重庆西南大学附中2025-2026学年下学期高二数学4月定时检测试卷（含答案）

西南大学附中高 2027 届高二下 4 月定时检测 数学试题
(满分:150 分；考试时间:120 分钟)
2026 年 4 月
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上；
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；谷非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效:保持答卷清洁、完整；
3. 考试结束后，将答题卡交回 (试题卷学生留存，以备评讲)。
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 直线 经过点 ,则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知 是函数 的导函数， ，则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知数列 是首项为 4,公比为 的等比数列,若 成等差数列,则 ( )
A. 4 B. 8 C. -4 D. -8
4. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线交椭圆于 、 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 某校组织包含甲在内的 7 名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛, 每场比赛至少有 2 名学生观看且每个人只观看一场比赛, 则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为( )
A. 420 B. 600 C. 840 D. 960
7. 在平面直角坐标系 中,已知点 ,若直线 上存在点 使得 ,则 的取值可能为( )
A. B. 0
C. D. 1
8. 已知函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等差数列 的前 项和 存在最小值,且 ,则下列说法正确的是(
A. 首项 B.
C. 当 时, 取得最小值 D. 时, 最小为 19
10. 某校计划安排五位老师(包含甲、乙、丙)负责 2026 年 5 月 1 日至 5 月 5 日的值班工作， 每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是( )
A. 若甲、乙必须在相邻的两天值班, 则不同的安排方法共有 48 种
B. 若甲、乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有 72 种
C. 若甲、乙、丙三人值班的先后顺序不变(不一定相邻)，则不同的安排方法共有 60 种
D. 若甲 5 月 1 日不值班，乙 5 月 5 日不值班，则不同的安排方法共有 78 种
11. 已知函数 ，则下列选项正确的有( )
A. 函数 有唯一零点
B. 若方程 有两个实数解,则实数 的取值范围为
C. 若 对任意 恒成立,则实数 的取值范围为
D. 记 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 在点 处的切线方程是_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 在第一象限的交点为 ，若 ，则直线 的斜率为_____.
14. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 , 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 ,当 时, 有极小值 0 .
(1)求实数 、 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
16. (15 分) 已知 是数列 的前 项和, .
(I) 求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
17. (15 分) 如图,在三棱锥 中, 与 均是边长为 的等边三角形,平面 平面 是棱 上的动点.
(1) 证明: ；
(2)若平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
18.(17 分)已知椭圆 的离心率， ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 的直线 交椭圆于 两点， 交椭圆于 两点,弦 的中点分别为 .
(i) 当 时,求弦长 ;
(ii) 当 时,求 面积的最大值.
19. (17 分)已知函数
(1) 讨论 的单调性;
(2)当 时,若对任意 ，求 的取值范围；
(3) 证明: 对任意 .
西南大学附中高 2027 届高二下 4 月定时检测 数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
1-8: BDAC BADA
7. 令 ,由 得, ,由题意,直线 圆 有公共点,则 ,解得 . 选 .
8. 由题意， 有两个变号零点，由 得: 或 .
① 当 时， 有唯一解，记为 ，且 ，
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, 有两个极值点 ,满足题意;
② 当 时，若 ， ， 单调递减，
若 ， ， 单调递增，此时 只有一个极值点 0，不满足题意；
③ 当 时， 有两相异实根，记为 ，且 ，当 时， 单调递减,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 有三个极值点 , ,不满足题意;
综上所述,实数 的取值范围为 .
二、多项选择题
9. 10. ABD 11.ACD
11. 选项 时, 递增; 时, 递减.
正确.
选项 时, 递增;
时, 递减. ,
当 时, ; 当 时, ,故 错误.
选项 由直线 在函数 图象的非下方,设直线 与 图象在 处相切。则有 解得 或 ,结合图象得 ， 正确.
选项 ,令 时, 递增, 时, 递减,
.
在 上递减,
正确.
三、填空题
12.
14. 当 时, ,结合 ,①
当 时,有 ②
①-②得， ，
此时 ,
也符合该式, .
若 为奇数,有 ,变形可得 ,
当 时, 取得最大值-2,则 ,
若 为偶数,有 ,变形可得 ,
当 时, 取得最小值 15,则有 ,
综上所述， ，即 的取值范围为 .
四、解答题
15. (1) , 1 分
由题意 , 3 分
即 解得 , 5 分
经检验,满足题意,所以 . 6 分
(2)由(1)知， 时， 在 单调递减，(1,3)单调递增， 9 分
,所以 时, . 13 分
16. (1)当 时， ，解得 ， 1 分
当 时， 2 分
结合 ,两式相减得 ,即 3 分
所以 , 5 分
则数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
(2) 由 得 , .8 分
,
则 . 10 分
两式相减得
11 分
, 13 分
化简得 . 15 分
17. (1) 取 中点 ,连接 ,同理 ,
是二面角 的平面角,
又 面 面 , -2 分
由题意 ,则 ,
由 得 , 4 分
在直角 中,由 ,得 ,
. 6 分
(2)由(1)可知， ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系,则
设 ,则
设面 的一个法向量为 ，由 得
,得 , 9 分
取 的一个法向量为 , 10 分
由题意得 ,解得 , 12 分
故 .
记点 到面 的距离为 ,则 . 15 分
18. (1) 由已知得 ,解得 ,所以椭圆 的标准方程为 .
5 分
(2)(i)当 时，直线 的方程为 ， 6 分
联立 和椭圆 的方程,消 得: , 7 分
设 ,则 . 8 分
·10分
(ii) 由题意得 ,且 异号,不妨设 ,则 ,设直线 的方程为: ,与椭圆 的方程联立,消 得: ,
则 , 11 分用 替换上式中得 得: , 12 分注意到 ,则线段 的中点为定点,记为 ,则 . 14 分 16 分当且仅当 ,即 时等号成立,所以 面积的最大值为 .
17 分
19. ,
当 时, 恒成立, 在 上单调递增; 2 分当 时,由 ,
故 在 单调递减， 单调递增， 5 分
综上所述， 时， 在 上单增； 时， 在 单减， 单增.
(2) 令 ，由题意， 时， 恒成立，
则 ;
当 时, 在 单调递增, ,
① 当 时， 在 恒成立， 单增，则 ，满足题意；
8 分
② 当 时， 时， ，且 ， ,使 ,当 时, 单调递减,
此时 ,不满足 恒成立, 11 分综上,所求 的取值范围为 .
(3) 证明: 由 (2) 知, 时, 时, ,即 ,即 , 令 ,则 ,
, ,
累加得: ,整理得 ,
得证. 17 分