2025-2026学年下学期湖南邵东高一数学4月第一次监测（含答案）

2026 年上学期高一第一次监测数学试卷
姓名:_____ 班级:_____
一、选择题(本大题共8小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1. 若复数 满足 ( 是虚数单位),则 ( )
A. B. 1 C. D. 2
2. 在 中,设角 的对边分别为 ,若 ,则 ( )
A. B. 3 C. D.
3. 如图， 斜二测画法的直观图是 ， 的面积为6，那么 的面积为( )
A. B.
C. D.
4. 若非零向量 满足 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 已知 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ,则方程 在区间 上的实数根个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8. 在锐角 中,角 的对边分别为 为 的面积,且 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部答对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分)
9. 已知复数 满足 ,则( )
A. 的虚部为1B. C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于直线 对称
B.
C. 若 ,则
D. 将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象
11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理: 三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上, 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半, 此直线称为欧拉线. 该定理称为欧拉线定理.已知 的外心为 ,重心为 ,垂心为 ,且 ,以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若 ，则
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 如图，一艘船以每小时 的速度向东航行，船在 处观测灯塔 在北偏东 方向，行驶 后，船到达 处，观测个灯塔 在北偏东 方向，此时船与灯塔 的距离为_____km.
13. 已知函数 ,方程 有四个不同解 ,则 的取值范围是_____.
14. 在 中, ,它的面积是 分别在 所在的直线上,且满足 对任意 恒成立,则 _____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知复数 .
(1)若复数 为纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面内所对应的点 位于第三象限，求 的取值范围.
16. (15 分) 如图, 是圆柱的底面直径, 是圆柱的母线且 ,点 是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若 是 的中点，点 在线段 上，求 的最小值.
17. (15 分) 已知锐角 的三个内角 所对的边分别为 ,且满足
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
18. (17 分) 已知 是 上的奇函数,且 .
(1)求 的值；
(2)设 . 求 的解析式，并求其值域；
(3)在(2)的条件下，设 ，把区间 等分成 份，记等分点的横坐标依次为 ,记 ，是否存在正整数 ,使不等式 有解 若存在,求出所有 的值,若不存在,说明理由.
19. (17分)1637 年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统. 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴,构成了平面放射坐标系. 如两条数轴上的度量单位相等,则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系,两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系,如图,设 是平面内相交成 的两条射线, 分别为 同向的单位向量,定义平面坐标系 为 仿射坐标系,在 仿射坐标系中,若 ,则记 .
(1)在 仿射坐标系中,若 ,求 ;
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴
上， ， ， 、 分别为 、 中点，求 的最大值.
2026 年上学期高一第一次监测数学参考答案
1~8. BAAC CDBC 9.BCD 10.ABD 11.AC
8. 由三角形面积公式可得: ,故 ,
,故 ,
因为 ,所以 ,解得: 或 0,
因为 为锐角三角形,所以 舍去,故 ,
由正弦定理得: ，
其中 ,
因为 为锐角三角形所以 ,故 ,所以 ,
,
令 ,则 为对勾函数,在 上单调递减,在 上单
调递增,则 ,又 ,
,因为 ,所以 ,
则 . 故选:C
11. A 选项,延长 交 于点 ,由于点 是 的重
心,可得 ,
所以 ,故 A 正确;
B 选项，过 的外心 分别作 的垂线，垂足为
,如图,易知点 分别是 的中点,
则
，故 B 项错误；
C 选项,因为点 是 的重心,所以 ,
故 ,
由欧拉线定理可知,重心 到外心 的距离是重心 到垂心 距离的一半,
即 ,所以 ,则 ,故 C 项正确;
对 选项,作 于 ,
则 为 中点， ， 由余弦定理可得 ,则 , 设外接圆半径为 ,则 ,
即 ,则 ,
则
，故 项错. 故选:
14. 因为 ,则 ,且 ,
又因为 的面积为 10,则 ,解得 , 由图知 表示直线 上一点到点 的向量,
而 则表示直线 上一点到点 的距离,
由 对任意 恒成立可知, 的长是点 到直线 上的点的最短距离,
此时 ,同理可得 ,则 ,
可得 ,
因为 ,则 ,可得 ,
由 ，可得 ，
由 ,可得 ,
所以 . 答案: .
15. (1) . (2) 的取值范围是(2,3).
16. .
17. (1) ；(2) 的取值范围为 .
18. 解析: (1) 是定义在 上的奇函数, ,解得: ; 当 时, ,则 为奇函数; ,又 且 ; 综上所述: . (2) 由 (1) 得: , 定义域为 ,
,
(当且仅当 时取等号), ,
的值域为 .
(3) 由题意知: ,
;
为奇函数, 图象关于 中心对称,
图象关于 中心对称, ,
若存在正整数 ,使不等式 有解,则 ,解得: ,
存在正整数 或 3,使不等式 有解.
19. 解析: (1) 由题意可知, 的夹角为 ,由平面向量数量积的定义可得
,因为 ,则 ,
则 ,所以 .
(2) 由 ,得 ,
,
,
则 ,
因为 与 的夹角为 ,则 ,解得 .
又 ,所以 ;
(3)依题意,设 ,且
，
因为 为 的中点,则
,
因为 为 中点,同理可得 ,
所以
,
由题意知 ,
则 ,
在 中,依据余弦定理得 ,所以 ,
代入上式得, .
在 中,由正弦定理 ,
设 ，则 ，且 ，
所以
为锐角,且 ,
因为 ,则 ,
故当 时， 取最大值 ，
则 .