2025-2026学年人教版七年级下册10.1 二元一次方程组的概念 培优讲义

2025-2026学年人教版七年级下册
第十章 二元一次方程组
二元一次方程组的概念培优讲义
本讲义对应教材第 10.1 节，围绕二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解以及根据实际问题列方程组展开，核心是把“两个未知数、两个相等关系、一个公共解”理解清楚。
一、知识精讲
1. 什么是二元一次方程
含有两个未知数、未知数项次数都为 1，且含有未知数的式子是整式的方程，叫作二元一次方程。判断时要同时看“两个未知数”和“一次”两个条件。
示例：
示例：
反例：
反例：
2. 什么是二元一次方程组与公共解
由两个二元一次方程组成，并要求两个方程同时成立，就得到二元一次方程组。能使方程组中每个方程都成立的一组未知数值，叫作这个方程组的解，也叫公共解。
方程组示例：
方程组示例：
公共解：
3. 实际问题中怎样列出方程组
列方程组时，先找题目中必须同时满足的两个相等关系，再设两个未知数，把两个关系分别写成方程。
关系一：
关系二：
4. 求出解后还要检验意义
实际问题中，方程组的解不仅要满足代数运算，还要符合题目的生活背景。例如人数不能是负数，商品数量通常应是整数。
检验提醒：
二、典型例题
例1 判断哪些式子是二元一次方程
题目：观察下列四个式子，判断哪些符合“二元一次方程”的定义。
题设：
题设：
题设：
题设：
答案：第①个和第③个符合定义。
关键式：
关键式：
解析：第①、③个都含有两个未知数，未知数项次数都为 1。
解析：第②个含有未知数乘积，第④个含有二次项，所以都不符合定义。
例2 判断一组数是不是方程组的公共解
题目：检验一组数是否能同时满足两个方程。
题设：
题设：
题设：
答案：这组数是该方程组的公共解。
关键式：
关键式：
解析：把同一组数分别代入每一个方程。
解析：若两个方程都成立，才是公共解；只满足一个方程还不够。
例3 根据数量关系列出方程组
题目：某果园租用大、小两种分拣车共 6 台，1 小时一共处理 8 吨水果。大型车每小时处理 2 吨，小型车每小时处理 1 吨。根据题意列出方程组。
答案：可列出一组二元一次方程组。
关键式：
关键式：
关键式：
解析：第一层关系是总台数，第二层关系是总处理量。
解析：两个关系要同时成立，所以要列两个方程。
例4 从得分情境中列方程组并求解
题目：某班篮球队一共进行了 6 场比赛，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，共得 10 分。求胜负场数。
答案：胜负场数见下方结果。
关键式：
关键式：
关键式：
关键式：
解析：总场数给出一个相等关系，总得分给出另一个相等关系。
解析：把两个关系联立后就能求出胜负场数。
例5 只满足方程还不够，还要看实际意义
题目：某题求得一个结果后，其中一个未知数是负数。这样的结果能不能直接作为实际问题的答案？
题设：
答案：不能直接作为实际问题答案。
关键式：
解析：代数上成立，不等于生活情境一定合理。
解析：实际问题还要结合量的含义去检验结果。
例6 由购买情境列方程组
题目：一次班级活动中，买了若干本笔记本和若干支中性笔，共 12 件，花了 40 元。若每本笔记本 4 元，每支中性笔 2 元，求两种物品各买了多少。
答案：购买数量见下方结果。
关键式：
关键式：
关键式：
关键式：
解析：“总件数”与“总价钱”分别提供一个相等关系。
解析：结果求出后还要核对是否与题意相符。
三、高频真题型训练
真题型1
题目：判断“含有两个未知数”是不是判断二元一次方程的唯一条件。
答案：不是。
关键式：
解析：两个未知数只是必要条件之一，还必须是一次整式方程。
真题型2
题目：若一组数只能使方程组中的一个方程成立，它能否叫作方程组的解？
答案：不能。
关键式：
解析：“同时满足”是方程组与单个方程最重要的区别。
真题型3
题目：设甲、乙两类门票张数分别为两个未知数，题目给出“总张数”和“总票款”两个条件。应列几个方程？
答案：应列两个方程。
关键式：
解析：列方程组的核心就是把每个关键相等关系各写成一个方程。
真题型4
题目：在实际问题中，若求得某个数量是小数或负数，下一步首先应做什么？
答案：先结合题意检验意义。
关键式：
解析：不能把代数结果不加判断地直接写成结论。
真题型5
题目：若甲数与乙数的和为 9，差为 1，设甲数为 x、乙数为 y，请写出一个方程组。
答案：方程组见下方。
关键式：
关键式：
解析：“和”“差”类问题是二元一次方程组的常见来源。
真题型6
题目：写出一个公共解为某组数的方程组时，最关键的要求是什么？
答案：让这组数同时满足两个方程。
关键式：
解析：只要紧扣“同时满足”，就不会偏离公共解的本质。
四、方法归纳
先看定义：先判断是不是两个未知数、是不是一次、是不是整式方程。
先找关系：实际问题至少要找出两个必须同时满足的相等关系。
先设未知数：设元时要把两个未知数表示的量说清楚。
先验意义：解出结果后要回到情境中检查是否合理。
五、易错提醒
“含两个未知数”不等于“一定是二元一次方程”，还要看次数和形式。
方程组的解是“同一组数同时满足两个方程”，不是各满足一个。
列方程组时不要漏掉其中一个相等关系。
实际问题中，负数、分数结果要结合情境判断是否有意义。
题目未要求求解时，要看清是“判断”“列式”还是“求解”。