广东深圳中学2025-2026学年下学期高三数学3月复习检测二（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东深圳中学2025-2026学年下学期高三数学3月复习检测二（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
深圳中学2026届高三复习检测(二) 数学
满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动, 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题:本题共8小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知命题 . 则命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 .
A. B. C. D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 ,且 ,则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 在 中,已知 ,则 的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 中, 是 外接圆圆心, 的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则以下结论正确的是 ( )
A. 是 的极大值点
B. 方程 有实数解
C. 函数 有且只有一个零点
D. 存在实数 ,使得方程 有 4 个实数解
10. 在 中,内角 所对的边分别为 ,内角 的平分线交 于点 且 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值是 2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
11. 平面向量 满足 ，对任意的实数 ， 恒成立，则()
A. 与 的夹角为 B. 为定值
C. 的最小值为 D. 在 上的投影向量为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 设 的内角 的对边分别为 ，则 ._____
13. 如图，已知 是函数 图象上的两点， 是函数 图象上的一点，且直线 垂直于 轴,若 是等腰直角三角形 (其中 为直角顶点),则点 的横坐标为_____.
14. 已知定义在 上的函数 满足 ， ， 为 的导函数，当 . 3) 时, ,则不等式 的解集为_____.
四、本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。.
15. 已知 为锐角, . ( 1 )求 的值；( 2 )求 的值.
16.(本小题满分 12 分)如图，在四边形 中， ， .
(1)求 ；
(2)求 的长.
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，角 所对的边分别为 为 边上一点， ，若 ,求 .
18. 已知函数 .
(1)当 时，求 的极小值；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
19. 如图，已知给定线段 长为 2，以 为底边作顶角为 的等腰三角形 ， 取 的腰 的三等分点 靠近 ，以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 依次类推,取 的腰 的三等分点 靠近 ,以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 ,得到三角形序列 .
(1)用 表示出 的外接圆半径；
(2)当 时，证明: 各顶点均在 外接圆上或其内部；
(3) 若 各顶点均在 外接圆上或其内部,求 的取值范围.
深圳中学2026届高三复习检测(二) 数学
本试卷共4页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题:本题共8小题，每小题 5 分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 集合 ,则 )
A. B. C. D.
【答案】B
集合 ,
则 .
故选:B.
2. 已知命题 . 则命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
根据命题的否定的定义判断.
特称命题的否定是全称命题.
原命题的否定是: .
故选:A.
3. 已知 ,则 .
A. B. C. D.
【答案】D
利用诱导公式将题干化简得到 ,再利用二倍角公式求出所求结果.
因为 ,
所以 ;
故选:D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
令 ,利用换元法求函数解析式.
令 ,则 ,
由 得, ,
即 .
故选:C.
5. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ，则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】:根据已知条件，反凑余弦定理求得 ，再用余弦定理，借助基本不等式求得 的最大值，再利用面积公式即可求得结果.
由已知等式得 ,则 ,
由 ,所以 ,
又 ,则 ,
当且仅当 时,取得最大值,
所以 ，
故 .
故选 B
6. 在 中,已知 ,则 的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
根据正弦定理,结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
根据正弦定理,由
,
因为 ,所以 ,
所以有 ,或 ,或 ,
当 时,有 ,此时有 ,
即 ,所以此时该三角形是等腰直角三角形;
当 时,即 ,所以此时三角形是直角三角形;
当 时,即 ,不符合三角形内角和定理,舍去,
综上所述: 的形状一定是直角三角形,
故选:B
7. 已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
把不等式看作是关于 的一元一次不等式,然后构造函数 ,由不等式在 上恒成立,得到 ,求解关于 的不等式组得 得取值范围.
解: 令 ,
则不等式 恒成立转化为 在 上恒成立.
有 ,即 ,
整理得: ,
解得: 或 .
的取值范围为 .
故选:D.
8. 中, 是 外接圆圆心, 的最大值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】C
根据给定条件,利用向量运算化简变形向量等式,再利用正弦定理求出 的最大值即可计算作答.
过点 作 ,垂足分别为 ,如图,因 是 外接圆圆心,则 分别为 的中点，
在 中, ,则 ,即
,同理 ,
因此,
由正弦定理得: ，当且仅当 时取 “=”, 所以 的最大值为 3 .
