第7课时 长方体和正方体的体积
一、填空。
1．长方体或正方体底面的面积叫作( )，长方体和正方体的体积也可以用统一的公式计算：体积＝( )×( )，用字母表示是( )。
2．一个长方体长12cm，宽9cm，高是8cm，它的体积是( )cm3。
3．一个正方体的棱长是5cm，它的体积是( )cm3。
4．丽丽研究长方体的体积，他用棱长为1厘米的小正方体如图摆放。这样他就算出底层能摆( )个，可以摆( )层，共可以摆( )个这个长方体的体积是( )立方厘米。
5．一个长方体纸箱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别是8dm、6dm、3dm，这个纸箱的体积是( )。把这个纸箱放在地上，当它的占地面积最小时，纸箱的高是( )dm。
6．某城市要挖一个长150米，宽40米，深5米的地下车库，一共需要挖出土石( )方。
二、求出下列图形的体积。
三、问题解决。
1．运动会前，学校要给长3.5米、宽2米的长方体空沙坑里铺上48厘米厚的沙子。一辆运沙车，每次能运沙0.8立方米，至少运几次才能铺好沙？
2．家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？
3．下图是冰雪大世界冰灯展区的一个冰雕作品“数字0”，它的体积是是多少立方分米？（单位：分米）
4.张师傅把两个棱长都是6 cm的正方体钢块锻造成一个长30 cm、宽7.2 cm的长方体，这个长方体钢块的高是多少厘米？
四、数学课上，一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体。
想想说：“如果高再增加2分米，它恰好是一个正方体。”
乐乐说：“这个长方体的棱长总和是64分米。”
当当说：“长方体的前、后、左、有四个面的面积之和是96平方分米。”
兰兰说：“长方体的底面周长是24分米。”
这四名同学所说的数据都是正确的，你能从中找出必要的条件求出长方体的体积吗？
五、一个长方体相邻两个面的面积的和是209cm2．如果这个长方体的长、宽、高的厘米数都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
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3第7课时 长方体和正方体的体积
一、填空。
1．长方体或正方体底面的面积叫作( )，长方体和正方体的体积也可以用统一的公式计算：体积＝( )×( )，用字母表示是( )。
【答案】 底面积 底面积 高 V＝Sh
【详解】长方体或正方体底面的面积叫作底面积，长方体和正方体的体积也可以用统一的公式计算：体积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。例如，底面积是1平方厘米、高是2厘米的长方体，求它的体积列式为：1×2＝2（立方厘米）。
2．一个长方体长12cm，宽9cm，高是8cm，它的体积是( )cm3。
【答案】864
【分析】长方体占空间的大小即为体积，根据体积公式求解即可。
【详解】12×9×8
＝108×8
＝864（cm3）
3．一个正方体的棱长是5cm，它的体积是( )cm3。
【答案】125
【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长5cm代入正方体体积公式计算即可。
【详解】5×5×5＝125（cm3）
所以它的体积是125cm3。
4．丽丽研究长方体的体积，他用棱长为1厘米的小正方体如图摆放。这样他就算出底层能摆( )个，可以摆( )层，共可以摆( )个这个长方体的体积是( )立方厘米。
【答案】 20 3 60 60
【分析】由图可知，底层能摆4行，每行5个，根据乘法的意义，用4×5列式求出底层能摆放的个数，可以摆3层，用底层的个数乘3可求出摆放的个数，棱长为1cm的小正方体的体积是1×1×1＝1（立方厘米），有多少个小正方体就是多少立方厘米。
【详解】4×5＝20（个）
由图可知，可以摆3层；
20×3＝60（个）
1×1×1＝1（立方厘米）
60×1＝60（立方厘米）
所以这样他就算出底层能摆20个，可以摆3层，共可以摆60个，这个长方体的体积是60立方厘米。
5．一个长方体纸箱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别是8dm、6dm、3dm，这个纸箱的体积是( )。把这个纸箱放在地上，当它的占地面积最小时，纸箱的高是( )dm。
【答案】 144 8
【分析】相交于一个顶点的三条棱的长度分别对应长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出这个纸箱的体积；要使这个纸箱的占地面积最小，则应使这个长方体最小的面积朝下，据此解答即可。
【详解】8×6×3
＝48×3
＝144（）
8×6＝48（）
8×3＝24（）
6×3＝18（）
48＞24＞18
即：宽×高的面朝下，此时原来长方体的长作为高。
所以这个纸箱的体积是144，当它的占地面积最小时，纸箱的高是8dm。
6．某城市要挖一个长150米，宽40米，深5米的地下车库，一共需要挖出土石( )方。
【答案】30000
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答。1立方米＝1方。
【详解】150×40×5
＝6000×5
＝30000（方）
一共需要挖出土石30000方。
二、求出下列图形的体积。
【答案】512cm3；40dm3；26.6m
【分析】根据题意可知，把正方体的棱长的数据代入到正方体的体积公式：V＝a×a×a，即可求出正方体的体积；
把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的体积公式：V＝a×b×h，即可求出长方体的体积。
