福建恒一教育集团2025-2026学年第二学期四月联考高二数学试卷（含答案）

福建恒一教育集团2025-2026学年第二学期四月联考高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导数运算正确的有（）
A. B. C. D.
2.有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种
3.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是y=-3x+9,则f(2)与f'(2)分别为( )
A. 3,-3 B. -3,3 C. 2,-2 D. -2, 2
4.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.计算的值是（　　）
A. 41 B. 61 C. 62 D. 82
6.安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（）
A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种
7.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则（ ）
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 曲线在点处切线的斜率为0
D. 是偶函数
10.已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.若=+x+++,则下列选项正确的有( )
A. =-4052
B. 展开式中所有项的二项式系数的和为
C. 奇数项的系数和为
D. ++++ =-1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是 .
13.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法．
14.如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设(1+x)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中a，b∈N*，求a2-3b2的值．
16.(本小题15分)
已知函数，其中．
（1）求函数的极值；
（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值.
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=x-1-alnx.
（1）若f（x）≥0恒成立，求a的取值集合；
（2）当时，证明：当x＞1时，恒成立.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(2x-1).
(1)证明:在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相等;
(2)当x1时,不等式f(x)kx-2恒成立,求实数k的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】[-2，+∞）
13.【答案】150
14.【答案】216
15.【答案】解：(1)因为=+x+++,n4,
所以==,==,==.
因为=,
所以=2,解得n=5.
(2)由(1)知,n=5.
==+++++=a+b.
方法一：因为a,b,
所以a=++=76,b=++=44,
从而-=-3=-32.
方法二：=+(-)++++
=-+-+-.
因为a,b,
所以=a-b.
因此-=(a+b)(a-b)===-32.

16.【答案】解：(1)由题设y=xx-2(x-1)且x>0,则y'=x-1,
令y'=0,则x-1=0,解得x=e，
当0< x< e时,y'<0,则y=xx-2(x-1)在(0,e)上单调递减,
当x>e时,y'>0,则y=xx-2(x-1)在(e,+)上单调递增,
所以y=xx-2(x-1)有极小值为2-e,无极大值;
(2)由f'(x)=x+1,则f'(1)=1,故切线方程为y=x-1,
而g'(x)=2ax,令g'(x)=1x=,则g()=a(-1)=-a,
所以y=g(x)切点为(,-a),且在y=x-1上,
所以-a=-1,可得-4a+1=0a=.
17.【答案】解：（1）由题知：，
若，，在上单调递增，
若，令解得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，
当，的递增区间是，没有单调递减区间，
若，的递增区间是，递减区间是；
（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，
令，则=，
令，由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则有，即，
即当时，则，当时，则，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取最小值，于是得，
所以的取值范围为.

18.【答案】{1} 证明：，且x＞1时，则，故．
要证明即证，
而，
令g（x）=ex-1-2x+1+lnx（x＞1），下证g（x）＞0即可．
，再令h（x）=g′（x），则，
由于函数在（1，+∞）上递增，故h′（x）在（1，+∞）上递增，则h′（x）＞h′（1）=e0-1=0，
即g′（x）=h（x）在（1，+∞）上递增，
故g′（x）＞g′（1）=e0-2+1=0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=e0-2+1+ln1=0，得证
19.【答案】解:(1)由f(x)=(2x-1)求导得,f'(x)=(2x+1),
所以曲线y=f(x)在点(,f())处的切线斜率k=(+1),
设函数g(x)=(2x+1),xR,求导得,g'(x)=(2x+3),令g'(x)=0,得x=-.
当x变化时,g'(x)与g(x)的变化如下表:
x (-,-) (-,+)
g'(x) - 0 +
g(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数g(x)在(-,-)上单调递减,在(-,+)上单调递增,
故函数g(x)的最小值g=g(-)=-<0,
因为x<-时,g(x)<0,所以g(x)=3在(-,-)上无解.
又因为g(1)=3e>3,且函数g(x)在(-,+)上单调递增,
因为当 时，（因 ），
而 ，故 无解，
所以g(x)=3在(-,+)上有且仅有一解,
所以在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相等.
(2)因为当x1时,不等式f(x)kx-2恒成立,
所以当x1时,不等式k=恒成立.
令函数(x)=,x1,
则'(x)==,x1.
令函数h(x)=(-x+1)-2,x1,
所以h(x)=[2+]-2,x1,
因 ， 单调增，故 在 单调增，
所以h(x)h(1)=2e-2>0,
所以'(x)>0恒成立.
所以(x)是增函数,所以(x)(1)=e+2.
所以当x1时,(x)e+2.
所以实数k的取值范围是(-,e+2].
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