广东省深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年下学期高三数学3月30日第一次（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年下学期高三数学3月30日第一次（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 171.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年春季学期高三年级第一次教学诊断 数 学 试 卷
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 若函数 在 上为减函数,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4. 设 是等比数列,且 ,则 ( )
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
5. 在棱长为 的正方体 中，点 在正方体内(包含边界)运动. 若直线 与 所成角为 ，则线段 所扫过的区域的面积是( )
A. B. C. D.
6. 若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为( )
A. B. 4 C. 5 D.
7. 如图 1 的 “方斗” 古时候常作为一种容器, 有如图 2 的方斗杯, 其形状是一个上大下小的正四棱台, ,现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为 74 ，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
图1
图2
A. 148
B. C. D. 196
8. 已知函数 为自然对数的底数 的图象上存在 2 个点 分别与 的图象上 2 个点 关于 轴对称,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 下列说法中正确的是( )
A. 某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩(单位:环)下:6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第 70 百分位数为 8
B. 若随机变量 ,且 ,则
C. 若随机变量 ,且 ,则
D. 对一组样本数据 进行分析,由此得到的线性回归方程为: , 至少有一个数据点在回归直线上
10. 已知函数 ,则
A. 为奇函数 B.
C. 当 时, D. 曲线 在点 处的切线方程为
11. 数学中有许多寓意美好的曲线,曲线 被称为 “四叶玫瑰线” (如图所示), 是 上在第一象限内的一点. 给出的下列三个结论中,正确结论的选项是( )
A. 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2
B. 曲线 经过 5 个整点 (即横纵坐标均为整数的点)
C. 存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内(含边界)
D. 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为_____.
13. 已知数列 的前 项和 ,当 取最小值时, _____.
14. 如图: 在 中， ， ， 三点分别在边 ， ， 上，则 ， ， 的外接圆交于一点 ，称点 为密克点. 运用上述结论解决如下问题: 在梯形 中， ， ， ， 为 边的中点，动点 在 边上， 与 的外接圆交于点 (异于点 )，则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知函数 的图象如图所示.
(1)求 的单调递增区间;
(2)若 ，且 ，求 的值.
16. (本小题 15 分) 如图， 内接于圆 为圆 的直径， 平面 为线段 中点. (1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17. (本小题 15 分) 已知函数 .
(1) 若 ,求 在 上的极大值;
(2)若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数.
18. (本小题 17 分)某学校为丰富学生活动, 积极开展乒乓球选修课, 甲乙两同学进行乒乓球训练, 已知甲第一局赢的概率为 ,前一局赢后下一局继续赢的概率为 ,前一局输后下一局赢的概率为 ,如此重复进行.记甲同学第 局赢的概率为 .
(1)求乙同学第 2 局赢的概率;
(2)求 ；
(3)若存在 ，使 成立，求整数 的最小值.
19. (本小题 17 分)如图所示,由椭圆 和抛物线 组合成曲线 , 若 与 存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线 为 “七星瓢虫曲线”.特别地, 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列, 则称其为 “等差椭圆”.
(1)求 “等差椭圆” 的离心率;
(2)在 “七星瓢虫曲线” 中，若 是 “等差椭圆”，且 .
(i) 求与 和 都相切的直线的方程;
(ii) 直线 ,且 与 相交所得弦的中点为 ,与 相交所得弦的中点为 , 证明: 直线 的斜率之积 为定值.
2025-2026 学年春季学期高三年级第一次教学诊断 数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D B B D A BC AC AD
二、填空题
12. 60_____； 13. 3 14. .
1.【答案】
【解答】当 时,可得 ,所以 ,故充分性不成立; 当 时,可得 ,故 ,必要性成立; 综上 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选 .
2.【答案】
【解答】复数 的虚部是 . 故选:
3.【答案】
依题意可得 ,解得 . 故选: .
4.【答案】
【解答】 ,所以 , ,所以 . 故答案选: .
5.【答案】
由题意,在正方体 中, ,
直线 与 所成角为 ,即直线 与直线 所成角为 ,
故线段 所扫过的区域是高为 ，底面半径为 1 ，母线长为 2 的圆锥侧面的四分之一，
即线段 所扫过的区域的面积为 . 故选 .
