广东深圳中学2025-2026学年下学期高三数学3月复习检测三（含答案）

深圳中学 2026 届高三复习检测(三) 数学
，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试娄类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先别掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。小按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为
A. -1 B. -i C. 2 D. 2i
3. 已知直线 是三条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
4. 若数列 满足 为常数， )，则称 为“等方比数列”. 甲:数列 是等方比数列: 数列 是等比数列,则
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲足乙的既不充分也不必要条件
5. 已知定义域为 的函数 为偶函数, 为奇函数,且当 时, ,则
B.
c. D.
6. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 ，则
B. C. D.
7. 若函数 有极值点 ,且 ,则关于 的方程 的不同实根个数是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
下列对于函数 的说法正确的是
A. 既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B. 可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C. 不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D. 既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正四棱锥 中，侧棱 与底面边长相等， 分别是 和 的中点，则
A. B. 平面 C. D. 平面
10. 已知 且 成等差数列,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 不可能成等差数列 D. 不可能成等差数列
11. 从雨使用 8 块全等的三角形薄板(不计厚度)，仅通过拼接得到一个三棱柱，则
A. 所用薄板的形状是等腰三角形
B. 所用薄板的形状是直角三角形
C. 所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D. 所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知等比数列 的前 项和 ,则 的公比为_____.
13. 若 为 的重心， ，则 的最小值为_____.
14. 已知函数 ，若 ， ，使得 ，则 的取值范围为_____.
四、本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知数列 满足 .
(I) 求证: 数列 是等差数列; (2) 令 ,求数列 的前 项和 .
16. (本小题 15 分) 已知四棱锥 ， 平面 ， ， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值
17. (本小题 15 分) 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(I)判断 的形状；
(2)设 ，且 是边 的中点，求当 最大时 的面积.
18. (本小题 17 分)已知函数 ， 是 的导函数。
(1)是否存在 ，使得 为 的极值点？若存在，求 满足的条件，若不存在，请说明理由；
(2)若 ， ， 为 最小的零点，证明:当 时， .
19. (本小题 17 分) 设 是正整数，有穷整数列 . 若存在正整数 满足: 对 ,都有 恒成立,则称 为 数列,数列 的所有项之和记为 .
(1)判断 是否为 数列 是否为 数列 请说明理由;
(2)若 ， 是 数列，且 ，求 的最小值；
(3)若 ， 是 数列，且 ，若将 各项重新排列后能构成等差数列，求 的最小值.
2026 届高三阶段性检测 (三) 数学
本试卷共 4 页，19 小题, 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上. 用 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案, 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4. 作答选做题时,请先用 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答. 漏涂、错涂、多涂的， 答案无效.
5. 考生必须保持答题卡的整洁.
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 集合 ，则 ()
A. B. C. D.
【答案】
易知 ,
又 ,可得 .
故选:
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. -1 B. -i C. 2 D. 2i
【答案】
设复数 ,
因为 ,可得 ,
所以 ,解得 ,所以 ,所以复数 的虚部为 -1 .
故选: .
3. 已知直线 是三条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】
若 ,则 或 ,故选项 不正确:
若 ,则 或 ,故选项 不正确:
若 ,则 或 ,故选项 不正确;
由面面垂直的性质定理可知选项 正确.
故选: .
4. 若数列 满足 ,则称 为 “等方比数列”. 甲: 数列 是等方比数列; 数列 是等比数列,则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】
若 为等比数列,设其公比为 ,则 为常数,
所以 成等比数列,即 是等方比数列,故必要性满足.
若 是等方比数列,即 成等比数列,则 不一定为等比数列,
例如 ,有 ,满足 是等方比数列,但 不是等比数列,充分性不满足.
故选:
5. 已知定义域为 的函数 为偶函数, 为奇函数,且当 时, ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
依题意可知 ;
所以 ,即 ,
因此 ,即 ,
所以可得 ,即 是以 4 为周期的周期函数,
对于 ,由分析可知 ,即 错误:
对于 ,由 ,可知 ;
显然 ,所以 ,
所以 ,即 正确;
对于 ,易知 ,可得 错误;
对于 ,显然 ,即 错误.
故选:
6. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切,设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
设小球半径为 ,因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切,所以四棱台的体积等于以球心为顶点,以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和,其高都是球的半径 ,且棱台的高是 ,
则四棱台的体积为 ,
得 ,即 ,
故选:
7. 若函数 有极值点 ,且 ,则关于 的方程 的不同实根个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】
函数 有极值点 ,
,且 是方程 的两个根,
不妨设 ,由 可得 或 ,
易得当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
又 ,则可画出 的大致图象如下:
如图所示,满足 或 有 3 个交点,
即关于 的方程 的不同实根有 3 个.
