广东深圳中学2025-2026学年下学期高三数学3月复习检测一（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东深圳中学2025-2026学年下学期高三数学3月复习检测一（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 51.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
深圳中学 2026 届复习检测(一)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己刚吐石和考生号，试宝号，座位号填写在答题卡上。用 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动,用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 若集合 ，且 ，则满足条件的集合 的个数是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 点声源在空间中传播时,衰减量 与传播距离 (单位: 米) 的关系式为 (单位: ),取 ,则 从 5 米变化到 40 米时,衰减量的增加值约为 ( )
A. B. C. D.
3. 要得到 的图象,只需要将 的图象 ( )
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
4. 制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是 ( )
A. B. C. D.
5. 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，则 “ ” 是 “ 是以 、 为底角的等腰三角形”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
6. 对任意的 ,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知 在 上是奇函数，且 为 的导函数，对任意 ，均有 成立，若 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 若 是函数 的一个极值点， 是函数 的一个零点，则 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法正确的是 ( )
A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
10. 已知函数 有两个极值点 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的取值范围是 B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
11. 已知函数 的定义域为 ,若 ,且 ,则 ( )
A. B. 无最小值
C. D. 的图象关于点 中心对称
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分
12. 已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值是_____.
13. 已知 ,若 ,则 _____.
14. 已知函数 是定义在 上的奇函数,满足 ,当 时, ,且 ,则
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15. 已知函数 .
(1)求函数 的对称轴；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底 在水平线 上，桥 与 平行, 为铅垂线 上). 经测量,左侧曲线 上任一点 到 的距离 (米) 与 到 的距离 (米) 之间满足关系式 ; 右侧曲线 上任一点 到 的距离 (米) 与 到 的距离 (米) 之间满足关系式 . 已知点 到 的距离为 40 米.
(1)求桥 的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 和 ，且 为 80 米，其中 ， 在 上 (不包括端点). 桥墩 每米造价 (万元)、桥墩 每米造价 (万元) . 问 为多少米时,桥墩 与 的总造价最低
17. 的内角 的对边分别为 ,设 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
18. 函数 有且只有两个零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
19. 若函数 在区间 上有定义，且 ，则称 是 的一个“封闭区间”.
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ,设集合 .
(i) 求集合 中元素的个数;
(ii) 用 表示区间 的长度,设 为集合 中的最大元素. 证明: 存在唯一长度为 的闭区间 ,使得 是 的一个“封闭区间”.
参考答案
1.
由题设, ,又 ,所以集合 有 个.
2.
因为衰减量 与传播距离 (单位: 米) 的关系式为 ,所以 从 5 米变化到 40 米时,衰减量的增加值约为: ,
3.
又
所以将 的图像向左平移 个单位长度,可得 的图像
4.
设两直角边为 ,则 ,
则 ,
当且仅当 时,取等号,
5.
,即 ,
整理得 或 ,
则 是以 、 为底角的等腰三角形或以 为直角的直角三角形.
因此，“ ” 是 “ 是以 、 为底角的等腰三角形” 的必要不充分条件.
6.
依题意, ,令 , 3],
则对任意的 ,当 时, ,即有函数 在 上单调递减,
因此, ,而 ,则 ,
所以实数 的取值范围是 .
7.
.
令 ,则 ,
所以 ,则 在 上是减函数.
由 ,且 在 上是奇函数,得 ,则 ,
又 ,
所以 ,即不等式的解集为 .
8.
因为 是函数 的一个极值点,
所以 ,
因为 是函数 的一个零点,
所以 ,
设 为单调递增函数,
因为 ,
所以 .
9.
因为 为奇函数,所以 ,
又 为奇函数,所以 ,
,即 ,
所以 ,且 ,
是周期为 2 的函数,且 是奇函数,故 正确;
由 得 ,
故由 得 ,
即 为奇函数，故 正确；
由 得 ,
所以 为奇函数,故 错误;
10.
