2025-2026学年下学期湖北十堰高一数学4月阶段检测（含解析）

2026 年 4 月高一年级训练卷 高一数学
试卷满分:150 分
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知 ，则与 方向相同的单位向量是( )
A. B. C. D.
2. 已知幂函数 ，则 ( )
A. 8 B. 2 C. 4 D.
3. 函数 的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
4. 如图,有三个相同的正方形相接,若 , 则 ( )
A. B.
C. D.
5. 设 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 ( )
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
6. 设非零向量 的夹角为 若 ，且不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的最小正周期为 ,且 ,若 在 上有且只有三个最值点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
高一数学 4-1
8. 已知函数 若 有 9 个不同的实数根，则 的范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是( )
A. 不等式 的解集是
B. 函数 的最小值为 2
C. 若正实数满足 ,则 的范围为
D. 已知 ,则
11. 已给出定义: 若 (其中 为整数),则 叫做离实数 最近的整数,记作 . 设函数 ，则下列命题正确的是( )
A. 函数 为 的增函数 B. 函数 为偶函数
C. 函数 的最大值为 D. 函数 有无数个解
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 满足 ，则 _____.
13. 设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是_____.
14. 已知函数 ,若对任意的 ,总存在 ,使得 成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设关于 的不等式 的解集为 ,集合 .
(1)求集合 及 ；
(2)若 是 的充分不必要的条件，求实数 的取值范围.
16.(本小题 15 分)
已知函数 的图象如图所示,点 为函数 的图象与 轴的一个交点,点 为函数 图象上的一个最高点,且点 的横坐标为 ,点 为函数 的图象与 轴的一个交点.
(1)求函数 的解析式及单调递增区间；
(2)把 的图象向左平移 个单位，再把得到曲线上各点横坐标扩大到原来 3 倍,得到函数 的图象, 求 在区间 上的值域.
17.(本小题 15 分)
已知 .
(1)当 时，求使 成立的 的集合；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
如图， ， 是两条互相平行的直线，点 ， 分别在 ， 上， ，点 在线段 上，且
,点 分别在 上,设 .
(1)当 ， 时，
(i) 为等腰直角三角形,求 的值.
(ii) 设 的面积为 ,求 的最小值.
(2)当 ， 时，设 的周长为 ，求 的最小值.
19. (本小题 17 分)
已知函数
(1)若 的定义域为 ，求 的值.
(2)当 时，是否存在 ，使得 在 内存在最大值，且最大值大于 2 ？若存在， 求出 的值; 若不存在,说明理由.
(3)若 在 上单调，求 的最小值.
2026 年 4 月高一年级训练卷 高一数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C B C D B D ABD ACD ACD
1.【答案】
,所以与 方向相同的单位向量是 ,选
2.【答案】
由幂函数的定义,知 ,解得 ,所以 ,则 . 故选 .
3.【答案】C
函数 的定义域为 , 函数 在 上都单调递增,则函数 在 上单调递增, 而 ,所以函数 零点所在的一个区间是 .
4.【答案】B
设正方体边长为 1,由图可得 , 则 且 ，所以 .
5.【答案】C
因为 是定义在 上的奇函数,且当 时, , 所以 所以 .
6.【答案】D
由题意,非零向量 的夹角为 ,且 ,则 . 因为不等式 对任意 恒成立, 所以 ,即 ,整理得 恒成立. 因为 ,所以 即 可得 .
7.【答案】B因为 ,所以 ,故 , 故 ，即 ，因为 ，所以 ，故 ， 当 时， ，要想 在 上有且只有三个最值点，
则要 ,解得 ,即 的取值范围是 ,
8.【答案】D
将函数 的图象沿 轴对称并将 轴下方部分翻折到 轴上方,
即可得到 的图象; 对于 ,最小正周期为 ,
故 上有 4 个周期,令 ,则可得 图象的对称轴为 , 由此作出函数 的图象,如图, 当 时,由图可知 ,当 时, , 取其他值时, ,故 正确;