由图可知，长方体的底面积为1.9平方米，高为14米，利用“长方体的体积＝底面积×高”求出这个长方体的体积，据此解答。
【详解】8×8×8＝512（cm3）
2.5×2×8＝40（dm3）
1.9×14＝26.6（m ）
即图形1的体积是512cm3，图形2的体积是40dm3，图3的体积是26.6m 。
三、问题解决。
1．运动会前，学校要给长3.5米、宽2米的长方体空沙坑里铺上48厘米厚的沙子。一辆运沙车，每次能运沙0.8立方米，至少运几次才能铺好沙？
【答案】5次
【分析】根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出长方体沙坑的体积；再用沙坑的体积除以每次能运沙的体积，即可解答，注意单位名数的统一，结果用“进一法”解答。
【详解】48厘米＝0.48米
3.5×2×0.48÷0.8
＝7×0.48÷0.8
＝3.36÷0.8
≈5（次）
答：至少运5次才能铺好沙。
2．家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？
【答案】72立方米
【分析】横截面的面积看成长方体的底面积，长看成是高，根据长方体的体积公式：，代入数的计算，得到每根方木的体积，再乘1000，最后根据1立方米＝1000立方分米，低级单位化为高级单位除以进率，即可得解。
【详解】
（立方分米）
（立方米）
答：这些方木一共是72立方米。
3．下图是冰雪大世界冰灯展区的一个冰雕作品“数字0”，它的体积是是多少立方分米？（单位：分米）
【答案】56
【分析】从图中可知，这个冰雕的外框是一个长6分米，宽2分米，高10分米的长方体，中间挖空了一个长4分米，宽2分米，高8分米的长方体。根据长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据，计算出这两个长方体的体积，再相减即可求出这个冰雕的体积。
【详解】6×2×10－4×2×8
＝120－64
＝56（立方分米）
它的体积是56立方分米。
4.张师傅把两个棱长都是6 cm的正方体钢块锻造成一个长30 cm、宽7.2 cm的长方体，这个长方体钢块的高是多少厘米？
【答案】2cm
【分析】 两个棱长为6厘米的正方体钢块，锻造前后物体的体积是不变的；我们先算出两个正方体的体积总和，这就是锻造后长方体的体积；然后根据长方体体积公式“长方体体积 = 长×宽×高”，已知长方体的长和宽，就可以求出高。
【详解】
两个正方体体积之和：6×6×6 = 216（立方厘米）
两个正方体体积之和：216×2 = 432（立方厘米）
长方体的底面积：30×7.2＝216（平方厘米）
长方体的高：432÷216 = 2（厘米）。
答：这个长方体钢块的高是2厘米。
四、数学课上，一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体。
想想说：“如果高再增加2分米，它恰好是一个正方体。”
乐乐说：“这个长方体的棱长总和是64分米。”
当当说：“长方体的前、后、左、有四个面的面积之和是96平方分米。”
兰兰说：“长方体的底面周长是24分米。”
这四名同学所说的数据都是正确的，你能从中找出必要的条件求出长方体的体积吗？
【答案】144立方分米
【分析】想想说：“如果高再增加2分米，它恰好是一个正方体。”，说明该长方体的底面是正方形，即长方体的长和宽相等；兰兰说：“长方体的底面周长是24分米。”，底面是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，代入数据计算，可以求出长和宽是多少；乐乐说：“这个长方体的棱长总和是64分米。”，根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据计算，可以求出长方体的高；最后根据体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积。
【详解】24÷4＝6（分米）
64÷4－6－6
＝16－6－6
＝4（分米）
6×6×4＝144（立方分米）
答：长方体的体积是144立方分米。
五、一个长方体相邻两个面的面积的和是209cm2．如果这个长方体的长、宽、高的厘米数都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
【答案】374cm2
【详解】试题分析：相邻两个面的面积的和是209cm2，所以长×宽+长×高=长×（宽+高）=209cm2，把209分解因数为：209=11×19，又因为长、宽、高都是质数，
（1）若长=19cm，宽+高=11cm，11是奇数，只能分解成一个奇数+一个偶数，而偶数中只有2是质数，11只能分成2+9，而9又不是质数，所以此情况不成立．
（2）若长=11cm，宽+高=19cm，同样19只能分成2+17，所以这个长方体的三个棱长分别为2、11、17，由此可以解决问题．
解：相邻两个面的面积的和是209cm2，所以长×宽+长×高=长×（宽+高）=209cm2，把209分解因数为：209=11×19，又因为长、宽、高都是质数，
（1）若长=19cm，宽+高=11cm，11是奇数，只能分解成一个奇数+一个偶数，而偶数中只有2是质数，11只能分成2+9，而9又不是质数，所以此情况不成立．
（2）若长=11cm，宽+高=19cm，同样19只能分成2+17，所以这个长方体的三个棱长分别为2、11、17，
体积：2×11×17，
=22×17，
=374（cm2）
答：这个长方体的体积是374cm2。
【点睛】解答此题的关键：先根据题意，进行分析，判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体积计算公式进行解答即可．
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