6.【答案】
当 时, 不可能对任意的 恒成立,不满足要求, 当 时, 开口向下,不满足题意,所以 ,令 ,得 , 当 时,不等式 对任意的 恒成立,所以 ,即 ,且 , 所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 4 . 故选: .
7.【答案】
设线段 的中点分别为 ,如下图所示: 易知四边形 为等腰梯形,因为线段 的中点分别为 ,则 ,
设棱台 的高为 ,体积为 ,
则棱台 的高为 ，设其体积为 ，
则 ,
所以 ,则该方斗杯可盛水的总体积为 . 故选: .
8.【答案】
设 是 上一点,则 ,
且 关于 轴对称点坐标为 在 上,
由题意得, 有两个不同的实数解,即 有两个不同的实数解,
令 ,则 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 ,
有两个不同的实数解等价于 与 有两个交点,
所以 ,所以 . 故选:
9.【答案】
选项,排序得5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,第 70 百分位数为 ,故 错误;
选项， ，得 ，则 ， 正确；
选项， ，则 ，故 ，故 正确； 选项,中点 一定在线性回归方程直线上,但并不能保证至少有一个数据点在回归直线上,故 错误; 故选 .
10.【答案】
因为 ,所以 为奇函数,故 正确;
因为 ,所以 ,故 错误;
当 时, ,当且仅当 时,等号成立,故 正确;
设 ,则 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,故 错误. 故选: .
11.【答案】
对于 ,不妨设点 为曲线 上的任一点,
则 ,化简得 ,
当且仅当 时取等号,于是 ,即得 ,
故可得曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2,故 正确；
对于 ,由 可知 ,
当 时,代入 成立,故 经过点 ,
当 时, 不成立,当 时, 不成立,
当 时, 不成立,当 时, 不成立,
当 时, 不成立,故曲线 经过 1 个整点 ,故 错误;
对于 ,由 选项可知,包含该曲线且以原点为圆心的最小圆的半径为 2,
边长为 正方形 是以原点为圆心 2 为半径的圆的内接正方形,
故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内(含边界)，故 错误；
对于 ,如图, 点在射线 的上方,
则可设 ,
代入 ,得 ,
令 ,则 ,所以 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 是 的最大值点,即 ,故 正确.
故选: .
12.【答案】 60
正态分布 的均值 ,其概率密度曲线关于直线 对称,
而 ,由对称性可知 ,得 ,二项式 展开式的通项为:
令 ,解得 ,所以常数项为 . 故答案为 60 .
13.【答案】3
【分析】
本题考查数列的前 项和及 与 的关系、基本不等式,属于中档题.
利用 和 的关系求 ,得 ,由基本不等式即可求解.
【解答】因为数列 的前 项和 ,
当 时, ,当 时, 时也成立), , ,
当且仅当 ,即 时取等号,故当 取最小值时, .
故答案为: 3 .
14.【答案】
延长 交于点 ,则由题可知 为正三角形， 为正三角形，
由题设结论 的外接圆有唯一公共点，
该公共点即为题中的点 ,故点 在 的外接圆上,
如上图,又由题可知 ,即 为 的外心,且 外接圆半径为 2, ,
在 中，由余弦定理 ，所以 的最小值为 .
故答案为: .
15.【答案】(1) 由函数图象可知, ,所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
由 ,可得 ,所以 .
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 .
16.【答案】(l)证明:因为 内接于圆 ， 为圆 的直径，所以 ，
因为 平面 平面 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)因为 平面 和 平面 ,所以 ，
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ，所以 ，
则 ， ， ， ，
所以 ,
设平面 的法向量 ,由 ,得 ,
不妨设 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 ,
又 ,
设平面 的法向量 ,由 ,得 ,
不妨设 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 ，所以 ，
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17.【答案】(1) 当 时, ,
由 ,得 , 因此,当 变化时, 的变化情况如下表所示:
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 0 单调递减 单调递增
所以当 时, 有极大值,且极大值为 ;
,
当 时,由 ,得 或 ,
其中 且 ,所以 ,
当 或 时,方程 无实数解,此时函数 只有一个零点;
当 时,方程 只有一解且为 ,此时函数 只有一个零点;
当 时,方程 有两个不同的解且均不等于 ,此时函数 有三个零点;
当 时,方程 有一个解且不等于 ,此时函数 有两个零点.