9.【答案】
由 ,得 ,则 ; 由 ，两边平方可得， ，则 ，故 对； , 则 , 所以 ,故 C 错; 联立 ，解得 ，则 ；所以 ，故 正确。
10.【答案】
对于 ,则, ,解得 ,故不等式的解集为 ,故 对; 对于 ,令 ,函数 在 是增函数, 则 ，故 B 错；
C. 由正实数满足 ,且仅当 时,等号成立,则 ,解得 或 (舍),所以 ,故 的范围为 ,故 对;
D. 由 ，则 ，所以 ，D 对.
11.【答案】
由题意可得 ,即 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,
画出图像,由 是将 在 轴下方的图像翻折上去,
可以判断函数 在 不断上升，满足在 递增，所以 正确；
由函数 图像可得 ，即 ，则 不是偶函数，所以 错误；
当 ,由图像可得 ,所以选项 正确;
画出 与 在 轴右侧图像有交点,令 ,
当 时, ,
,即 ,根据零点存在定理, 时,
一定有零点,故函数 有无数个解,所以选项 正确.
12.【答案】1
,又 ,
13.【答案】
函数 在 上单调递增,而函数 在区间 上单调递减, 则有函数 在区间 上单调递减，
因此 ,解得 ,所以 的取值范围是
14.【答案】(-2,4)
若对任意的 ,总存在 ,使得 成立,
则 ,其中 ,
因为 是增函数, 在 上单调递减,
所以函数 在 上单调递减, ,所以 ,解得 .
15.【答案】 (1) ,
即 ,解得 ,
所以不等式的解集 ; .3 分
或 .5 分
故 .6 分
(2)若 是 的充分不必要的条件，则 , .9 分所以 ,解得 . .13 分
16.【答案】 (1) 由函数 的部分图象可知,函数 的周期 ,可得 ,由五点画图法可知 ,所以 ,
因为 ,所以 ,故 , 3 分
又由 ,可得 , .4 分
即函数 的解析式为 ; .5 分
由 , .6 分
解得: ,
所以 的单调递增区间为 ; .8 分
(2)把 的图象向左平移 个单位，再把得到曲线上各点横坐标扩大到原来 3 倍，
可得 ， 10 分
当 时, ,所以 ,
所以 ,故 在区间 上的值域为 . 15 分
17.【答案】 (1) 由题知, ,即解不等式 ,
当 时,不等式显然不成立; .2 分
当 时,即解 ,解得 或 ,又因 ,所以 , 4 分
当 时,即解 ,解得 ,又因 ,所以 , .6 分
综上所述, . .7 分
(2)由题知， 在 上恒成立，即 在 上恒成立， .8 分
即 在 上恒成立, 10 分
即 与 在 上恒成立. 12 分
函数 在 的最大值为 0,所以 ; 13 分
函数 在 的最小值为 4,所以 ; .14 分
综上所述， . .15 分
18.【答案】 (1)当 时,
(i) 因为 为等腰直角三角形, ,所以
过点 作 ,垂足为 ,则 .1 分
所以 .3 分
由 ,得 ,则 ; 4 分
(ii) 因为 ,所以 .5 分
由 (1) 可知 ,则 .6 分
因为 ,所以 , 8 分
当且仅当 时即 ,等号成立,则 , 9 分
故 的最小值为 4,此时 .10 分
(2)当 时，
.12 分
所以 , .13 分
令 , .15 分
则 , 16 分
所以 时, 的最小值为 ; .17 分
19.【答案】 (1) 由题可知, 的解集为 ,
所以 1 和 2 是方程 的两根, .2 分
由韦达定理得 ,即 .3 分
(2)当 时, ,要使 在 内存在最大值大于 2, .5 分
只需函数 的最大值大于 , .6 分
则 ,即 ,无实数解, .8 分
故不存在实数 ,使得 在 内存在最大值,且最大值大于 2 .9 分
(3)若 在 上单调，记 ，
则由复合函数单调性可知,函数 在 上单调,且 在 上恒成立 10 分
则 或 , .12 分
① 当 时， ，
此时 , .14 分
当且仅当 时,等号成立;
② 当 时, ,
此时 ,当且仅当 时,等号成立. .16 分
综上, 的最小值为 . .17 分