在区间(,2)上单调递减,则当x∈(-∞,)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(,2)时,f'(x)<0,若<0,则当x-1<0时,f'(x)>0或当x-1>0时,f'(x)<0.当x-1<0,f'(x)>0时,解得x∈(-∞,),当x-1>0,f'(x)<0时,解得x∈(1,2),综上可得不等式<0的解集为(-∞,)∪(1,2).
7.解 (1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1,+∞),
求导得f'(x)=,
当k=-3时,f'(x)=,
当-11+时,f'(x)>0,当1-所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1-),(1+,+∞),单调递减区间是(1-,1+).
(2)由(1)知,f'(x)=,
由f(x)在其定义域上单调递增,得f'(x)≥0在区间(-1,+∞)上恒成立,
则0,即2k≥-,
当x>-1时,-=-[(x+1)++2]≤-4,当且仅当x=0时等号成立,
因此2k≥-4,解得k≥-2,当k=-2时,f'(x)=0,
由f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增,所以k的取值范围是[-2,+∞).
8.B 对f(x)求导得f'(x)=,
当x∈(0,e)时,f'(x)=>0,所以f(x)=在区间(0,e)上单调递增,
当x∈(e,+∞)时,f'(x)=<0,所以f(x)=在区间(e,+∞)上单调递减,
根据f(1)==0,f(4)==f(2),当x∈(e,+∞)时,f(x)=>0,可作出图象,
所以当x0∈(1.5,2)时,5-x0∈(3,3.5),
根据图象可知f(x0)f(4)=f(2),所以恒有f(x0)由于f(x0)>0,f(5-x0)>f(4),所以f(x0)+f(5-x0)>f(4),故C错误.
9.D 因为f(-x)=e|-x|-(-x)2=e|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数,
当x≥0时,则f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x.
令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=ex-2,
令φ'(x)<0,解得0≤x0,解得x>ln 2,
所以φ(x)在区间[0,ln 2)上单调递减,在区间(ln 2,+∞)上单调递增,可得φ(x)≥φ(ln 2)=2(1-ln 2)>0,即f'(x)>0在区间[0,+∞)上恒成立,故f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
令g(x)=,则g'(x)=,所以当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当00,函数g(x)单调递增,又e<π<4,所以g(e)>g(π)>g(4),即,所以,所以f()>f()>f()=f(-),即b>c>a.
10.解 f'(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a),当a≤0时,ex-a>0恒成立,令f'(x)<0 x<-1,f'(x)>0 x>-1,此时f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增.
当00 x>-1或x此时f(x)在区间(ln a,-1)上单调递减,在区间(-∞,ln a),(-1,+∞)上单调递增.
当a=时,令f'(x)<0 x不存在,f'(x)>0 x≠-1,此时f(x)在R上单调递增,不存在单调递减区间.
当a>时,令f'(x)<0 -10 x>ln a或x<-1,
此时f(x)在区间(-1,ln a)上单调递减,在区间(-∞,-1),(ln a,+∞)上单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增;
当0时,f(x)在区间(-1,ln a)上单调递减,在区间(-∞,-1),(ln a,+∞)上单调递增.
11.解 (1)由题意得f'(x)=,令f'(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题意,存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,不妨设x1>x2>1,由(1)知x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|等价于f(x2)-f(x1)≥k(ln x1-ln x2),
即f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1,即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,使f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1成立.令h(x)=f(x)+kln x,则h(x)在区间(1,+∞)上存在减区间.即h'(x)=<0在区间(1,+∞)上有解集,即k<在区间(1,+∞)上有解,即k<,x∈(1,+∞);令t(x)=,x∈(1,+∞),t'(x)=,x∈(1,)时,t'(x)>0,t(x)在区间(1,)上单调递增;x∈(,+∞)时,t'(x)<0,t(x)在区间(,+∞)上单调递减,∴t(x)max=t()=,∴k<
12.C 因为f(x)=aln x+bx-,所以f()=-aln x+-x,f'(x)=+b+因为f(x)为“倒负函数”,所以f(x)=-f(),即aln x+bx-=aln x-+x,整理得(b-1)(x2+1)=0,解得b=1,则f'(x)=
又f(x)在x=1处的切线与x轴平行,所以f'(1)=1+a+1=0,解得a=-2,所以f'(x)=0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
13.ACD 对于A,因为y=ex,y=-e-x都是增函数,所以sinh x=是增函数,故A正确;
对于B,cosh x=显然是偶函数,不可能是增函数,故B错误;
对于C,tanh x==1-,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1-是增函数,故C正确;
对于D,由C知tanh x=,则tanh(x+y)==
=,故tanh(x+y)=,故D正确.
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2026全国版高中数学突破练
突破练18 利用导数研究函数的单调性
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广西南宁模拟)函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是( )
A.(-,+∞) B.(-2,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
2.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=,e
B.f(a)
D.f(a),f(b)的大小关系不能确定
3.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
4.(2025·湖北七市(州)期末)已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(2x-1)+f(x)>0的解集为( )
A.(-∞,1) B.(,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,)
5.(2025·河北承德高三期末)已知函数f(x)=-x3-ax2-(a2+1)x,则( )
A.f(1.10.9)>f(0.90.9)>f(ln 0.9)
B.f(ln 0.9)>f(0.90.9)>f(1.10.9)
C.f(1.10.9)>f(ln 0.9)>f(0.90.9)
D.f(ln 0.9)>f(1.10.9)>f(0.90.9)
6.(2025·上海宝山模拟)如图所示为函数f(x)的图象,则不等式<0的解集为 .
7.(15分)已知函数f(x)=ln(x+1)+(k∈R).