综上: 当 或 时,函数 只有一个零点;
当 时，函数 有三个零点；
当 时，函数 有两个零点.
18.【答案】(1)由题意甲同学第 2 局赢的概率为 ,
所以乙同学第 2 局赢的概率为 ;
(2)由已知 时， ，
所以 ,又 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 ,所以 ;
(3) 即 ,令 ,则 ,
易知 是减函数, ,所以 时, 单调递减,
显然 ,因此要求 的最小值,即求 的最大值,
又 ,
为偶数时, ,单调递减,所以 ,
为奇数时, ,单调递增,所以 ,
所以 是 中的最大值,所以 ,
又因为 ,所以满足题意的整数 的最小值为 -1 .
本题主要考查了通过条件概率公式、对立事件概率公式等确定概率的递推关系, 等比数列的应用, 利用导数求解单调性和最值问题, 属于较难题.
(1)先求出甲同学第 2 局赢的概率，再通过对立事件的概率公式求解即可;
(2) 由已知 时, ,对式子变形后可得 是首项为 ,公比为 的等比数列,即可求解;
(3) 即 ，令 ，再利用导数研究函数的单调性与最值即可.
19.【答案】(l)设椭圆 的半焦距为 ，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列， 所以 ,又 ,所以 ,则 , 两边同时除以 ,得 ,解得 ,所以 “等差椭圆” 的离心率为 ;
(2) )若 是 “等差椭圆” ，且 ，则由 ，得 ，
则 ,解得 ,故 ,
易知与 和 都相切的直线斜率存在且不为 0,设方程为: ,
联立 ,消去 得 ,
则 ,得 ; ①
联立 ,消去 得 ,则 ,得 ,②
联立①②，解得 或 ，
故与 和 都相切的直线方程为 或 ;
(ii) 证明: 设 与 相交于 ,
线段 的中点 ,则 ,
两式相减,得 ,
所以 ,
即 ,
由已知 ,所以 ,
即 ,则 .
联立 得 ,
又 ，则 ， ，
故 ,
所以中点 的坐标为 ,可得 ,
所以 ,为定值.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 若函数 在 上为减函数,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4. 设 是等比数列,且 ,则 ( )
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
5. 在棱长为 的正方体 中，点 在正方体内(包含边界)运动. 若直线 与 所成角为 ，则线段 所扫过的区域的面积是( )
A. B. C. D.
6. 若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为( )
A. B. 4 C. 5 D.
7. 如图 1 的 “方斗” 古时候常作为一种容器, 有如图 2 的方斗杯, 其形状是一个上大下小的正四棱台, ,现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为 74 ，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
图1
图2
A. 148
B. C. D. 196
8. 已知函数 为自然对数的底数 的图象上存在 2 个点 分别与 的图象上 2 个点 关于 轴对称,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 下列说法中正确的是( )
A. 某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩(单位:环)下:6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第 70 百分位数为 8
B. 若随机变量 ,且 ,则
C. 若随机变量 ,且 ,则
D. 对一组样本数据 进行分析,由此得到的线性回归方程为: , 至少有一个数据点在回归直线上
10. 已知函数 ,则
A. 为奇函数 B.
C. 当 时, D. 曲线 在点 处的切线方程为
11. 数学中有许多寓意美好的曲线,曲线 被称为 “四叶玫瑰线” (如图所示), 是 上在第一象限内的一点. 给出的下列三个结论中,正确结论的选项是( )
A. 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2
B. 曲线 经过 5 个整点 (即横纵坐标均为整数的点)
C. 存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内(含边界)
D. 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为_____.
13. 已知数列 的前 项和 ,当 取最小值时, _____.
14. 如图: 在 中， ， ， 三点分别在边 ， ， 上，则 ， ， 的外接圆交于一点 ，称点 为密克点. 运用上述结论解决如下问题: 在梯形 中， ， ， ， 为 边的中点，动点 在 边上， 与 的外接圆交于点 (异于点 )，则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知函数 的图象如图所示.
(1)求 的单调递增区间;
(2)若 ，且 ，求 的值.
