青海省西宁市2025-2026学年下学期高二数学4月第一次阶段检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 青海省西宁市2025-2026学年下学期高二数学4月第一次阶段检测（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段 高二数学
考生注意
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第二册第五章。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则
A. -5 B. -1
C. 1 D. 5
2. 已知函数 ,则 从 1 到 的平均变化率为
A. 2 B.
C. D.
3. 函数 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
4. 函数 的最大值是
A. -9 B. 0
C. D. 3
5. 已知函数 ,则
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
6. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
A
B
C
D
7. 已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ，则
A. B.
C. D.
8. 若函数 在区间 上有 2 个零点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下面导数运算正确的是
A. B.
C. D.
10. 设 是函数 的导函数，下列将 和 的图象放在同一个直角坐标系中,其中可能正确的是
A
B
C
D
11. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A. B. 当 时,
C. 当且仅当 D. 是 的极大值点
26-T-523B
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 一作直线运动的质点的位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ,则该质点在 时的瞬时速度为_____ .
13. 若直线 是曲线 的切线，则 _____.
14. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,且 .
(1)求 的值；
(2)求曲线 在 处的切线方程.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)求 的极值及在 上的值域.
17. (本小题满分 15 分)
将一条长为 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
18. (本小题满分 17 分)
给定函数 .
(1)判定函数 的单调性，并求出 的极值;
(2)画出 的大致图象；
(3)求出方程 的解的个数.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 .
(1)证明: 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 ， 分别为 在区间 的极值点和零点.
(i) 设函数 ,证明: 在区间 单调递减;
(ii) 比较 与 的大小,并证明你的结论.
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段检测 · 高二数学 参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 .
2. 函数 从 1 到 的平均变化率为 . 故选 B.
3. A 函数 的定义域为 ,令 ,得 ,即 的单调递增区间为 . 故选 A.
4. C 因为 ,所以 ,令 ,得 ,令 , 得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 的最大值是 . 故选 C.
5. B 由题意得 ，所以 ，所以 . 故选 B.
6.C 考查四个选项, 横坐标表示时间, 纵坐标表示的是距学校的距离, 由此知, 此函数图象一定是下降的, 由此排除 A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与 轴平行，由此排除 D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快,由此可确定 正确, 不正确. 故选 .
7. B 令 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 . 故选 B.
8. 由 ,得 ,令 ,得 ,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以 时, 取到极大值 ,又 在区间 上有 2 个零点,所以 且 ,解得 ,即 的取值范围是 . 故选 D.
9.BC 由导数的运算公式,得 ,故 AD 错误, BC 正确. 故选 BC.
10. ABC 对于 A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故 A 正确；对于 B，有可能 轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正， 符合要求，故 B 正确；对于 ，有可能 轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正,符合要求,故 C 正确; 对于 ,无论谁作导函数,谁作原函数,都无法同步,故 错误. 故选 ABC.
11. ABD 因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 正确; 当 时, 正确; 错误; 当 时, ,则 ,令 ,得 在 上单调递增; 令 ,得 在 上单调递减,所以 是 的极大值点, D 正确. 故选 ABD.
12.3 由题意得 ，所以 ，即该质点在 时的瞬时速度为 .
13.4 解法一: 对于 ,其导数为 ,因为直线 是曲线的切线,直线的斜率为 2,令 ,即 ,解得 ,将 代入切线方程 ,可得 ,所以切点坐标为 ,因为切点 在曲线 上,所以 ,即 ,解得 .
解法二:对于 ,其导数为 ,假设 与 的切点为 ,则
14. 由 ,得 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,即 ,又 在 上的最小值为 -3,所以 ,即实数 的取值范围是 .
15. 解: (1) 由 ,得 , 3 分
因为 ，所以 ，解得 . 6 分
(2)由(1)，得 ，所以 ， 8 分
由 ,得 , 10 分
所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 . 13 分
16. 解: (1) 由题意得 的定义域为 , 1 分
,当且仅当 时等号成立, 4 分
所以 的最小值为 . 6 分
(2)由(1)知 . 7 分
令 ,得 ,或 ,令 ,得 ,
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 , 10 分
所以 在 处取得极大值,在 处取得极小值, 11 分
所以 的极大值为 ,极小值为 , 12 分
又 , 13 分
显然 ,所以 在 上的值域为 .