项,函数 有两个极值点 ,
则 至少有两正根.
设 ,
当 时, ,即 没有实数根,不符合题意;
当 时,由题意知方程 有两不等正根,设两根为 ,
则有 ,解得 .
即 的取值范围是为 ,故 错误;
项，因为 ， 是方程 的两个不同的实数根，
所以 ,故 正确；
项，
,
设 ,
因为 在 上单调递减,所以 .
且当 ,故 .
即 ,故 正确.
11.
对于 ,令 ,可得 ,可得 ,即 错误;
对于 ,令 ,可得 ,可知函数 无最小值,即 正确;
对于 ,由 可知 ,
所以 ,即 正确;
对于 ,令 ,可得 ,
由 及 ,可得 ,
因此 ,可得 ,
的图象关于点 中心对称,即 正确;
当 时,由 可得 ,所以 ,
当 时,由 可得 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 的最大值为 .
13.5
由题意 ,即 是方程 的一个实根,令 ,显然 ,所以 在 上单调递减,又 ,所以 ,即 .
14.
因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 , 则 ,故 是周期为 4 的周期函数.
又当 时, ,所以 ,
解得 ,
故当 时, . 因为 ,
所以 .
15. (1) .
(1) 依题意,
,
由 ,得 ,
所以函数 的对称轴为 ;
( 2 )由( 1 )知，当 时， ，而函数 在 上递增，在 上递减, 则当 ，即 时， ，当 ，即 时， ， 所以函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 .
16. (1)120 米 (2) 米
(1) 由题意得
米
(2)设总造价为 万元， ，设 ，
当 时, ; 当 时, ,因此当 时, 取最小值,
答: 当 米时,桥墩 与 的总造价最低.
17. .
,
即: ,
由正弦定理可得: ，
,
.
(2) [方法一] 正弦定理 + 两角和差正余弦
由 (1) 知, ,所以由 ,
得 ,
整理得 ,即 .
又 ,所以 ,即 ,
则 .
[方法二] 正弦定理 + 方程思想
由 ,得 ,
代入 ，
得 ,
整理得 ,则 .
由 ,得 ,
所以 .
[方法三]余弦定理
令 . 由 ,得 .
将 代入 中,可得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
所以 ,
从而 .
[方法四] 射影定理
因为 ,所以 ,
由射影定理得 ,
所以 .
18. ;
(2) .
(1) 函数 定义域为 ,求导得 ,
当 时, 在 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
则函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
当 趋近于 0 时, 趋近于正无穷大,当 趋近于正无穷大时, 趋近于正无穷大,
则只需 ,即 ,此时 在 上有唯一零点 ,在 上有唯一零点 ,符合题意,
所以 的取值范围是 .
(2) 由 (1) 知 ,得 ,令 ,则 ,
,
,记 ,
,令 ,则
令 ,求导得 ,当 时, ,当 时, ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减,而 ,
则 ,当 时, 时,当 时, ,
于是函数 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
当 时, ,当 时, ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减, ,
所以 .
19. (1)
(2) (i) 2; (ii) 证明见解析
(1) 由题意, ,
恒成立,所以 在 上单调递增,
可得 的值域为 ,
因此只需 ,
即可得 ,即 ,
则 的取值集合为 .
(2) (i) 记函数 ,
则
由 得 或 : 由 得 ;
所以函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
其中 ,因此当 时, ,不存在零点;
由 在 单调递减,易知 ,而 ,
由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ;
当 时, ,不存在零点.
综上所述,函数 有 0 和 两个零点,即集合 中元素的个数为 2 .
(ii) 由 (i) 得 ,假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ,
则对 ,
当 时,由 (i) 得 在 单调递增,
,即 ,不满足要求;
当 时,由 (i) 得 在 单调递增,
,
即 ,也不满足要求;
当 时,闭区间 ,而 显然在 单调递增,
,
由 (i) 可得 ,
,满足要求.
