突破练23　任意角、弧度制及三角函数的概念--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练23　任意角、弧度制及三角函数的概念
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·浙江绍兴一模)角2 025°的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[错题笔记]
2.(2025·陕西汉中模拟)若角α的顶点是坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,点P(-1,2)在角α的终边上,则sin α-tan α=(　　)
A.2 B. C.3 D.
[错题笔记]
3.(2025·安徽芜湖二模)已知角α和角β的顶点在坐标原点,始边均与x轴非负半轴重合,终边关于直线y=x对称,则cos(α+β)=(　　)
A. B.- C.0 D.1
[错题笔记]
4.(一题多解)在扇形OAB中,已知弦AB=2,∠AOB=,则扇形OAB的面积为(　　)
A. B. C.π D.
[错题笔记]
5.(2025·广东深圳模拟)下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形面积为
C.已知角θ的终边经过点P(x,3),且cos θ=-,则x=±4
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
[错题笔记]
6.(2025·福建福州模拟)如图所示,两动点P,Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆上,从点A(1,0)处同时出发做匀速圆周运动.已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转β弧度(0<α<β<π),且P,Q两点在第2秒末第一次相遇于点(-)处,则它们从出发后到第2次相遇时,点P走过的总路程为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
7.(原创)(多选)下列各式正确的是(　　)
A.-210°=- B.405°=
C.335°= D.705°=
[错题笔记]
8.(多选)已知角θ的终边经过点(2,-),且θ与α的终边关于原点对称,则下列结论正确的是(　　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ,sin α)在第二象限
[错题笔记]
9.(原创)已知角α终边上一点P的坐标为(sin 2,cos 2),则α是第　　　　象限角,sin α=　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·甘肃一模)如图,甲、乙两人在这段弧形路段跑步,该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周,内弧半径为12米,路宽为3米,两人均从外弧A点处跑入该路段,甲沿内弧切线方向跑至切点C,又沿内弧CB跑至点B处后跑出该路段,乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上D点处,再沿外弧DE跑至点E处后跑出该路段,则在该路段跑动距离更短的是　　　　　(填“甲”或“乙”),两人跑动距离之差的绝对值约为　　　米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 37°≈0.6,π≈3)

[错题笔记]
能力·高分练
11.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　)
A.{α|+2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z}
B.{α|+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z}
C.{α|-+2kπ≤α≤(2k-1)π,k∈Z}
D.{α|-+2kπ≤α≤2kπ,k∈Z}
[错题笔记]
12.(2025·河南模拟)已知α是第二象限的角,P(x,3)为其终边上的一点,且sin α=,则x=(　　)
A.-6 B.±6
C.±6 D.-6
[错题笔记]
13.(多选)(2025·广东深圳模拟)下列关于角α的说法中,正确的为(　　)
A.若α的终边在y轴上,则α=kπ,k∈Z
B.若α是第二象限角,则不是第二象限角
C.若tan α=3,则sin α=
D.若扇形的圆心角为α,半径为2,则该扇形的面积为2α
[错题笔记]
14.(2025·陕西模拟)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,其终边与圆O交于点P(7).若点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q,则cos∠QOx=(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(多选)(2025·广东深圳模拟)质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动,同时出发,P的角速度大小为1 rad/s,起点为(1,0),Q的角速度大小为3 rad/s,起点为(,-).则当P与Q重合时,P的坐标可能为(　　)
A.() B.(-)
C.(-,-) D.(,-)
[错题笔记]
16.(2025·山西模拟)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为6π,则其面积是　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.C　因为2 025°=5×360°+225°,易知225°的终边在第三象限,故角2 025°的终边在第三象限.
2.B　设x=-1,y=2,|OP|=r,则r=3,所以sin α=,tan α=-2,故sin α-tan α=
3.C　由题意可得α+β=2×(+kπ)=+2kπ(k∈Z),则cos(α+β)=cos(+2kπ)=0(k∈Z).
