2025-2026学年上海新川中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

新川中学2025~2026学年高二上学期期末考试
一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
1.直线倾斜角的范围是____________．
2.已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于______．
3.抛物线的焦点坐标为______．
4.的展开式中项的系数为______．
5.在等差数列中，，公差，，则______．
6.已知关于正整数的方程，则该方程的解为______．
7.已知空间向量，，，且，则_________．
8.圆的圆心到直线的距离为______．
9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有______种．
10.已知数列满足，，且，，则______．
11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为．延长切线交双曲线的右支于点为坐标原点，点为线段的中点，则______．
12.设．数列满足下列条件：，，，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是______．
二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）
13.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知某食堂中午有2种主食、6种素菜，5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）
A.13种 B.22种 C.30种 D.60种
14.若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C.1 D.
15.已知等比数列的前n项和为，则下列一定成立的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
16.已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为．若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17.（本题有2个小题，共8分，第1小题4分，第2小题4分）
一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球。
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？
（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？
18.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知空间三点，，，设，．
（1）若，且，求；
（2）求与夹角的余弦值；
19.（本题共10分，本题有2个小题，共10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是数列的前项和，求．
20.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知抛物线C：．
（1）若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程；
（2）证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
21.（本题有3个小题，共14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为．若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为．延长切线交双曲线的右支于点为坐标原点，点为线段的中点，则______．
【答案】
【解析】双曲线的.
设双曲线的右焦点为，由中位线定理可得。
在中，可得.
设，由双曲线的定义可得.
在中，由余弦定理可得，解得，则．故答案为：5．
12.设．数列满足下列条件：，，，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是______．
【答案】
【解析】由，数列满足下列条件：，
可得数列不是递减数列.
设数列中分别有个.
对任意的，都存在使得，其中互不相等，
对于数列中的1，由于，可得；
同理，对于数列中的5，同理可得；
对于数列中的2，由于，可得；
同理，对于数列中的4，由于，可得；
对于数列中的3．由于，
可得；
若前20项和取得最大，则，所以前20项和的最大值为；故答案为：74．
二、选择题
13.D 14.A 15.D 16.C
15.已知等比数列的前n项和为，则下列一定成立的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】D
【解析】当时，，又当时，，
∴当时，，∴，即；
当时，，∴，即；
当时，，∴，即；
当时，．
综上可得当时，．故选：D．
16.已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为．若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
【答案】C
【解析】不开设，以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，有．设点，
则由①，②
当时，方程②表示双曲线；
当时，方程②表示圆；
当且时，方程②表示椭圆．故选C．
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）；（2）.
20.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知抛物线C：．
（1）若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程；
（2）证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
【答案】（1）或或；（2）证明见解析.
【解析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程，可得，
即直线与抛物线只有一个公共点.
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，
将代入得，展开可得.
当时，方程化为，解得，，此时直线与抛物线只有一个公共点.
当时，由直线与抛物线只有一个公共点，可知判别式，
展开可得，即，解得，此时直线方程为，即.
综上所述：所求直线方程为或或.
（2）设抛物线的焦点为，过焦点的弦为.再设.
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，则焦点弦长.
焦点弦的中点坐标为，抛物线的准线方程为，
则焦点弦中点到准线的距离.
因为以焦点弦为直径的圆的半径，而焦点弦中点到准线的距离，所以，即圆心到准线的距离等于半径，所以以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
综上所述：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切得证.
21.（本题有3个小题，共14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为．若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由得，所以焦距，离心率．
（2），设直线的方程与椭圆联立得.
因为点与点不重合，所以可得点，于是由解得，直线的方程：．
（3）当直线率不存在时，设方程为：.
联立得.
设，由韦达定理得且，化简得.
又，从而.
由可得，从而.
将代换，，
整理得：，韦达定理代人化简得，即，所以或.
当时，直线经过点，舍；
当时，此时成立，直线经过定点.
当直线率不不存在时，设，则，
代入得，与联立得，解得，此时直线也经过点.
综上所述：直线经过定点．