2025-2026学年下学期湖南长沙市雅礼中学高三数学4月月考八（含解析）

高三数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 函数 的零点所在的区间是
A. B. C. D.
3. 已知复数 ,其中 为虚数单位,若 ,则
A. B. C. D.
4. 设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 “ 与 相交” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 是等差数列, ,则 的第 60 百分位数是
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 设点 ,若直线 与线段 没有交点,则实数 的取值范围是
A. B
C. D.
7. 甲、乙两个扇形的半径相等、圆心角之和为 3 弧度,扇形面积分别为 和 ,周长分别为 和 . 若 ,则
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥 的四个顶点在球 的表面上， ， ， ，点 在底面的射影在直线 上，则当球 的体积最小时，点 到底面 距离的最大值为
A. B 1 C.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分、有选错的得 0 分.
9. 设 分别是双曲线 的左、右焦点,过 作 轴的垂线与 交于 两点, 若 的周长为 12,则下列选项正确的是
A.
B C 的焦距为
C. 的离心率为
D. 的面积为
10. 下列命题正确的是
A. 若样本数据 的方差为 2 ,则数据 的方差为 4
B. 若 ,则
C. 在一组样本数据 不全相等 的散点图中. 若所有样本点 都在直线 上,则这组样本数据的线性相关系数为
D. 以模型: 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得经验回归方程为 ,则 的值分别是 和 4
11. 在 中,角 的对边分别为 ,且 ,则下列说法正确的是
A. 为钝角三角形
B.
C. 若 为边 的中点，则 的取值范围为
D: sin
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 ,当 取得最大值时, 的值是_____.
13. 已知 ,当 取得最大值时, 的值是_____.
14. 记 表示 中最大的数,已知 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和 ( 为参数).
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 90 项和.
注意: 这里 表示角度,
16.(本题满分 15 分)
2026 年 2 月, 雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动, 来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等. 宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了 10 所不同的大学，各场的大学均不相同.
(1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的 10 所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同,则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少
(2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宜讲中选择两场参加，设共有 个人参加了第一场宣讲活动,求 的分布列和数学期望.
17. (本题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求 ；
(2)已知 ，函数 ，当 时，求 的最小值 .
18.(本题满分17 分)
已知平面直角坐标系内动点 到定点 的距离比 到 轴的距离大 1,且点 不在 轴左侧,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 在直线 上,过点 作曲线 的两条切线,切点分别为点 ,求直线 的斜率;
(3)在(2)的条件下,设点 ,试判断抛物线上是否存在点 ,使得 到点 , 的距离均相等,请说明理由.
19. (本题满分 17 分)
如图，锐二面角 的大小为 ， 均为半平面， ， ，过 作 垂直于 ，垂足为 ,过 作 垂直于 ,垂足为 ,且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)在(1)的条件下，设 为 内任意一点，且 ，满足 ， ，求点 到 的距离；
(3)设点 为二面角 内部的一个点，且 ， ，且点 满足:
① ；
② 射线 与 所成的角为 ，射线 与 所成的角为 .
设点 到直线 的距离为 ,若对满足上述条件的任意 和 ,均有 恒成立, 求 的最小值.
高三数学参考答案
一、二、选择照
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 C C A C C D B D ACD BD ΛCD
1.C ,又因为 ,所以 . 故选 .
2.C 由题意可得函数的定义域为 ,且在定义域内单调递增, ,又函数 在区间 上的图象是连续不断的曲线,则函数 在区间 上存在零点,故选 .
3. A 由题可得 ,所以 ,故 ,所以 . 故选:A.
4. C 与 相交时, 与 不垂直,得出 ,充分性成立; 时,得出 与 不垂直,所以得出 与 相交,必要性成立. 所以 “ 与 相交” 是 “ 的充要条件,故选:C.
5. C 由 ,得 ,即 。设等差数列公差为 ,则 ,即 ,解得 ,则等差数列通项公式为 ,因为 ,所以第 60 百分位数是第 7 项 . 故选:C.
6. 直线 恒过点 ，且斜率为 ， ,由图可知 且 , ,故选:D.
7. B 根据题意，甲、乙两个扇形的半径相等、设为 ,
并设甲、乙两个扇形的圆心角分别为 ,弧长分别为 ,
根据 ,解得 ,
所以 ,可得 . 故选: B.
8. D 当球 的体积最小时,球的直径为 ,故半径 ,因为点 在底面的射影在直线 上,故平面 上平面 ，故点 在以 为直径的圆上，故点 到底面 距离的最大值为该圆的半径，即 ，故选:D.
9. ACD 已知双曲线 ，因为 ， ，所以 ，
设 代入双曲线方程，解得 ，所以 ，即 ，
又由双曲线定义可知， ，所以 ，同理 ， 对于 的周长为 ,
所以 正确;
对于 ，焦距为 . 错误！
对于 ,离心率为 , 正确;
对于 正确; 故选: ACD.
10. A选项:若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 4、故 错误；
B选项:若 ,则 ,
,则 ,故 B 正确;
C 选项: 在一组样本数据 不全相等) 的散点图中,若所有样本点 都在直线 上，其中 是线性回归方程的一次项系数。相关系数为 -1，相关系数是朗画一组数据线性相关程度一个量，范围是 ，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系， 故 错误;
D选项:以模型 去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设 ,则 , 由题线性回归方程为 . 则 故 的值分别是 和4,4以 正确。故选:BD.