故选:C
方法点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义. 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9. 已知函数 ,则以下结论正确的是 ( )
A. 是 的极大值点
B. 方程 有实数解
C. 函数 有且只有一个零点
D. 存在实数 ,使得方程 有 4 个实数解
【答案】BCD
因为 ,令 ,解得 . 令 ,解得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 在 时取得极小值,无极大值. 故 A 错误;
因为极小值 ,所以方程 有实数解,故 B 正确;
因为 时, 时, ,只有 ,故 正确;
由 ,得 或 ,令 ,则 ,令 , 则 ,令 ,则 或 ,故 在 上单调递减, 在 和 上单调递增,作出 的大致图象,如图.
由图知,存在实数 ,使得 有三个实根,故存在实数 ,使得方程 有 4 个实解, 故 D 正确. 故选 BCD.
10. 在 中，内角 所对的边分别为 ，内角 的平分线交 于点 且 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值是 2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
【答案】
由题意得: ,
由角平分线以及面积公式得 ,
化简得 ,所以 ,故 正确;
,当且仅当 时取等号,
,
所以 ,当且仅当 时取等号,故 正确;
由余弦定理
所以 ,即 的最小值是 2,当且仅当 时取等号,故 正确;
对于选项 C: 由 得: ,
,
当且仅当 ,即 时取等号,故 错误;
故选:ABD.
11. 平面向量 满足 ,对任意的实数 恒成立,则 ()
A. 与 的夹角为 B. 为定值
C. 的最小值为 D. 在 上的投影向量为
【答案】AD
设平面向量 与 的夹角为 ,
因为对任意的实数 恒成立,
即 恒成立,又 ,
也即 对任意的实数 恒成立,
所以 ,则 ,所以 ,
故选项 A 正确；
对于 ,因为 随 的变化而变化, 故选项B错误;
对于 ,因为 ,由二次函数的性质可知: 当 时, 取最小值 ,故选项 C 错误; 对于 向量上的一个单位向量 ，由向量夹角公式可得:
由投影向量的计算公式可得: 在 上的投影向量为 ,故选项 D 正确,
故选:AD.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 设 的内角 的对边分别为 ，则 ._____
【答案】8
利用正弦定理化角为边,求得边 ,再利用余弦定理即可得出答案.
解:在 中,因为 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:8.
13. 如图,已知 是函数 图象上的两点, 是函数 图象上的一点,且直线 垂直于 轴,若 是等腰直角三角形 (其中 为直角顶点),则点 的横坐标为 ._
【答案】
设 ,因为 ,所以 ,因为 是等腰直角三角形,所以可得 ,又因为在 函数 图象上,所以 ,解得 ,点 的横坐标为 ,故答案为 .
14. 已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数,当 , 3) 时, ,则不等式 的解集为 ._____
【答案】
构造函数 ,由已知条件得 在 上是偶函数,然后根据其单调性从而可求解.
令 ,所以 ,
因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 在 上是偶函数,
因为 ,
因为当 , ,所以 在区间 上单调递增,
又因为 为偶函数，所有 在 (-3.0) 上单调递减，
由 ,得 ,又因为 ,所以
,
所以 ,解得 或 ,
所以不等式的解集为 .
故答案为: .
四、本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。.
15. 已知 为锐角, . (1) 求 的值; (2) 求 的值.
【答案】
分析: 先根据同角三角函数关系得 ,再根据二倍角余弦公式得结果; (2)先根据二倍角正切公式得 ,再利用两角差的正切公式得结果.
详解:解: (1) 因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,
因此, .
(2)因为 为锐角,所以 .
又因为 ,所以 ,
因此 .
因为 ,所以 ,
因此, .
16. (本小题满分 12 分) 如图,在四边形 中, , .
(1)求 ；
(2)求 的长.
【答案】(1)
(2)
(1) ，
,
(2)由已知及正弦定理 ,
可得: ,解得: 。
由于 ，
在 中,由余弦定理可得:
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，角 所对的边分别为 为 边上一点， ，若 ,求 .
(1)
.
