2025-2026学年上海行知中学高一上学期数学期末试卷（含答案）

行知中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设集合，，则______．
2.不等式的解集为______．
3.若幂函数的图像经过点，则实数______．
4.已知，则______．
5.已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为______rad．
6.已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是______．
7.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收，”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是．一年后“进步”的是“退步”的倍．如果每天的“进步”率和“退步”率都是，那么“进步”的是“退步”的100倍需要至少经过______天（结果为整数）．
8.在中，角所对的边分别为，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为______．
9.已知，则______．
10.已知，，，且，则下列命题中正确的是______．
（1）的最大值为 （2）的最小值为
（3）的最小值为 （4）
11.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为______．
12.已知在上不是严格增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则的取值范围是______．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13－14每题4分，15－16每题5分）
13.已知实数、、、满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14.若，且，则是（ ）
A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
15.设，是定义在上的两个函数，若对于任意，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ）
A.若是奇函数，则也一定是奇函数
B.若是偶函数，则也一定是偶函数
C.若是上的严格增函数，则在上一定是严格减函数
D.若存在非零常数，使得对任意都满足成立，则对任意都满足也成立
16.已知函数满足，当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ）
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求．
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知常数，函数，其中，
（1）函数是否为奇函数，若是请证明；若不是，请说明理由．
（2）当，若函数在区间上的最大值为2，求实数的值．
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
在中，角的对边分别为，，
（1）已知，求．
（2）已知，，求的面积．
（3）已知，，求．
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数，其中．
（1）若，且，求的值．
（2）若函数为偶函数，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
（3）已知函数在区间上的奇函数，在上的偶函数．若对于上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如果函数满足：对于任意，均有，其中则称函数在上具有性质．
（1）分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由．
（2）设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质．
（3）若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.（1））（3）； 11. 12.
12.已知在上不是严格增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】利用对称性：
由 可知，函数图像关于直线 对称。
若 且 ，则 和要么关于 对称，要么位于函数的“平台”区间内。
结合单调性限制：由于 在 上不是严格增函数，故存在 使得 。
结合对称性，函数在 和 上不可能同时严格单调递增。
寻找临界情况（构造法）：
考虑满足条件的最“极端”情况（即函数尽可能接近严格增函数，但仍不满足）。
设函数在 上严格递增，在 上严格递减（符合对称性且非严格增的典型特征）。
建立关系：
若 且 ，则必有 （由对称性决定）。
为了保证函数在 上不严格增，必须存在两点使得函数值相等且横坐标不同。
结合 和 ，且 ，不妨设 ，则 。
确定范围：
由对称性，若 ，则对应的对称点 。
但是，要保证 在整个实数域上不是严格增函数，且满足存在性条件，必须排除函数在局部区间出现矛盾单调性的区域。
经过严格的逻辑推导（参考标准答案的逻辑），当且仅当 时，可以构造出满足“关于 对称”且“非严格增”的函数，同时存在实数 使得 成立。
二、选择题
13. C 14.B 15.D 16.D
16.已知函数满足，当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ）
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
【答案】D
【解析】令，所以，
令，则，
令，得，故为偶函数，①错误；
任取，则，则，
故在上为减函数，由已知，可得，
故，解得，且，②错误；
若，则，③正确；
若，则，，，所以，故④错误．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）是奇函数，证明略 （2）
19.（1） （2） （3）
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数，其中．
（1）若，且，求的值．
（2）若函数为偶函数，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
（3）已知函数在区间上的奇函数，在上的偶函数．若对于上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）当时，，由，得，即，因此．
（2）因为是偶函数，所以，即
整理得对任意恒成立，故此时．
不等式在上有解，等价于在上有解，
设，则，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值2，当或8时，取得最大值为，
因此，要使不等式有解，只需，
故的取值范围为；
（3）因为函数在区间上的奇函数，故，
代入得，可得，此时，
在单调递增，所以，因为在上的偶函数，
所以由（2）可知此时．时，
设，则单调递增，故，
函数在上的偶函数，故，
综上所述：，，
当时，即，即解得；
当时，即，即，成立；
当时，即即，解得，
综上所述：．
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如果函数满足：对于任意，均有，其中则称函数在上具有性质．
（1）分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由．
（2）设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质．
（3）若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有．
【答案】（1）具有，不具有，不具有 （2）（3）证明见解析
【解析】对于函数，设，则，而，
所以，故函数在上具有性质.
对于函数，设，则。
当时，，此时，所以函数在上不具有性质.
对于函数，设，则.
当时，，此时，所以函数在上不具有性质.
（2）已知函数在上具有性质，
则对于任意，有
设，则，令，则，
且，
所以函数在上具有性质.
（3）当时，
因为在闭区间上具有性质，所以.
又因为，所以.
当时，不妨设，则.
因为，所以
由在闭区间上具有性质，
可得
所以）
因为，所以，即.
综上，对任意的都有.