综上,存在唯一的长度为 的闭区间 ,使得 是 的一个 “封闭区间”.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己刚吐石和考生号，试宝号，座位号填写在答题卡上。用 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动,用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 若集合 ，且 ，则满足条件的集合 的个数是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 点声源在空间中传播时,衰减量 与传播距离 (单位: 米) 的关系式为 (单位: ),取 ,则 从 5 米变化到 40 米时,衰减量的增加值约为 ( )
A. B. C. D.
3. 要得到 的图象,只需要将 的图象 ( )
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
4. 制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是 ( )
A. B. C. D.
5. 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，则 “ ” 是 “ 是以 、 为底角的等腰三角形”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
6. 对任意的 ,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知 在 上是奇函数，且 为 的导函数，对任意 ，均有 成立，若 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 若 是函数 的一个极值点， 是函数 的一个零点，则 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法正确的是 ( )
A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
10. 已知函数 有两个极值点 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的取值范围是 B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
11. 已知函数 的定义域为 ,若 ,且 ,则 ( )
A. B. 无最小值
C. D. 的图象关于点 中心对称
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分
12. 已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值是_____.
13. 已知 ,若 ,则 _____.
14. 已知函数 是定义在 上的奇函数,满足 ,当 时, ,且 ,则
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15. 已知函数 .
(1)求函数 的对称轴；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底 在水平线 上，桥 与 平行, 为铅垂线 上). 经测量,左侧曲线 上任一点 到 的距离 (米) 与 到 的距离 (米) 之间满足关系式 ; 右侧曲线 上任一点 到 的距离 (米) 与 到 的距离 (米) 之间满足关系式 . 已知点 到 的距离为 40 米.
(1)求桥 的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 和 ，且 为 80 米，其中 ， 在 上 (不包括端点). 桥墩 每米造价 (万元)、桥墩 每米造价 (万元) . 问 为多少米时,桥墩 与 的总造价最低
17. 的内角 的对边分别为 ,设 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
18. 函数 有且只有两个零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
19. 若函数 在区间 上有定义，且 ，则称 是 的一个“封闭区间”.
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ,设集合 .
(i) 求集合 中元素的个数;
(ii) 用 表示区间 的长度,设 为集合 中的最大元素. 证明: 存在唯一长度为 的闭区间 ,使得 是 的一个“封闭区间”.
参考答案
1.
由题设, ,又 ,所以集合 有 个.
2.
因为衰减量 与传播距离 (单位: 米) 的关系式为 ,所以 从 5 米变化到 40 米时,衰减量的增加值约为: ,
3.
又
所以将 的图像向左平移 个单位长度,可得 的图像
4.
设两直角边为 ,则 ,
则 ,
当且仅当 时,取等号,
5.
,即 ,
整理得 或 ,
则 是以 、 为底角的等腰三角形或以 为直角的直角三角形.
因此，“ ” 是 “ 是以 、 为底角的等腰三角形” 的必要不充分条件.
6.
依题意, ,令 , 3],
则对任意的 ,当 时, ,即有函数 在 上单调递减,
因此, ,而 ,则 ,
所以实数 的取值范围是 .
7.
.
令 ,则 ,
所以 ,则 在 上是减函数.
由 ,且 在 上是奇函数,得 ,则 ,
又 ,
所以 ,即不等式的解集为 .
8.
因为 是函数 的一个极值点,
所以 ,
因为 是函数 的一个零点,
所以 ,
设 为单调递增函数,
因为 ,
所以 .
9.
因为 为奇函数,所以 ,
又 为奇函数,所以 ,
,即 ,
所以 ,且 ,
是周期为 2 的函数,且 是奇函数,故 正确;
由 得 ,
故由 得 ,
即 为奇函数，故 正确；
由 得 ,
所以 为奇函数,故 错误;
10.
项,函数 有两个极值点 ,
则 至少有两正根.