令 ,
所以增区间为 ;
(2) ，
,
所以 .
18. 已知函数 .
(1)当 时,求 的极小值;
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
(1) 当 时, ,则
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
又因为 ,所以当 时, ,此时 单调递减;
当 时, ,此时 单调递增;
故 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
所以 为函数 的极小值点,极小值 .
(2)当 时，符合题意；
当 时，得 .
令 ,
令 ,
则 ,令 ,则 ,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
因为 ,
所以存在 ,使得 ,
且在 上 ,在 上 .
在 单调递增,在 单调递减,
又因为 ,
即当 时, 单调递增;
所以当 时, .
当 时,令 ,
则 在 上单调递增,此时 ,
故当 时, .
所以 ,
故 的取值范围为 .
19. 如图,已知给定线段 长为 2,以 为底边作顶角为 的等腰三角形 , 取 的腰 的三等分点 靠近 ，以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 依次类推,取 的腰 的三等分点 靠近 ,以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 ,得到三角形序列 .
(1)用 表示出 的外接圆半径；
( 2 )当 时，证明: 各顶点均在 外接圆上或其内部；
( 3 )若 各顶点均在 外接圆上或其内部，求 的取值范围.
【答案】(1) ;
(2)证明见解析:
(3) ;
(1)设 的外接圆半径为 ，由题意知，
又 ,故 .
故 的外接圆半径为 .
(2)设 的外心为 ，外接圆半径为 ， 的中点为 ， 则 .
注意到 的中点也为 ,故 的中垂线与 中垂线重合.
由题意知 均在 的中垂线上.
而 ,
故 .
另一方面, ,
故 的外接圆内切于 的外接圆.
从而 的外接圆各点位于 的外接圆上或其内部. ①
反复使用结论①可得， 的外接圆位于 外接圆上或其内部.
故 各顶点均在 外接圆上或其内部.
(3)若满足题意，则 位于在 外接圆上或其内部，故 .
由(2)知 ,
由题意, ,即 ,解得 .
故 .
当 ，同上可得 .
由 (2) 知 共线,故 ,即 .
故 ,故 的外接圆位于 外接圆上或其内部.
故 各顶点均在 外接圆上或其内部,故 的范围为 .
满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动, 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题:本题共8小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知命题 . 则命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 .
A. B. C. D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 ,且 ,则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 在 中,已知 ,则 的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 中, 是 外接圆圆心, 的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则以下结论正确的是 ( )
A. 是 的极大值点
B. 方程 有实数解
C. 函数 有且只有一个零点
D. 存在实数 ,使得方程 有 4 个实数解
10. 在 中,内角 所对的边分别为 ,内角 的平分线交 于点 且 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值是 2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
11. 平面向量 满足 ，对任意的实数 ， 恒成立，则()
A. 与 的夹角为 B. 为定值
C. 的最小值为 D. 在 上的投影向量为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 设 的内角 的对边分别为 ，则 ._____
13. 如图，已知 是函数 图象上的两点， 是函数 图象上的一点，且直线 垂直于 轴,若 是等腰直角三角形 (其中 为直角顶点),则点 的横坐标为_____.
14. 已知定义在 上的函数 满足 ， ， 为 的导函数，当 . 3) 时, ,则不等式 的解集为_____.
四、本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。.
15. 已知 为锐角, . ( 1 )求 的值；( 2 )求 的值.
16.(本小题满分 12 分)如图，在四边形 中， ， .
(1)求 ；
(2)求 的长.
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，角 所对的边分别为 为 边上一点， ，若 ,求 .
18. 已知函数 .
(1)当 时，求 的极小值；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
19. 如图，已知给定线段 长为 2，以 为底边作顶角为 的等腰三角形 ， 取 的腰 的三等分点 靠近 ，以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 依次类推,取 的腰 的三等分点 靠近 ,以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 ,得到三角形序列 .
(1)用 表示出 的外接圆半径；
(2)当 时，证明: 各顶点均在 外接圆上或其内部；
(3) 若 各顶点均在 外接圆上或其内部,求 的取值范围.
深圳中学2026届高三复习检测(二) 数学
本试卷共4页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题:本题共8小题，每小题 5 分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 集合 ,则 )
A. B. C. D.
【答案】B
集合 ,
则 .