11. ACD A 选项 1 因为 ，所以 ，故 为钝角， 为钝角三角形，故 A 正确。
B选项:2 ,故 B 错误;
C. 选项:法 为坐标原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系，设 ， ， ，
则 ,可得 ,
化简得 ,故 在以 为圆心,1 为半径的圆上,又 在圆 内,
则 ,即 ,
法 设 ,根据中线定理有 ,
又 ,代入得 ,
又 ,故 ,则 ,
解得 。故 . 故 ，即 ，故 正确；
D选项: ,
法 1:设 到边 的距离为 ，由 ，选项知 ，即 ，故 正确。
法 2: ,
代入余弦定理可得 ,故 D 正确，故选:ACD.
三、填空题: 本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.252 因为 的展开式共有 9 项，所以 ，展开式的通项为 ,其中 ,取 ,可得 ,所以展开式中含 的项的系数为 252,
13.2 因为 ,所以 ,所以当 时, 取得最大值 4,所以 .
14. 令
则有
从而 ，
由绝对值不等式 知
其中 ,故 ,
当且仅当 时取等，此时 .
四、解答题:本题共 5 小题. 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(1)由题知 ,
因为 为等差数列，故 ，即得 ，故 ，公差 ，
从而 ,故数列 的通项公式为 . 6 分
(2)设 ，
故求数列 的前 90 项和,即求 的值,
又 .
故 ,
因为 ,故 ,故 ,
故数列 的前 90 项和为 . 13 分
16.(1)设事件 中、 所选的大学不同. 事件 丙与甲、乙的选择均不同.
则 ,
故 . 5 分
(2)由题知 ，
则 .
13 分
故 的分布列如下表:
0 1 2 3
1
法 的数学期望 . 15 分
法 每一个人参加第一场宜讲活动的概率为 ,则 . 15 分
17.(1) 因为 ,故 ,
故 ,解得 ,故 ,
故 . 4 分
(2)由(1)知 ,故 ,
故 ,
当 时, ,故 在 上单调递减; 6 分
当 时,令 ,解得 ,
若 ,即 时, ,故 在 上单调递增; 8 分
若 ,即 时, ,故 在 上单调递减; 10 分
若 ,即 时,当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递减，在 上单调递增. 12 分
综上所述,当 时, ;
当 时,
当 时, .
故 15 分
18.(1)设 ，则 ，由题设知: ，
即 ,即 ,
故曲线 的方程为 . 4 分
(2)设 ，
设直线 直线
联立 可得 ,
故 。化简得 ,且 ,
同理可得 ,
故 是方程 的两个不等实根,则 ,则 ,
所以直线 的斜率 . 9 分
(3)法1:设直线 的方程为 ，
联立 可得 ,则有 ,可得 ,
且 ,则 , 11. 分
所以线段 的中点 ，则 的中垂线为 ， 12 分
设 ,则 ,①
又 ,则 ,②
根据弦长公式得 ,
代入②式得 ，
化简得 ，③ 14 分
根据①③可得 ，化简得 。
故点 在双曲线 上，
联立 ,则 ,方程无解:
故不存在这样的点 到点 的距离均相等. 17 分
法 设 ，则 在 以 为圆心的圆上，设 ，
代入点 ，可得 ，
故 ,展开得 ,
设直线 的方程为 ,
联立 ,
联立 .
则方程 与 的解相同，
则有 .
从而有
将①代入②得 ，
即 ，故点 在双曲线 上，
联立 . 则 . 方程无解.
故不存在这样的点 到点 的距离均相等. 17 分
19.(1)因为 .
故 .
. 解得 ,故 . 4 分
(2)以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则 ， ， ，
因为 ,所以 的一个法向量为 .
设 ,则 ,故 ,
(这里也可以写: 因为 ,故 . 故 )
从而 ,即 ,①
,
即 .②
由①②可得 ，代入①③可得 ，故 ，
从而点 到 的距离为 . 9 分
(3) 同(2)建系。设 ，因为 ，则 .
又点 到直线 的距离为 ,则 .
因为 的一个单位法向量为 的一个单位法向量为 。
则 ,
因为点 为二面角 内部的一个点,
故 . 故 .
从而 ,从而有
代入 可得 .
即 ,
又 ,
故 .
又因为 ,
故 . 13 分
法 1:因为任意 和 . 均有 恒成立，
一方面:必有当 ，即 时，不等式成立，
此时 .
化简得 ,解得 ,故必有 . 15 分
另一方面:当 时, ,
故 恒成立,符合题意.
根据最值定义知, 的最小值为 .
此时 . 17 分
法 2:① 因为 ，故 恒成立，
即 恒成立,
即 ,
即 .
又因为 ,故 . 15 :
②因为任意 和 . 均有 恒成立。
由①知 ,故当 . 即 时, 取最小值.
即最小值为 .
故 . 化简得 . 解得 .
综上所述: 的最小值为 . 此时 . 17 j