4.B　(方法1)设扇形的圆心角为α,半径为r,则α=,rsinr=2,
扇形的面积S=r2=22=
(方法2)设扇形的圆心角为α,半径为r,则rsinr=2,
则扇形所在圆的面积为πr2=4π,又α=,所以扇形的面积S=4π=
5.B　对于A,-=-2π+,又为第二象限角,
所以-是第二象限角,故A错误;
对于B,因为圆心角为的扇形的弧长为π,所以扇形的半径r==3,则该扇形面积为32=,故B正确;
对于C,因为角θ的终边经过点P(x,3),且cos θ=-,所以cos θ==-,解得x=-4,故C错误;
对于D,取α=为锐角,则2α=也为锐角,故D错误.
6.C　根据题意,设经过t秒,第二次相遇.
点(-)对应的圆心角为,则有则α=,β=则由t+t=4π,解得t=4,所以第二次相遇时,P走过的总路程为41=
7.ABD　对于A,-210°=-210°=-,正确;
对于B,405°=405°,正确;
对于C,335°=335°,错误;
对于D,705°=705°,正确.
8.ACD　因为角θ的终边经过点(2,-),所以sin θ=-,故A正确;因为θ与α的终边关于原点对称,所以角α的终边经过点(-2,),所以α为第二象限角,但不一定为钝角,故B错误;cos α=-,故C正确;
因为tan θ=-<0,sin α=>0,所以点(tan θ,sin α)在第二象限,故D正确.
9.四　cos 2　由于<2<π,所以sin 2>0,cos 2<0,故点P在第四象限,也即α为第四象限角.由三角函数的定义有sin α==cos 2.
10.甲　2.4　连接OC,OD,可知OC⊥AD,OA=OD,则∠AOC=∠DOC,AC=CD,
在Rt△AOC中,cos∠AOC==0.8,
所以sin∠AOC==0.6,
所以∠AOC≈37°,AC=15sin∠AOC=9,
所以=12=10.6,则甲跑动的距离约为9+10.6=19.6米,
因为AD=2AC=18,=154,则乙跑动的距离约为18+4=22米,所以甲跑动的距离更短,约少跑22-19.6=2.4米.
11.B　由题图,阴影部分在第二象限部分的角可表示为π,该区域每次旋转π弧度即可得到图中阴影部分区域,故阴影部分的角的集合为{α|+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z}.
12.D　依题意,x<0,r=|OP|=,其中,O为坐标原点,则sin α=,所以x=-6
13.BD　若α的终边在y轴上,则α=+kπ,k∈Z,故A错误;
若α是第二象限角,则+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),则+kπ<+kπ(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,+2nπ<+2nπ(n∈Z),则是第一象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,+2nπ<+2nπ(n∈Z),则是第三象限角,故B正确;
若tan α=3>0,则α可以是第一或第三象限角,故sin α可能取正也可能取负,故C错误;
若扇形的圆心角为α,半径为2,则该扇形的面积为S=22×α=2α,故D正确.
14.B　因为角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,其终边与圆O交于点P(7),所以圆O半径r==10,
所以sin α=,cos α=,
因为点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q,所以∠POQ=,所以cos∠QOx=cos(∠POQ+α)=cos(+α)=coscos α-sinsin α=
15.AC　点Q的初始位置Q1的坐标为(,-),锐角∠Q1OP=,
设t时刻两点重合,则3t-t=+2kπ(k∈N),即t=+kπ(k∈N),
此时点Q(cos(-+3t),sin(-+3t) ),即Q(cos(+3kπ),sin(+3kπ) )(k∈N),
当k为偶数时,Q(cos,sin),即P,Q重合于点(),故A正确;
当k为奇数时,Q(-cos,-sin),即Q(-,-),故C正确.
16. 18π-18　依题意,=2π,等边三角形的边长AB=BC=AC==6,
则以点A,B,C为圆心,圆弧AB,BC,AC所对的扇形面积为2π×6=6π,
中间等边△ABC的面积S=62=9,
所以莱洛三角形的面积是3×6π-2×9=18π-18
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