突破练24　同角三角函数基本关系式与诱导公式--2026全国版高中数学突破练(含答案)

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2026全国版高中数学突破练
突破练24　同角三角函数基本关系式与诱导公式
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东汕头模拟)cos()=(　　)
A.- B.- C. D.
2.(2023·全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.(2025·宁夏模拟)在单位圆中,已知角α是第二象限角,它的终边与单位圆交于点P(-,y),则sin(π-α)=(　　)
A.- B.-
C. D.
4.(2025·甘肃二模)若sin α=cos α+,则tan α+=(　　)
A. B.
C. D.
5.(2026·辽宁模拟)已知α是钝角,,则cos α=(　　)
A.- B.-
C.- D.-
6.(多选)(2025·贵州遵义模拟)已知角α的终边经过点M(-,-1),则(　　)
A.sin α=- B.tan α=-
C.sin(α+)=- D.cos(α-π)=
7.(多选)(2025·广西柳州模拟)已知α∈(0,π),sin α+cos α=-,则下列结论错误的是(　　)
A.cos α=
B.sin α-cos α=
C.=-
D.=-7
8.(2025·甘肃白银二模)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(4,-3),则tan(+α)=　　　　　.
9.(2025·北京,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组(α,β)=　　　　　.
10.(15分)(2025·湖北武昌模拟)已知
.
(1)求tan x的值;
(2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值.
能力·高分练
11.(2022·浙江,4)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(原创)(多选)已知sin αcos α=,则(　　)
A.tan α的值为
B.当0<α<时,sin α的值为
C.当<α<时,cos α-sin α的值为-
D.当α为第三象限角时,sin α+cos α的值为-
13.(2024·北京,12)已知α∈[],且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为　　　　.
14.(15分)(2025·河北保定模拟)已知f(α)=
.
(1)已知角α的终边过点P(5,-12),求f(α)的值;
(2)若f(α)-f(+α)=,且α∈(),求tan α的值.
素养·提升练
15.(原创)如图所示,在平面直角坐标系中,∠α的终边OP与正方形ABCD交于点P(x,y),我们定义∠α的类余弦值Lcos α=x,类正弦值Lsin α=y.则下面叙述正确的是(　　)
A.对任意的α∈R,(Lcos α)2+(Lsin α)2=1
B.对任意的α∈R,Lcos α+Lsin α≤
C.f(x)=Lcos x在区间[π,]上单调递增
D.对任意的α∈R,Lcos(-α)=Lsin α
16.(一题多解)若点Pk的坐标为(sinπ,sinπ),始边为x轴非负半轴,终边为射线OPk的角为θk(O为坐标原点),则cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案
1.A　cos()=cos(4π+)=cos=-
2.B　若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不一定成立.若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
3.C　因为角α的终边与单位圆交于点P(-,y),所以cos α=-,
因为角α是第二象限角,所以sin α=,
所以sin(π-α)=sin α=
4.C　因为sin α-cos α=,所以sin2α+cos2α-2sin αcos α=,sin αcos α=
因为tan α+,所以tan α+
5.D　因为α为钝角,则-1所以=
=
=-2tan α=,
故tan α=-,
由题意可得
解得cos α=-
6.AC　由条件可知,r==2,所以sin α=-,cos α=-,tan α=,故A正确,B错误;
所以sin(α+)=cos α=-,cos(α-π)=-cos α=,故C正确,D错误.
7.ACD　因为sin α+cos α=-,所以(sin α+cos α)2=,则sin2α+cos2α+2sin αcos α=,即sin αcos α=-<0,
又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0.
联立
解得故A错误;
对于B,sin α-cos α=-(-)=,故B正确;
对于C,tan α==-,则,故C错误;对于D,=7,故D错误.
8　由正切函数的定义可知tan α=-,再利用诱导公式知tan(+α)=tan(+α)==-=
-
9.() (答案不唯一)　∵sin(α+β)=sin(α-β),∴sin αcos β+cos αsin β=sin αcos β-cos αsin β,∴cos αsin β=0.①
∵cos(α+β)≠cos(α-β),
∴cos αcos β-sin αsin β≠cos αcos β+sin αsin β,
∴sin αsin β≠0.②
由①②可知cos α=0,sin β≠0,
可取α=,β=
10.解 (1)因为
,
所以,
所以,解得tan x=2.
(2)因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,所以
所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin x·cos x=1+5sin xcos x.
由(1)知tan x=2,
则sin xcos x=,所以m2+3n=1+5=3.
11.A　由sin x=1,得x=2kπ+,k∈Z,此时cos x=0;
由cos x=0,得x=kπ+,k∈Z,此时sin x=±1,故选A.
12.ACD　设tan α=t,则sin α=tcos α.代入sin αcos α=,得tcos2α=
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
所以t12t2-25t+12=0,解得t=或t=,因为sin αcos α=>0,sin α与cos α同号,故tan α>0,两解均成立.故A正确.
当0<α<时,cos α>sin α,故tan α=<1,则tan α=
设sin α=3k,cos α=4k(k>0),则sin2α+cos2α=(3k)2+(4k)2=1 k=,
此时,sin α=3k=,故B错误.
当<α<时,cos α故cos α-sin α<0.(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2,所以cos α-sin α=-=-,故C正确.
当α为第三象限角时,sin α<0,cos α<0,故cos α+sin α<0.
所以(cos α+sin α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2,即cos α+sin α=-=-,故D正确.
13.-　由题可知β=(2k+1)π+α,k∈Z,∴cos β=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cos α.∵α∈[],∴cos α∈[],∴cos β∈[-,-],∴cos β的最大值为-
14.解 (1)因为f(α)=
=
=sin α,
又角α的终边过点P(5,-12),
则sin α==-,
故f(α)=-
(2)f(α)-f(+α)=sin α-sin(+α)=sin α+cos α=,①
则2sin αcos α=(sin α+cos α)2-1=-1=-,
则(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+因为α∈(),所以cos α<0,又sin αcos α<0,所以sin α>0,
故α∈(,π),sin α-cos α=,②
由①②解得sin α=,cos α=-,
故tan α==-
15.D　对于A,B,当α=时,Lcos α=Lsin α=1,(Lcos α)2+(Lsin α)2=2>1,Lcos α+Lsin α=2>,A,B错误;
对于C,Lcos=Lcos π=-1,说明f(x)=Lcos x在区间[π,]上不是单调递增的,C错误;
对于D,正方形ABCD关于直线y=x对称,∠α和-∠α的终边也关于直线y=x对称,则∠α和-∠α的终边和正方形ABCD的交点也关于直线y=x对称,所以Lcos(-α)=Lsin α,D正确.
16.B　(方法1)Pk(sin,sin),由sin=cos()=cos,得Pk(cos,sin),由三角函数定义知cos θk=
=cos,
所以cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=cos+cos+…+cos+cos
因为-=π,所以cos+cos=0,所以cos+cos=0,
cos+cos=0,…,cos+cos=0,cos=0,所以cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=0.
(方法2)由题意,可以得到θ1,θ2,…,θ24所在终边刚好将单位圆均分成24份,
θi,θ12+i(i=1,2,3,…,12)的终边关于原点对称,即cos θi+cos θ12+i=0,
所以cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ24=0,又cos θ25=0,
故cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=0.
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