(1)若k=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在其定义域上单调递增,求k的取值范围.
能力·高分练
8.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=,若x0∈(1.5,2),则( )
A.f(x0)>f(5-x0)
B.f(x0)
9.(2025·甘肃平凉模拟)已知函数f(x)=e|x|-x2,若a=f(-),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
10.(13分)(原创)已知函数f(x)=xex-x2-ax+,a∈R.讨论函数f(x)的单调性.
11.(15分)(2025·浙江金华模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|成立,求k的取值范围.
素养·提升练
12.(原创)若函数f(x)满足f(x)=-f(),则称f(x)为“倒负函数”.已知“倒负函数”f(x)=aln x+bx-在x=1处的切线与x轴平行,则f(x)( )
A.在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减
B.在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增
C.在(0,+∞)单调递增
D.在(0,+∞)单调递减
13.(多选)(2025·八省联考,10)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则( )
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
参考答案
1.A 函数f(x)=(x+1)e2x的定义域为R,
又f'(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解得x>-,所以函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(-,+∞).
2.C 令f'(x)==0,解得x=e,
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,e)上单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在区间(e,+∞)上单调递减,又e
3.C 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立,即a在区间(1,2)内恒成立.
设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,
所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,
则0<,即a≥e-1.故选C.
4.B 由题意得f(x)的定义域为R,
因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,
又f'(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在R上为单调递增函数,由f(2x-1)+f(x)>0得f(2x-1)>-f(x)=f(-x),所以2x-1>-x x>,
所以不等式的解集为(,+∞).
5.B 由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=-x2-ax-(a2+1),
因为Δ=-3a2-4<0,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)是减函数.又因为ln 0.9
6. (-∞,)∪(1,2) 由图象得f(x)在区间(-∞,),(2,+∞)上单调递增,在区间(,2)上单调递减,则当x∈(-∞,)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(,2)时,f'(x)<0,若<0,则当x-1<0时,f'(x)>0或当x-1>0时,f'(x)<0.当x-1<0,f'(x)>0时,解得x∈(-∞,),当x-1>0,f'(x)<0时,解得x∈(1,2),综上可得不等式<0的解集为(-∞,)∪(1,2).
7.解 (1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1,+∞),
求导得f'(x)=,
当k=-3时,f'(x)=,
当-1
(2)由(1)知,f'(x)=,
由f(x)在其定义域上单调递增,得f'(x)≥0在区间(-1,+∞)上恒成立,
则0,即2k≥-,
当x>-1时,-=-[(x+1)++2]≤-4,当且仅当x=0时等号成立,
因此2k≥-4,解得k≥-2,当k=-2时,f'(x)=0,
由f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增,所以k的取值范围是[-2,+∞).
8.B 对f(x)求导得f'(x)=,
当x∈(0,e)时,f'(x)=>0,所以f(x)=在区间(0,e)上单调递增,
当x∈(e,+∞)时,f'(x)=<0,所以f(x)=在区间(e,+∞)上单调递减,
根据f(1)==0,f(4)==f(2),当x∈(e,+∞)时,f(x)=>0,可作出图象,
所以当x0∈(1.5,2)时,5-x0∈(3,3.5),
根据图象可知f(x0)
9.D 因为f(-x)=e|-x|-(-x)2=e|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数,
当x≥0时,则f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x.
令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=ex-2,
令φ'(x)<0,解得0≤x
所以φ(x)在区间[0,ln 2)上单调递减,在区间(ln 2,+∞)上单调递增,可得φ(x)≥φ(ln 2)=2(1-ln 2)>0,即f'(x)>0在区间[0,+∞)上恒成立,故f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
令g(x)=,则g'(x)=,所以当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当0
10.解 f'(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a),当a≤0时,ex-a>0恒成立,令f'(x)<0 x<-1,f'(x)>0 x>-1,此时f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增.
当0
当a=时,令f'(x)<0 x不存在,f'(x)>0 x≠-1,此时f(x)在R上单调递增,不存在单调递减区间.
当a>时,令f'(x)<0 -1
此时f(x)在区间(-1,ln a)上单调递减,在区间(-∞,-1),(ln a,+∞)上单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增;
当0
11.解 (1)由题意得f'(x)=,令f'(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题意,存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,不妨设x1>x2>1,由(1)知x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|等价于f(x2)-f(x1)≥k(ln x1-ln x2),
即f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1,即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,使f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1成立.令h(x)=f(x)+kln x,则h(x)在区间(1,+∞)上存在减区间.即h'(x)=<0在区间(1,+∞)上有解集,即k<在区间(1,+∞)上有解,即k<,x∈(1,+∞);令t(x)=,x∈(1,+∞),t'(x)=,x∈(1,)时,t'(x)>0,t(x)在区间(1,)上单调递增;x∈(,+∞)时,t'(x)<0,t(x)在区间(,+∞)上单调递减,∴t(x)max=t()=,∴k<
12.C 因为f(x)=aln x+bx-,所以f()=-aln x+-x,f'(x)=+b+因为f(x)为“倒负函数”,所以f(x)=-f(),即aln x+bx-=aln x-+x,整理得(b-1)(x2+1)=0,解得b=1,则f'(x)=
又f(x)在x=1处的切线与x轴平行,所以f'(1)=1+a+1=0,解得a=-2,所以f'(x)=0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
13.ACD 对于A,因为y=ex,y=-e-x都是增函数,所以sinh x=是增函数,故A正确;
对于B,cosh x=显然是偶函数,不可能是增函数,故B错误;
对于C,tanh x==1-,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1-是增函数,故C正确;
对于D,由C知tanh x=,则tanh(x+y)==
=,故tanh(x+y)=,故D正确.
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