16. (本小题 15 分) 如图， 内接于圆 为圆 的直径， 平面 为线段 中点. (1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17. (本小题 15 分) 已知函数 .
(1) 若 ,求 在 上的极大值;
(2)若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数.
18. (本小题 17 分)某学校为丰富学生活动, 积极开展乒乓球选修课, 甲乙两同学进行乒乓球训练, 已知甲第一局赢的概率为 ,前一局赢后下一局继续赢的概率为 ,前一局输后下一局赢的概率为 ,如此重复进行.记甲同学第 局赢的概率为 .
(1)求乙同学第 2 局赢的概率;
(2)求 ；
(3)若存在 ，使 成立，求整数 的最小值.
19. (本小题 17 分)如图所示,由椭圆 和抛物线 组合成曲线 , 若 与 存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线 为 “七星瓢虫曲线”.特别地, 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列, 则称其为 “等差椭圆”.
(1)求 “等差椭圆” 的离心率;
(2)在 “七星瓢虫曲线” 中，若 是 “等差椭圆”，且 .
(i) 求与 和 都相切的直线的方程;
(ii) 直线 ,且 与 相交所得弦的中点为 ,与 相交所得弦的中点为 , 证明: 直线 的斜率之积 为定值.
2025-2026 学年春季学期高三年级第一次教学诊断 数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D B B D A BC AC AD
二、填空题
12. 60_____； 13. 3 14. .
1.【答案】
【解答】当 时,可得 ,所以 ,故充分性不成立; 当 时,可得 ,故 ,必要性成立; 综上 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选 .
2.【答案】
【解答】复数 的虚部是 . 故选:
3.【答案】
依题意可得 ,解得 . 故选: .
4.【答案】
【解答】 ,所以 , ,所以 . 故答案选: .
5.【答案】
由题意,在正方体 中, ,
直线 与 所成角为 ,即直线 与直线 所成角为 ,
故线段 所扫过的区域是高为 ，底面半径为 1 ，母线长为 2 的圆锥侧面的四分之一，
即线段 所扫过的区域的面积为 . 故选 .
6.【答案】
当 时, 不可能对任意的 恒成立,不满足要求, 当 时, 开口向下,不满足题意,所以 ,令 ,得 , 当 时,不等式 对任意的 恒成立,所以 ,即 ,且 , 所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 4 . 故选: .
7.【答案】
设线段 的中点分别为 ,如下图所示: 易知四边形 为等腰梯形,因为线段 的中点分别为 ,则 ,
设棱台 的高为 ,体积为 ,
则棱台 的高为 ，设其体积为 ，
则 ,
所以 ,则该方斗杯可盛水的总体积为 . 故选: .
8.【答案】
设 是 上一点,则 ,
且 关于 轴对称点坐标为 在 上,
由题意得, 有两个不同的实数解,即 有两个不同的实数解,
令 ,则 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 ,
有两个不同的实数解等价于 与 有两个交点,
所以 ,所以 . 故选:
9.【答案】
选项,排序得5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,第 70 百分位数为 ,故 错误;
选项， ，得 ，则 ， 正确；
选项， ，则 ，故 ，故 正确； 选项,中点 一定在线性回归方程直线上,但并不能保证至少有一个数据点在回归直线上,故 错误; 故选 .
10.【答案】
因为 ,所以 为奇函数,故 正确;
因为 ,所以 ,故 错误;
当 时, ,当且仅当 时,等号成立,故 正确;
设 ,则 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,故 错误. 故选: .
11.【答案】
对于 ,不妨设点 为曲线 上的任一点,
则 ,化简得 ,
当且仅当 时取等号,于是 ,即得 ,
故可得曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2,故 正确；
对于 ,由 可知 ,
当 时,代入 成立,故 经过点 ,
当 时, 不成立,当 时, 不成立,
当 时, 不成立,当 时, 不成立,
当 时, 不成立,故曲线 经过 1 个整点 ,故 错误;
对于 ,由 选项可知,包含该曲线且以原点为圆心的最小圆的半径为 2,
边长为 正方形 是以原点为圆心 2 为半径的圆的内接正方形,
故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内(含边界)，故 错误；
对于 ,如图, 点在射线 的上方,
则可设 ,
代入 ,得 ,
令 ,则 ,所以 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 是 的最大值点,即 ,故 正确.