15 分
17. 解: 设一个正方形的边长为 ,则另一个正方形的边长为 , 2 分
两个正方形的面积和 ,则 ,
时 , 6 分
故当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 9 分
当 时, 的极小值也是最小值为 ,此时另一个正方形的边长也为 .
综上,当两段铁丝的长度都为 时,它们的面积和最小. 15 分
18. 解:(1)函数 的定义域为 ，求导得 ， 1 分由 ,得 ,
当 时, ,当 时, ,
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值 ,无极大值, 4 分
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 极小值为 ,无极大值.
6 分
(2)由(1)知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 7 分
由 ,得 ,又 ,因此函数 的图象过点 , 8 分
当 时, 恒成立,当 时, ,而函数 在 的取值集合为 ,
于是函数 在 的值域为 , 9 分
在坐标平面内作出函数 的图象,如图所示.
11 分
(3)方程 的解,即为直线 与函数 图象交点的横坐标, 13 分
由 (2) 知,当 时,直线 与函数 的图象没有交点;
当 时,直线 与函数 的图象有 2 个交点;
当 或 时,直线 与函数 的图象有 1 个交点,
所以当 时, 没有解; 当 时, 有两个解; 当 或 时, 有一个解. 17 分
19. ( 1 )证明:因为 ，
所以 . 1 分
当 时,令 ,得 .
所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 在 上存在唯一的极值点. 3 分
又因为 (对函数 ,有 在 上恒成立,所以 在 上单调递减,又 时, ,所以 在 上恒成立),
所以 ,
即 在 上存在唯一的零点. 6 分
(2)(i)证明:由(1)知 ，因为 ，
所以
9 分
因为 ,所以 ,
所以 ,即 在 上单调递减. 12 分
(ii)解:由(i)知， 在 上单调递减，
所以 ,即 ,所以 . 14 分
因为 是 的零点,所以 ,所以 ,
又因为 ,且 在 上单调递减, 16 分
所以 . 17 分
考生注意
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第二册第五章。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则
A. -5 B. -1
C. 1 D. 5
2. 已知函数 ,则 从 1 到 的平均变化率为
A. 2 B.
C. D.
3. 函数 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
4. 函数 的最大值是
A. -9 B. 0
C. D. 3
5. 已知函数 ,则
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
6. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
A
B
C
D
7. 已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ，则
A. B.
C. D.
8. 若函数 在区间 上有 2 个零点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下面导数运算正确的是
A. B.
C. D.
10. 设 是函数 的导函数，下列将 和 的图象放在同一个直角坐标系中,其中可能正确的是
A
B
C
D
11. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A. B. 当 时,
C. 当且仅当 D. 是 的极大值点
26-T-523B
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 一作直线运动的质点的位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ,则该质点在 时的瞬时速度为_____ .
13. 若直线 是曲线 的切线，则 _____.
14. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,且 .
(1)求 的值；
(2)求曲线 在 处的切线方程.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)求 的极值及在 上的值域.
17. (本小题满分 15 分)
将一条长为 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
18. (本小题满分 17 分)
给定函数 .
(1)判定函数 的单调性，并求出 的极值;
(2)画出 的大致图象；
(3)求出方程 的解的个数.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 .
(1)证明: 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 ， 分别为 在区间 的极值点和零点.
(i) 设函数 ,证明: 在区间 单调递减;
(ii) 比较 与 的大小,并证明你的结论.
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段检测 · 高二数学 参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 .
2. 函数 从 1 到 的平均变化率为 . 故选 B.
