突破练19　利用导数研究函数的极值、最值--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练19　利用导数研究函数的极值、最值
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x+2cos x在区间[0,]上的最大值为(　　)
A. B.2
C. D.+1
2.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知x=1是函数f(x)=(ax2+3x-3)ex的极值点,则函数f(x)的极小值为(　　)
A.-3 B.-e
C.0 D.e
3.(2025·广东汕头二模)若函数f(x)=有两个极值点,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(0,2)
C.(0,1] D.(0,1)
4.(2025·山东日照模拟)已知当x=0时,函数f(x)=ax+取得最小值1,则f(1)+f'(1)=(　　)
A.0 B.
C.1 D.2
5.(2025·浙江台州二模)已知a∈R,若函数f(x)=x+-ln x既有极大值又有极小值,则a的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.(0,)
C.(-,0) D.(-,+∞)
6.(2025·江苏苏北七市三模)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,则(　　)
A.-x0是f(-x)的极小值点
B.-x0是-f(x)的极大值点
C.-x0是-f(-x)的极小值点
D.-x0是f(|x|)的极大值点
7.(多选)(2025·海南海口模拟)f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,其导函数f'(x)的图象如图所示,则在区间[a,b]内(　　)
A.函数f(x)有三个极值点
B.函数f(x)的单调增区间为(x1,x5)
C.函数f(x)的最大值可能为f(x5)
D.函数f(x)的最小值可能为f(a)
8.(多选)(2025·江西南昌期中)如图所示,设铁路AB=60,B,C之间距离为8,现将货物从A运往C,已知单位距离铁路费用为3,公路费用为5,如果在AB上点M处修筑公路至C,可使运费由A至C最省.则下列正确的是(　　)
A.点M到B的距离为4
B.由A至C运费最省时,运费是212
C.点M到C的距离为12
D.由点M到C的公路运费是50
9.(15分)(2025·安徽黄山一模)已知函数f(x)=x2-aln x-a3.
(1)当a=1时,求函数f(x)在[,3]上的最值;
(2)若f(x)有极值且极小值大于0,求a的取值范围.
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.
能力·高分练
11.(原创)已知函数f(x)=-k2x2-2k(x-2)ex+e2x(k>0),当eA.1 B.2
C.3 D.4
12.(2025·河北承德模拟)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)=,且f(1)=e2,则f(x)(　　)
A.有极大值无极小值
B.有极小值无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值又无极小值
13.(2026·江苏南通高三开学考试)已知正数a,b,c满足4a2+b2+c2=4,则ac(b+)的最大值是　　　　　.
素养·提升练
14.(原创+模块外融通)若x1,x2(x1A.
B.-
C.
D.
15.(2025·江西南昌一模)我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-ex2+(x-1)2,则下列给出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似”的是(　　)
A.y=x2
B.y=-x2
C.y=x3-3x
D.y=-x3+3x
参考答案
1.C　f'(x)=1-2sin x,x∈[0,],
令f'(x)>0,解得0≤x<,令f'(x)<0,解得故所求最大值为
2.A　函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(ax2+2ax+3x)ex,
由x=1是函数f(x)的极值点,得f'(1)=(3a+3)e=0,解得a=-1,
则f(x)=(-x2+3x-3)ex,f'(x)=(-x2+x)ex=-x(x-1)ex,
当x<0或x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当00,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值f(0)=-3.
3.B　因为x≤1时,f(x)=-x2+ax=-,函数图象的对称轴为x=,当<1时函数在x=时取得极大值,又因为x>1时,f(x)=ax-1,由函数的性质,可知要使f(x)还有一个极值,必须使a>0,则由可得04.D　当x=0时,函数f(x)=ax+取得最小值1,则f'(x)=a-,f'(0)=a-b=0,f(0)=b=1,a=1,
所以f(x)=x+,f'(x)=1-,当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=0时取到最小值,符合题意,则f(1)=1+,f'(1)=1-,所以f(1)+f'(1)=2.
5.C　因为函数f(x)=x+-ln x的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=1-,因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,则关于x的方程x2-x-a=0有两个不相等的正根x1,x2,
所以解得-因此,实数a的取值范围是(-,0).
6.C　因为f(-x)的图象和f(x)的图象关于y轴对称,
又x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,故-x0是f(-x)的极大值点,所以A错误;
取f(x)=-(x+1)2,则x0=-1是f(x)的极大值点,
-f(x)=(x+1)2,故1不是-f(x)的极大值点,所以B错误;
因为f(|x|)=-(|x|+1)2为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,
1不是f(|x|)的极大值点,所以D错误;
因为-f(-x)的图象和f(x)的图象关于原点对称,
又x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,故-x0是-f(-x)的极小值点,所以C正确.
