2025-2026学年上海市西中学高一上学期数学期末试卷（含答案）

市西中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，每题只要求直接填写结果，第题填对得4分，第题填对得5分，否则一律得零分.
1．已知集合，则 ．
2．已知幂函数的图像经过点，则 ．
3．与的等比中项为 ．
4．已知是正实数，则＂＂是＂＂的 条件（选填＂充要＂、＂充分不必要＂、＂必要不充分＂、＂既不充分也不必要＂）。
5．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
6．函数的最小值为 ．
7．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则 ．
8．设，若，则的最小值为 ．
9．已知函数满足：对任意的都有，当时，，则 ．
10．已知，若函数的值域为，则的取值范围
是 .
11．已知实数满足，则 ．
12．已知集合是，定义，则的元素个数的最小值是 ．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第14题选对得4分，第题选对得5分，否则一律得零分.
13．如果实数同号，那么下列不等式中恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
14．已知，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）.
A． B． C． D．不能确定
15．存在函数满足：对任意的，都有（ ）.
A． B．
C． D．
16．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：
（1）对任意恒成立，且；
（2）对任意都有．现给出以下两个命题：
①；②函数有最小值或最大值．那么上述论断正确的是（ ）.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知．
（1）设全集，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知数列是等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
现需要建造仓库和厂房，已知建造仓库的所有费用（万元）与仓库到厂房的距离（千米）的关系为：，若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元.为了方便，仓库与厂房之间还需修建一条直路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为3万元，设为建造仓库A与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）当仓库到厂房距离多远时，可使得总费用最小？并求出该最小值．
20．（本题满分18分，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数在区间上是严格增函数；
（3）设，若，求的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义域为的函数，对于，定义．
（1）设，求；
（2）设，求；
（3）对于非空集合，若对任意的都有，则称是对称集．
设是奇函数；是对称集．判断与之间的推出关系，并加以证明．
市西中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，每题只要求直接填写结果，第题填对得4分，第题填对得5分，否则一律得零分.
1．已知集合，则 ．
【答案】
2．已知幂函数的图像经过点，则 ．
【答案】
3．与的等比中项为 ．
【答案】
4．已知是正实数，则＂＂是＂＂的 条件（选填＂充要＂、＂充分不必要＂、＂必要不充分＂、＂既不充分也不必要＂）。
【答案】充要
5．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
【答案】12
6．函数的最小值为 ．
【答案】6
7．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则 ．
【答案】－2
8．设，若，则的最小值为 ．
【答案】4
9．已知函数满足：对任意的都有，当时，，则 ．
【答案】
10．已知，若函数的值域为，则的取值范围
是 .
【答案】
11．已知实数满足，则 ．
【答案】
12．已知集合是，定义，则的元素个数的最小值是 ．
【答案】9
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第14题选对得4分，第题选对得5分，否则一律得零分.
13．如果实数同号，那么下列不等式中恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．已知，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）.
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
15．存在函数满足：对任意的，都有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
16．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：
（1）对任意恒成立，且；
（2）对任意都有．现给出以下两个命题：
①；②函数有最小值或最大值．那么上述论断正确的是（ ）.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】C
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知．
（1）设全集，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1） （2）或
【解析】（1）或4分
分
（2），4分
∵是的充分条件，∴分，即或
综上或.2分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知数列是等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值．
【答案】（1）
（2），
【解析】（1），2分；
，2分；，2分
（2），，4分
当，2分；当，所以.2分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
现需要建造仓库和厂房，已知建造仓库的所有费用（万元）与仓库到厂房的距离（千米）的关系为：，若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元.为了方便，仓库与厂房之间还需修建一条直路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为3万元，设为建造仓库A与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）当仓库到厂房距离多远时，可使得总费用最小？并求出该最小值．
【答案】（1）
（2）当隔离病房与药物仓库相距6km时，总费用最小为43万元
【解析】（1）由题，当，解得2分
分
（2）
，4分
当且仅当，即时，等号成立.分
所以当隔离病房与药物仓库相距6km时，总费用最小为43万元.2分
20．（本题满分18分，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数在区间上是严格增函数；
（3）设，若，求的最大值．
【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）
对任意的，所以的定义域为分
任取，，
所以为偶函数．1分
（2）任取，1分
，
令，
∵在上为严格增函数
∴在上为严格增函数．2分
（3）
令
由（2），分
取∵在上为严格减函数分
约定表示在上的值域，则
由，解得或，2分
，2分
21．（本题满分18分，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义域为的函数，对于，定义．
（1）设，求；
（2）设，求；
（3）对于非空集合，若对任意的都有，则称是对称集．
设是奇函数；是对称集．判断与之间的推出关系，并加以证明．
【答案】（1） （2） （3）不能推出，可以推出．
【解析】（1），4分
（2），令，
当，对任意的，
则，所以在上为严格增函数.2分
又因为，所以在上的解集为．2分
而为偶函数，在上的解集为．2分
（3）可以推出不能推出．2分
由（2）可知，不是奇函数，是对称集，
所以不能推出。 2分
因为是奇函数，所以是非空集合． 2分
对任意的，都有，于是分
是对称集，所以可以推出．