故选: .
8. 下列对于函数 的图象说法正确的是: ( ).
A. 既可能存在对称中心, 又可能存在对称轴 B. 可能存在对称中心, 但不可能存在对称轴
C. 不可能存在对称中心, 但可能存在对称轴 D. 既不可能存在对称中心, 又不可能存在对称轴
【答案】
令 ,得 或 即 ,
当 时,解得 ;
当 时,解得 或 ,
得 或 或 ,
即 或 或 ,
即 .
所以 有定零点 和动零点 ,
所以若 存在对称中心或对称轴,则其横坐标只能为 ,
而定零点也应具有对称性,所以 ,
此时: ,
① 当 时， ，
此时 存在对称中心 ;
② 当 或 时，
或 ,
此时 ,所以 不存在对称轴.
综上, 存在对称中心 ,不存在对称轴.
故选: .
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正四棱锥 中，侧棱 与底面边长相等， 分别是 和 的中点，则()
A. B. 平面 C. D. 平面
【答案】
如图，取 中点 ，连接 ，
分别是 和 的中点,四棱锥 是正四棱锥,
且 ,即四边形 是平行四边形,
对于 ,因为 ,所以 与 不平行,故 错误;
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确;
对于 ,因为 是 中点,所以 ,又因为 ,所以 , 故 正确;
对于 ,连接 交于点 ,连接 ,
因为四棱锥 是正四棱锥,所以 平面 ,
因为 平面 平面 ,所以 ,
则由 平面 平面 ,可证得 平面 ,
又因为 ,所以 与 为异面直线,
如果 平面 ,则 与题意矛盾,故 错误.
故选: .
10. 已知 ,且 成等差数列,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 不可能成等差数列 D. 不可能成等差数列
【答案】
对于 ,由题意有: ,则 ,故 正确;
对于 ，由 ，因 ，等号不成立，
则可得 ，故 正确；
对于 ,令 ,由 得 ,又 成等差数列,
所以 ,若 ,减等差数列,则 ,
由 ,这表明存在满足 的 ,
使得 可以成等差数列,故 错误:
对于 ,假设 成等差数列,仿照 项设法,即得 成等差数列,
所以 ,由 ,即 ,
所以 与 矛盾,即 不可能成等差数列,故 正确;
故选: .
11. 在实践课上，小明使用 8 块全等的三角形薄板 (不计厚度)，仅通过拼接得到一个三棱柱，则()
A. 所用薄板的形状是等腰三角形
B. 所用薄板的形状是直角三角形
C. 所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D. 所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
【答案】
由于三棱柱的侧面是平行四边形, 因此 8 个三角形中的 2 个作为上下底面,
其余 6 个两两拼成 3 个平行四边形, 这 3 个平行四边形作为 3 个侧面.
记该三棱柱为 ，
无论如何拼接侧面，侧棱长 必与三角形的某一边相等，在侧面 中，有 或 ，
同理，“ 或 ”，“ 或 ” 都是真命题，
这说明 中至少有两个相等,即所用薄板的形状是等腰三角形,故 正确;
不妨设 ，那么在 3 个侧面中:
有 2 个是边长为 的菱形，且一条对角线长为 ；
另 1 个是邻边长分别为 和 的平行四边形,且一条对角线长为 .
在平行四边形 中，不妨设 (若 ,则两条对角线长都大于 ),则 ,
由于 ，设 为 的中点，连接 ，
则 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,则 ,又 ,所以 ,
那么在 中， ，所以 ，
因为 ,其中 为 中点,
那么 ,所以 ,则 平面 ,
又 底面 ,则平面 底面 ,故 正确；
所以 ,而 ,那么 ,
因此只可能有 ,解得 ,故 错误;
侧棱与底面所成角的余弦值即为 ,则正弦值为 ,故正切值为 ,故 C 正确.
故选: .
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共15 分.
12. 已知等比数列 的前 项和 ,则 的公比为_____.
【答案】 1
当公比为 1 时, ,此时 ,即可
当公比不为 1 时, ,此时不管 取何值, 都无法得到这种形式,所以这种情况不成立，
故答案为: 1
13. 若 为 的重心, ,则 的最小值为_____.
【答案】
设 分别为 中点,则 ,
为 的重心,
,
记 ,
则 ,即 ,
又 ,
(当且仅当 时取等号),
的最小值为 .
故答案为: .
14. 已知函数 ,若 ,使得 ,则 的取值范围为_____.