7.BC　由图象可知,当a所以函数f(x)的单调递减区间为(a,x1),(x5,b),单调递增区间为(x1,x5),
所以函数f(x)只有两个极值点,A错误;
函数f(x)的单调递增区间为(x1,x5),B正确;
函数f(x)的最大值可能为f(x5),C正确;
因为函数f(x)在区间[a,x1]上单调递减,则f(x1)8.BD　设MB=x,铁路AM上的运费为3(60-x),公路MC上的运费为5,则由A到C的总运费为y=3(60-x)+5(0≤x≤60).
则y'=-3+(0≤x≤60).
令y'=0,解得x1=6,x2=-6(舍去).
当0≤x<6时,y'<0,y单调递减;当60≥x>6时,y'>0,y单调递增.
故当x=6时,y取得最小值,ymin=3×54+50=212,即当在距离点B为6的点M处修筑公路至C,可使总运费最小,此时MB=6,MC=10,点M到C的公路运费是50.
9.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-ln x-,则f'(x)=x-,x>0,由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,可得0所以f(x)min=f(1)=0.
因为f(3)=4-ln 3,f()=ln 2-,
又4-ln 3-(ln 2-)=4+-ln 6>0,
所以f(3)>f(),f(x)max=f(3),
所以f(x)的最大值为4-ln 3,最小值为0.
(2)因为f'(x)=x-,x>0,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,由f'(x)=0,得x=,
当0时,f'(x)>0,即f(x)单调递增,所以当x=时,f(x)有极小值,极小值为f()=a(1-ln a-a2),
由f()=a(1-ln a-a2)>0,得1-ln a-a2>0,令F(a)=1-ln a-a2,a>0,则F'(a)=--2a<0,所以函数F(a)在区间(0,+∞)上单调递减,又F(1)=0,由F(a)>F(1),得a<1,则0综上,a的取值范围为(0,1).
10.解 (1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=,令f'(x)=0得x=e,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)的极大值点为x=e,无极小值点.
(2)g(x)=ln x-ax2+(a>0),g'(x)=-2ax=(x>0,a>0),令g'(x)=0,得x=,因为当x时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g=ln-a=-(ln a+1),
由g(x)max=-(ln a+1)>-1,得ln a+a-1<0,令h(a)=ln a+a-1(a>0),h'(a)=+1>0,h(a)单调递增,而h(1)=0,所以当h(a)<0时,a∈(0,1).
11.B　函数f(x)=-k2x2-2k(x-2)ex+e2x(k>0),求导得f'(x)=-2k2x-2k(x-1)ex+2e2x=2(ex+k)(ex-kx),由f'(x)=0,得,令函数g(x)=,求导得g'(x)=,当x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,则g(x)max=g(1)=,函数g(x)的大致图象如图所示,
由ex2时,h(x)>0,f'(x)>0;当x1因此函数f(x)恰有2个极值点,B正确.
12.D　由f'(x)-2f(x)=,设函数g(x)=,则g'(x)=,则g(x)==ln x+c,c为常数.所以f(x)=(ln x+c)e2x.
又f(1)=e2,则c=1,f(x)=(ln x+1)e2x.f'(x)=+2e2x(ln x+1)=e2x(2ln x++2).设h(x)=2ln x++2,h'(x)=,当0时,h'(x)>0,则h(x)在区间(0,]上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h()=-2ln 2+4>0,即f'(x)>0.
所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,既无极大值又无极小值.
13　因为4-b2=4a2+c2≥2=4ac(当且仅当4a2=c2时4a2+c2=4ac),
所以ac(b+,0由f'(x)>0得0所以f(x)max=f(1)=-1-+4+2=
所以ac(b+f(1)=,当且仅当时取等号.
14.D　因为f'(x)=2exsin x,令f'(x)=0,即sin x=0 x=kπ(k∈Z),
当x∈(2kπ,2kπ+π)时,f'(x)>0,故f(x)为单调递增函数;
当x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数.
所以当x=2kπ+π(k∈Z)时,f(x)取得极大值.又-x≤2 019π,所以所有极大值之和M=f(π)+f(3π)+f(5π)+…+f(2 019π)=eπ+e3π+…+e2 019π=,所有极小值之和N=f(0)+f(2π)+f(4π)+…+f(2 018π)=-e0-e2π-e4π-…-e2 018π=-,
所以函数f(x)=ex(sin x-cos x) (-x≤2 019π)的所有极优差之和为M-N=
15.C　f'(x)=ex-ex+2x-2,
令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2,
如图,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象,由图可知函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0,令f'(x)>0,则x>1或x对于A,函数y=x2在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数有极小值点,无极大值点,故A选项不符合;
对于B,函数y=-x2在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减,所以函数有极大值点,无极小值点,故B选项不符合;
对于C,y'=3x2-3,
当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C选项符合;
对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x),
则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D选项不符合.
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