故选: .
12.【答案】 60
正态分布 的均值 ,其概率密度曲线关于直线 对称,
而 ,由对称性可知 ,得 ,二项式 展开式的通项为:
令 ,解得 ,所以常数项为 . 故答案为 60 .
13.【答案】3
【分析】
本题考查数列的前 项和及 与 的关系、基本不等式,属于中档题.
利用 和 的关系求 ,得 ,由基本不等式即可求解.
【解答】因为数列 的前 项和 ,
当 时, ,当 时, 时也成立), , ,
当且仅当 ,即 时取等号,故当 取最小值时, .
故答案为: 3 .
14.【答案】
延长 交于点 ,则由题可知 为正三角形， 为正三角形，
由题设结论 的外接圆有唯一公共点，
该公共点即为题中的点 ,故点 在 的外接圆上,
如上图,又由题可知 ,即 为 的外心,且 外接圆半径为 2, ,
在 中，由余弦定理 ，所以 的最小值为 .
故答案为: .
15.【答案】(1) 由函数图象可知, ,所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
由 ,可得 ,所以 .
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 .
16.【答案】(l)证明:因为 内接于圆 ， 为圆 的直径，所以 ，
因为 平面 平面 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)因为 平面 和 平面 ,所以 ，
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ，所以 ，
则 ， ， ， ，
所以 ,
设平面 的法向量 ,由 ,得 ,
不妨设 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 ,
又 ,
设平面 的法向量 ,由 ,得 ,
不妨设 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 ，所以 ，
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17.【答案】(1) 当 时, ,
由 ,得 , 因此,当 变化时, 的变化情况如下表所示:
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 0 单调递减 单调递增
所以当 时, 有极大值,且极大值为 ;
,
当 时,由 ,得 或 ,
其中 且 ,所以 ,
当 或 时,方程 无实数解,此时函数 只有一个零点;
当 时,方程 只有一解且为 ,此时函数 只有一个零点;
当 时,方程 有两个不同的解且均不等于 ,此时函数 有三个零点;
当 时,方程 有一个解且不等于 ,此时函数 有两个零点.
综上: 当 或 时,函数 只有一个零点;
当 时，函数 有三个零点；
当 时，函数 有两个零点.
18.【答案】(1)由题意甲同学第 2 局赢的概率为 ,
所以乙同学第 2 局赢的概率为 ;
(2)由已知 时， ，
所以 ,又 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 ,所以 ;
(3) 即 ,令 ,则 ,
易知 是减函数, ,所以 时, 单调递减,
显然 ,因此要求 的最小值,即求 的最大值,
又 ,
为偶数时, ,单调递减,所以 ,
为奇数时, ,单调递增,所以 ,
所以 是 中的最大值,所以 ,
又因为 ,所以满足题意的整数 的最小值为 -1 .
本题主要考查了通过条件概率公式、对立事件概率公式等确定概率的递推关系, 等比数列的应用, 利用导数求解单调性和最值问题, 属于较难题.
(1)先求出甲同学第 2 局赢的概率，再通过对立事件的概率公式求解即可;
(2) 由已知 时, ,对式子变形后可得 是首项为 ,公比为 的等比数列,即可求解;
(3) 即 ，令 ，再利用导数研究函数的单调性与最值即可.
19.【答案】(l)设椭圆 的半焦距为 ，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列， 所以 ,又 ,所以 ,则 , 两边同时除以 ,得 ,解得 ,所以 “等差椭圆” 的离心率为 ;
(2) )若 是 “等差椭圆” ，且 ，则由 ，得 ，
则 ,解得 ,故 ,
易知与 和 都相切的直线斜率存在且不为 0,设方程为: ,
联立 ,消去 得 ,
则 ,得 ; ①
联立 ,消去 得 ,则 ,得 ,②
联立①②，解得 或 ，
故与 和 都相切的直线方程为 或 ;
(ii) 证明: 设 与 相交于 ,
线段 的中点 ,则 ,
两式相减,得 ,
所以 ,
即 ,
由已知 ,所以 ,
即 ,则 .
联立 得 ,
又 ，则 ， ，
故 ,
所以中点 的坐标为 ,可得 ,
所以 ,为定值.
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