【答案】
设 ,
若 ,使得 ,
即 ,使得 ,
即 的值域是 值域的子集,
①若 ，即， ， ， 均大于 0 不符合题意:
②若 ，即 时， ， 的值域均为 ，符合题意；
③ 若 ，即 ， 的值域为 ， ，
只需 ,即 ,解得, ,此时 ;
④若 ，即 ，此时 的值域为 ， 的值域为 ，
, 由 在 上单调递增,
结合图象可知 ,所以,此时满足题意;
⑤若 ，即 ，此时 的值域为 ，满足题意；
⑥若 ，即 ， 的值域为 ，
要使 的值域为 ，则 ，解得 ，即 ；
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为:
四、本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) 证明见解析
【小问 1 】
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又 ，所以 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
【小问 2 】
由 (1) 可知
令 ,
对照系数可得 (其中 ),
16. 已知四棱锥 平面 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1) 证明见解析
【小问 1 】
由 平面 平面 ,故 ,
又 平面 ,
故 平面 ，由 ，则 平面 ，
又 平面 ,故平面 平面 ;
【小问 2 】
由 平面 平面 ,故 ,
故 两两垂直，
故可以 为原点建立如图所示空间直角坐标系,设 ,
则 ,
则 ,
设平面 与平面 法向量分别为 ,
则有 ,
取 ,则 ,
即 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 在 中,内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)判断 的形状；
(2) 设 ，且 是边 的中点，求当 最大时 的面积.
【答案】(1) 等腰三角形 .
【小问 1 】
由二倍角公式得 ,
,整理得 ,
即 .
,即 ,即 为等腰三角形.
【小问 2 】
由(1)及题设,有 ，
而 为三角形内角， ，当且仅当 时，等号成立.
即 的最大值为 ，此时由 ，而 ，故 ，
故 ,可得 为直角三角形且 ,
又由 (1) 可得 为正三角形, 的面积 .
18. 已知函数 是 的导函数.
(1) 是否存在 ,使得 为 的极值点 若存在,求 满足的条件,若不存在,请说明理由:
(2) 若 为 最小的零点,证明: 当 时, .
【答案】 不是极值点,理由见解析 (2) 证明见解析
【小问 1 】
当 时, 无意义;
当 时,若 为 的极值点,则 ,即 ,
,又
令 ,
所以 单调递减; 单调递增;
所以 ,所以 恒成立,所以 单调递增,故 不是极值点.
综上所述,不存在 ,使得 为 的极值点.
【小问 2 】
当 时, ,
要证: 时, ,
由于 .
令 .
则存在 ,使得 在 上单调递增, 上单调递减,且 .
故 .
只要证:
记 ,只需证: .
由于 ,当 时, .
则 在 上单调递减,于是只需证: .
由 ,得证.
19. 设 是正整数,有穷整数列 . 若存在正整数 满足: 对 ,都有 恒成立,则称 为 数列,数列 的所有项之和记为 .
(1)判断 是否为 数列 是否为 数列 请说明理由:
(2)若 ， 是 数列，且 ，求 的最小值；
(3)若 ， 是 数列，且 ，若将 各项重新排列后能构成等差数列，求 的最小值.
【答案】(1) 数列 不是 数列,是 数列,理由见解析
(2) 的最小值为 7
(3) 的最小值为 11
【小问 1 】
① 判断 是否为 数列:
当 时, ,所以 :
当 时, :
不满足对 ,都有 恒成立,
所以 不是为 数列;
② 判断 是否为 数列:
当 时, ,所以 ,
根据 数列的定义,需要判断 时 的取值情况
时, ;
时, ;
满足对 ,都有 恒成立,
所以 为 数列.
【小问 2 】
因为 为 数列,所以对 ,都有 恒成立,
又因为数列 为有穷整数列,所以 ;
则 ,且由 ,
可得 ,
解得 ,又各项为整数,则 ,
所以 ;
为使 最小,令 ,
构造数列 .
由 ,可知满足 数列条件,
此时 ,所以 的最小值为 7 .
【小问 3 】
因为 ,所以数列 共 11 项.
设重排后所得等差数列的公差为 (不妨设 ),中间项为 ,
设该等差数列 , 则 .
由 为 数列,即 ,则 ,
所以对 ,都有 恒成立,
又各项均为整数,则 ,又 ,
所以 ;
且 :
同理可得 :
四式相加可得,
,
则有 ,化简得 .
假设 ,则 ,且 ,
则由 ,可知 ,
则 ,则 ,
故 ,这与 矛盾;
故 ,又 ,则 .
显然,当 时,数列 满足题意,且 .
故 的最小值为 11 .
综上所述: 的最小值为 11 .