2025-2026学年人教版七年级下册 9.1 用坐标描述平面内点的位置 培优讲义

2025-2026学年人教版七年级下册
第九章 平面直角坐标系
用坐标描述平面内点的位置讲义
本讲义对应教材第 9.1 节，围绕平面直角坐标系的概念、点的坐标、象限特征以及用坐标描述简单几何图形展开。
一、知识精讲
1. 平面直角坐标系的组成
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。水平的数轴叫 x 轴，竖直的数轴叫 y 轴，两轴交点叫原点 O。
原点坐标：
2. 点的坐标与有序数对
平面内任意一点都可以用一个有序数对表示，前一个数表示横坐标，后一个数表示纵坐标，顺序不能颠倒。
点 A：
点 B：
3. 坐标轴上点与象限内点的特征
x 轴上的点纵坐标都为 0，y 轴上的点横坐标都为 0；四个象限中的点坐标符号分别是“++、-+、--、+-”。坐标轴上的点不属于任何象限。
x 轴上点：
y 轴上点：
第一象限：
4. 用坐标描述简单几何图形
描述一个简单图形时，通常只需要抓住关键点，如顶点、交点、端点等。关键点的位置确定后，图形也就确定了。
长方形顶点示例：
5. 建系要考虑图形特征
同一个图形，建立不同的坐标系，点的坐标也会不同。建系时要尽量让图形关键边与坐标轴平行，或让关键点落在整数格点上，这样更方便书写和计算。
二、典型例题
例1 读出点的坐标
题目：观察图中四个点，分别写出 A，B，C，D 的坐标，并说明点 C 所在象限。
答案：A(3,4)，B(-2,3)，C(-3,-2)，D(4,-1)；点 C 在第三象限。
关键表示：
关键表示：
解析：先看横向位置得到横坐标，再看纵向位置得到纵坐标。
解析：点 C 的横、纵坐标都小于 0，所以在第三象限。
例2 判断坐标轴上的点
题目：点 P 的坐标为 (0,-5)，点 Q 的坐标为 (6,0)。判断这两个点分别在什么位置。
答案：P 在 y 轴上，Q 在 x 轴上。
关键表示：
关键表示：
解析：横坐标为 0 的点在 y 轴上。
解析：纵坐标为 0 的点在 x 轴上。
例3 根据象限特征判断符号
题目：若点 M 在第二象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 5，写出点 M 的坐标。
答案：M(-5,3)。
关键表示：
关键表示：
解析：到 y 轴的距离是横坐标绝对值，所以 |x|=5。
解析：到 x 轴的距离是纵坐标绝对值，所以 |y|=3。结合第二象限符号确定坐标。
例4 用顶点坐标确定图形
题目：已知长方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(-3,2)，B(-3,-1)，C(2,-1)，D(2,2)，判断它的长和宽各是多少。
答案：长为 5，宽为 3。
关键表示：
关键表示：
解析：横向边的长度可用左右端点横坐标相减得到。
解析：纵向边的长度可用上下端点纵坐标相减得到。
例5 选择合适的建系方式
题目：一个边长为 4 的正方形放在方格纸上，如果希望四个顶点坐标都尽量简单，建立坐标系时应优先考虑什么？
答案：应尽量让一个顶点落在原点、两条边分别与坐标轴平行。
解析：这样建立后，顶点坐标往往更容易写成整数形式。
解析：建系的目标是让关键点、关键边更便于表达，而不是随意画轴。
例6 由描述反写点坐标
题目：点 N 在第四象限，横坐标比纵坐标的相反数大 2，且到 x 轴的距离为 3。求点 N 的坐标。
答案：N(5,-3)。
关键表示：
关键表示：
关键表示：
解析：到 x 轴的距离为 3，所以纵坐标可能是 ±3。
解析：结合第四象限可知 y=-3，再由横坐标比其相反数大 2 得到 x=5。
三、高频真题型训练
真题型1
题目：写出各象限点坐标符号特征，并判断点 (-4,2) 所在象限。
答案：第二象限。
关键表示：
解析：横坐标负、纵坐标正的点在第二象限。
真题型2
题目：若点 A(a,0) 在 x 轴上，点 B(0,b) 在 y 轴上，指出 a，b 分别对应什么坐标。
答案：a 是横坐标，b 是纵坐标。
关键表示：
解析：x 轴上点的纵坐标固定为 0，y 轴上点的横坐标固定为 0。
真题型3
题目：点 P(-6,1) 向右平移 2 个单位后所在位置与原点的左右关系是否改变？
答案：仍在 y 轴左侧。
关键表示：
解析：向右平移只会让横坐标增大 2，但仍为负数，因此仍在 y 轴左侧。
真题型4
题目：已知三角形三个顶点为 A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，判断哪条边落在坐标轴上。
答案：AB 落在 x 轴上。
关键表示：
解析：A 与 B 的纵坐标都为 0，所以 AB 在 x 轴上。
真题型5
题目：若点 M 到 x 轴和 y 轴的距离相等，且 M 在第一象限，请写出一组符合条件的坐标。
答案：如 M(2,2)。
关键表示：
解析：第一象限中横、纵坐标都为正，且数值相等即可。
真题型6
题目：比较点 C(-2,5) 与点 D(-2,-1) 的共同特征。
答案：横坐标相同，都在直线 x=-2 上。
关键表示：
解析：横坐标相同的点在同一条竖直线上。
四、方法归纳
先横后纵：写点坐标时先写横坐标，再写纵坐标。
先轴后象限：判断点位置时，先看是否落在坐标轴上，再看象限。
先关键点后图形：描述图形时优先锁定顶点、端点、交点。
先看建系是否方便：能让坐标更简单的建系方式通常更优。
五、易错提醒
坐标中的两个数不能交换顺序。
坐标轴上的点不属于任何象限。
点到 x 轴、y 轴的距离是坐标的绝对值，不是直接看正负号。
同一个图形在不同坐标系中的坐标可能不同，但图形本身没有变。
横坐标相同对应竖直方向对齐，纵坐标相同对应水平方向对齐。
画图时要注意单位长度是否一致。