故选:B.
2. 已知命题 . 则命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
根据命题的否定的定义判断.
特称命题的否定是全称命题.
原命题的否定是: .
故选:A.
3. 已知 ,则 .
A. B. C. D.
【答案】D
利用诱导公式将题干化简得到 ,再利用二倍角公式求出所求结果.
因为 ,
所以 ;
故选:D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
令 ,利用换元法求函数解析式.
令 ,则 ,
由 得, ,
即 .
故选:C.
5. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ，则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】:根据已知条件，反凑余弦定理求得 ，再用余弦定理，借助基本不等式求得 的最大值，再利用面积公式即可求得结果.
由已知等式得 ,则 ,
由 ,所以 ,
又 ,则 ,
当且仅当 时,取得最大值,
所以 ，
故 .
故选 B
6. 在 中,已知 ,则 的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
根据正弦定理,结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
根据正弦定理,由
,
因为 ,所以 ,
所以有 ,或 ,或 ,
当 时,有 ,此时有 ,
即 ,所以此时该三角形是等腰直角三角形;
当 时,即 ,所以此时三角形是直角三角形;
当 时,即 ,不符合三角形内角和定理,舍去,
综上所述: 的形状一定是直角三角形,
故选:B
7. 已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
把不等式看作是关于 的一元一次不等式,然后构造函数 ,由不等式在 上恒成立,得到 ,求解关于 的不等式组得 得取值范围.
解: 令 ,
则不等式 恒成立转化为 在 上恒成立.
有 ,即 ,
整理得: ,
解得: 或 .
的取值范围为 .
故选:D.
8. 中, 是 外接圆圆心, 的最大值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】C
根据给定条件,利用向量运算化简变形向量等式,再利用正弦定理求出 的最大值即可计算作答.
过点 作 ,垂足分别为 ,如图,因 是 外接圆圆心,则 分别为 的中点，
在 中, ,则 ,即
,同理 ,
因此,
由正弦定理得: ，当且仅当 时取 “=”, 所以 的最大值为 3 .
故选:C
方法点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义. 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9. 已知函数 ,则以下结论正确的是 ( )
A. 是 的极大值点
B. 方程 有实数解
C. 函数 有且只有一个零点
D. 存在实数 ,使得方程 有 4 个实数解
【答案】BCD
因为 ,令 ,解得 . 令 ,解得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 在 时取得极小值,无极大值. 故 A 错误;
因为极小值 ,所以方程 有实数解,故 B 正确;
因为 时, 时, ,只有 ,故 正确;
由 ,得 或 ,令 ,则 ,令 , 则 ,令 ,则 或 ,故 在 上单调递减, 在 和 上单调递增,作出 的大致图象,如图.
由图知,存在实数 ,使得 有三个实根,故存在实数 ,使得方程 有 4 个实解, 故 D 正确. 故选 BCD.
10. 在 中，内角 所对的边分别为 ，内角 的平分线交 于点 且 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值是 2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
【答案】
由题意得: ,
由角平分线以及面积公式得 ,
化简得 ,所以 ,故 正确;
,当且仅当 时取等号,
,
所以 ,当且仅当 时取等号,故 正确;
由余弦定理
所以 ,即 的最小值是 2,当且仅当 时取等号,故 正确;
对于选项 C: 由 得: ,
,
当且仅当 ,即 时取等号,故 错误;
故选:ABD.
11. 平面向量 满足 ,对任意的实数 恒成立,则 ()
A. 与 的夹角为 B. 为定值
C. 的最小值为 D. 在 上的投影向量为
【答案】AD
设平面向量 与 的夹角为 ,
因为对任意的实数 恒成立,
即 恒成立,又 ,
也即 对任意的实数 恒成立,
所以 ,则 ,所以 ,
故选项 A 正确；
对于 ,因为 随 的变化而变化, 故选项B错误;
对于 ,因为 ,由二次函数的性质可知: 当 时, 取最小值 ,故选项 C 错误; 对于 向量上的一个单位向量 ，由向量夹角公式可得:
由投影向量的计算公式可得: 在 上的投影向量为 ,故选项 D 正确,
故选:AD.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 设 的内角 的对边分别为 ，则 ._____
【答案】8
利用正弦定理化角为边,求得边 ,再利用余弦定理即可得出答案.