设 ,
当 时, ,即 没有实数根,不符合题意;
当 时,由题意知方程 有两不等正根,设两根为 ,
则有 ,解得 .
即 的取值范围是为 ,故 错误;
项，因为 ， 是方程 的两个不同的实数根，
所以 ,故 正确；
项，
,
设 ,
因为 在 上单调递减,所以 .
且当 ,故 .
即 ,故 正确.
11.
对于 ,令 ,可得 ,可得 ,即 错误;
对于 ,令 ,可得 ,可知函数 无最小值,即 正确;
对于 ,由 可知 ,
所以 ,即 正确;
对于 ,令 ,可得 ,
由 及 ,可得 ,
因此 ,可得 ,
的图象关于点 中心对称,即 正确;
当 时,由 可得 ,所以 ,
当 时,由 可得 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 的最大值为 .
13.5
由题意 ,即 是方程 的一个实根,令 ,显然 ,所以 在 上单调递减,又 ,所以 ,即 .
14.
因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 , 则 ,故 是周期为 4 的周期函数.
又当 时, ,所以 ,
解得 ,
故当 时, . 因为 ,
所以 .
15. (1) .
(1) 依题意,
,
由 ,得 ,
所以函数 的对称轴为 ;
( 2 )由( 1 )知，当 时， ，而函数 在 上递增，在 上递减, 则当 ，即 时， ，当 ，即 时， ， 所以函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 .
16. (1)120 米 (2) 米
(1) 由题意得
米
(2)设总造价为 万元， ，设 ，
当 时, ; 当 时, ,因此当 时, 取最小值,
答: 当 米时,桥墩 与 的总造价最低.
17. .
,
即: ,
由正弦定理可得: ，
,
.
(2) [方法一] 正弦定理 + 两角和差正余弦
由 (1) 知, ,所以由 ,
得 ,
整理得 ,即 .
又 ,所以 ,即 ,
则 .
[方法二] 正弦定理 + 方程思想
由 ,得 ,
代入 ，
得 ,
整理得 ,则 .
由 ,得 ,
所以 .
[方法三]余弦定理
令 . 由 ,得 .
将 代入 中,可得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
所以 ,
从而 .
[方法四] 射影定理
因为 ,所以 ,
由射影定理得 ,
所以 .
18. ;
(2) .
(1) 函数 定义域为 ,求导得 ,
当 时, 在 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
则函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
当 趋近于 0 时, 趋近于正无穷大,当 趋近于正无穷大时, 趋近于正无穷大,
则只需 ,即 ,此时 在 上有唯一零点 ,在 上有唯一零点 ,符合题意,
所以 的取值范围是 .
(2) 由 (1) 知 ,得 ,令 ,则 ,
,
,记 ,
,令 ,则
令 ,求导得 ,当 时, ,当 时, ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减,而 ,
则 ,当 时, 时,当 时, ,
于是函数 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
当 时, ,当 时, ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减, ,
所以 .
19. (1)
(2) (i) 2; (ii) 证明见解析
(1) 由题意, ,
恒成立,所以 在 上单调递增,
可得 的值域为 ,
因此只需 ,
即可得 ,即 ,
则 的取值集合为 .
(2) (i) 记函数 ,
则
由 得 或 : 由 得 ;
所以函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
其中 ,因此当 时, ,不存在零点;
由 在 单调递减,易知 ,而 ,
由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ;
当 时, ,不存在零点.
综上所述,函数 有 0 和 两个零点,即集合 中元素的个数为 2 .
(ii) 由 (i) 得 ,假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ,
则对 ,
当 时,由 (i) 得 在 单调递增,
,即 ,不满足要求;
当 时,由 (i) 得 在 单调递增,
,
即 ,也不满足要求;
当 时,闭区间 ,而 显然在 单调递增,
,
由 (i) 可得 ,
,满足要求.
综上,存在唯一的长度为 的闭区间 ,使得 是 的一个 “封闭区间”.
同课章节目录