2025-2026学年上海吴淞中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

吴淞中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．直线的填空题的大小为 .
2．已知圆维的底面半径为1，母线长为2，则该圆维的侧面积为 .
3．在等比数列中，，则公比 .
4．已知函数，则 .
5．方程表示椭圆方程，则的取值范围为 .
6．设，向量，且，则 .
7．圆的圆心在第三象限，则的取值范围为 .
8．已知函数在处取得极值0，则 .
9．已知数列满足，则的最小值为 .
10．已知动点满足，则的最大值为 .
11．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 .
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在的左、右两支上，且满足，则的离心率为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若动点到定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）.
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线
14．己知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）.
A． B． C． D．
15．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与
半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ）.
A． B．
C． D．
16．下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是钝角
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．空间一直线经过点，则到的距离为
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小期满分8分）
已知圆的圆心在轴上，且经过两点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，求的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求在上最大值和最小值；
（3）若，求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设为椭圆的右焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间最大距离；
（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设抛物线的焦点为，则，易知抛物线的准线为直线，
设为点到准线的距离，则
当共线时取等号，∴的最小值是
，∴的最小值是
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在的左、右两支上，且满足，则的离心率为 .
【答案】
【解析】连接，延长与双曲线交于点，
连接，如图所示：由，根据对称性可知，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，
由，定义，则，
由双曲线定义，，且，
所以，
因为中，，
且，得，即，
所以，在直角三角形中，，
即，解得，即．
二、选择题
13.B 14.D 15.B 16.D
15．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与
半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，则，所以，
故半椭圆的方程为，
设，则，所以，
设，则，
故．
16．下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是钝角
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．空间一直线经过点，则到的距离为
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若，则是钝角或平角，故错误；
对于，因为直线的方向向量，平面的法向量，
则，故与不共线，即不成立，故错误；
对于，因为，
则，∴，
故到的距离为，故错误；
对于，利用反证法的思想，假设三个向量共面，
则，变形可得：，
若，则，则共线，不能作为空间的一组基底，这与是空间的一组基底矛盾；
若，则，则有共面，不能作为空间的一组基底，这与是空间的一组基底矛盾，所以假设不成立，即不共面，
所以也是空间的一组基底，故正确．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2） （3）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，求的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求在上最大值和最小值；
（3）若，求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方．
【答案】（1）极小值；无极大值.
（2）； （3）证明见解析
【解析】（1）当定义域为；
故在上是减函数，在上是增函数，
故在处取得极小值；无极大值.
（2）当时，的定义域为
故在上是增函数，故；
（3）证明：令；
则，
∴在上是增函数，故；
故在区间上，函数的图象在的图象下方．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设为椭圆的右焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间最大距离；
（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，实数
【解析】（1）将代入入圆方程得
可得：，所以椭圆；
（2）因为，
所以只需找到的最大值即可，
设，而，则，由可得，
代入消去可得：
因为，所以当时，，从而；
（3）设直线，
与椭圆联立方程：，
直线与抛物线联立方程：，
∴是焦点弦，∴，
若为常数，则，常数为．
所以存在实数，使为常数．