解:在 中,因为 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:8.
13. 如图,已知 是函数 图象上的两点, 是函数 图象上的一点,且直线 垂直于 轴,若 是等腰直角三角形 (其中 为直角顶点),则点 的横坐标为 ._
【答案】
设 ,因为 ,所以 ,因为 是等腰直角三角形,所以可得 ,又因为在 函数 图象上,所以 ,解得 ,点 的横坐标为 ,故答案为 .
14. 已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数,当 , 3) 时, ,则不等式 的解集为 ._____
【答案】
构造函数 ,由已知条件得 在 上是偶函数,然后根据其单调性从而可求解.
令 ,所以 ,
因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 在 上是偶函数,
因为 ,
因为当 , ,所以 在区间 上单调递增,
又因为 为偶函数，所有 在 (-3.0) 上单调递减，
由 ,得 ,又因为 ,所以
,
所以 ,解得 或 ,
所以不等式的解集为 .
故答案为: .
四、本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。.
15. 已知 为锐角, . (1) 求 的值; (2) 求 的值.
【答案】
分析: 先根据同角三角函数关系得 ,再根据二倍角余弦公式得结果; (2)先根据二倍角正切公式得 ,再利用两角差的正切公式得结果.
详解:解: (1) 因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,
因此, .
(2)因为 为锐角,所以 .
又因为 ,所以 ,
因此 .
因为 ,所以 ,
因此, .
16. (本小题满分 12 分) 如图,在四边形 中, , .
(1)求 ；
(2)求 的长.
【答案】(1)
(2)
(1) ，
,
(2)由已知及正弦定理 ,
可得: ,解得: 。
由于 ，
在 中,由余弦定理可得:
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，角 所对的边分别为 为 边上一点， ，若 ,求 .
(1)
.
令 ,
所以增区间为 ;
(2) ，
,
所以 .
18. 已知函数 .
(1)当 时,求 的极小值;
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
(1) 当 时, ,则
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
又因为 ,所以当 时, ,此时 单调递减;
当 时, ,此时 单调递增;
故 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
所以 为函数 的极小值点,极小值 .
(2)当 时，符合题意；
当 时，得 .
令 ,
令 ,
则 ,令 ,则 ,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
因为 ,
所以存在 ,使得 ,
且在 上 ,在 上 .
在 单调递增,在 单调递减,
又因为 ,
即当 时, 单调递增;
所以当 时, .
当 时,令 ,
则 在 上单调递增,此时 ,
故当 时, .
所以 ,
故 的取值范围为 .
19. 如图,已知给定线段 长为 2,以 为底边作顶角为 的等腰三角形 , 取 的腰 的三等分点 靠近 ，以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 依次类推,取 的腰 的三等分点 靠近 ,以 为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 ,得到三角形序列 .
(1)用 表示出 的外接圆半径；
( 2 )当 时，证明: 各顶点均在 外接圆上或其内部；
( 3 )若 各顶点均在 外接圆上或其内部，求 的取值范围.
【答案】(1) ;
(2)证明见解析:
(3) ;
(1)设 的外接圆半径为 ，由题意知，
又 ,故 .
故 的外接圆半径为 .
(2)设 的外心为 ，外接圆半径为 ， 的中点为 ， 则 .
注意到 的中点也为 ,故 的中垂线与 中垂线重合.
由题意知 均在 的中垂线上.
而 ,
故 .
另一方面, ,
故 的外接圆内切于 的外接圆.
从而 的外接圆各点位于 的外接圆上或其内部. ①
反复使用结论①可得， 的外接圆位于 外接圆上或其内部.
故 各顶点均在 外接圆上或其内部.
(3)若满足题意，则 位于在 外接圆上或其内部，故 .
由(2)知 ,
由题意, ,即 ,解得 .
故 .
当 ，同上可得 .
由 (2) 知 共线,故 ,即 .
故 ,故 的外接圆位于 外接圆上或其内部.
故 各顶点均在 外接圆上或其内部,故 的范围为 .
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