3. A 函数 的定义域为 ,令 ,得 ,即 的单调递增区间为 . 故选 A.
4. C 因为 ,所以 ,令 ,得 ,令 , 得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 的最大值是 . 故选 C.
5. B 由题意得 ，所以 ，所以 . 故选 B.
6.C 考查四个选项, 横坐标表示时间, 纵坐标表示的是距学校的距离, 由此知, 此函数图象一定是下降的, 由此排除 A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与 轴平行，由此排除 D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快,由此可确定 正确, 不正确. 故选 .
7. B 令 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 . 故选 B.
8. 由 ,得 ,令 ,得 ,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以 时, 取到极大值 ,又 在区间 上有 2 个零点,所以 且 ,解得 ,即 的取值范围是 . 故选 D.
9.BC 由导数的运算公式,得 ,故 AD 错误, BC 正确. 故选 BC.
10. ABC 对于 A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故 A 正确；对于 B，有可能 轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正， 符合要求，故 B 正确；对于 ，有可能 轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正,符合要求,故 C 正确; 对于 ,无论谁作导函数,谁作原函数,都无法同步,故 错误. 故选 ABC.
11. ABD 因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 正确; 当 时, 正确; 错误; 当 时, ,则 ,令 ,得 在 上单调递增; 令 ,得 在 上单调递减,所以 是 的极大值点, D 正确. 故选 ABD.
12.3 由题意得 ，所以 ，即该质点在 时的瞬时速度为 .
13.4 解法一: 对于 ,其导数为 ,因为直线 是曲线的切线,直线的斜率为 2,令 ,即 ,解得 ,将 代入切线方程 ,可得 ,所以切点坐标为 ,因为切点 在曲线 上,所以 ,即 ,解得 .
解法二:对于 ,其导数为 ,假设 与 的切点为 ,则
14. 由 ,得 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,即 ,又 在 上的最小值为 -3,所以 ,即实数 的取值范围是 .
15. 解: (1) 由 ,得 , 3 分
因为 ，所以 ，解得 . 6 分
(2)由(1)，得 ，所以 ， 8 分
由 ,得 , 10 分
所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 . 13 分
16. 解: (1) 由题意得 的定义域为 , 1 分
,当且仅当 时等号成立, 4 分
所以 的最小值为 . 6 分
(2)由(1)知 . 7 分
令 ,得 ,或 ,令 ,得 ,
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 , 10 分
所以 在 处取得极大值,在 处取得极小值, 11 分
所以 的极大值为 ,极小值为 , 12 分
又 , 13 分
显然 ,所以 在 上的值域为 .
15 分
17. 解: 设一个正方形的边长为 ,则另一个正方形的边长为 , 2 分
两个正方形的面积和 ,则 ,
时 , 6 分
故当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 9 分
当 时, 的极小值也是最小值为 ,此时另一个正方形的边长也为 .
综上,当两段铁丝的长度都为 时,它们的面积和最小. 15 分
18. 解:(1)函数 的定义域为 ，求导得 ， 1 分由 ,得 ,
当 时, ,当 时, ,
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值 ,无极大值, 4 分
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 极小值为 ,无极大值.
6 分
(2)由(1)知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 7 分
由 ,得 ,又 ,因此函数 的图象过点 , 8 分
当 时, 恒成立,当 时, ,而函数 在 的取值集合为 ,
于是函数 在 的值域为 , 9 分
在坐标平面内作出函数 的图象,如图所示.
11 分
(3)方程 的解,即为直线 与函数 图象交点的横坐标, 13 分
由 (2) 知,当 时,直线 与函数 的图象没有交点;
当 时,直线 与函数 的图象有 2 个交点;
当 或 时,直线 与函数 的图象有 1 个交点,
所以当 时, 没有解; 当 时, 有两个解; 当 或 时, 有一个解. 17 分
19. ( 1 )证明:因为 ，
所以 . 1 分
当 时,令 ,得 .
所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 在 上存在唯一的极值点. 3 分
又因为 (对函数 ,有 在 上恒成立,所以 在 上单调递减,又 时, ,所以 在 上恒成立),
所以 ,
即 在 上存在唯一的零点. 6 分
(2)(i)证明:由(1)知 ，因为 ，
所以
9 分
因为 ,所以 ,
所以 ,即 在 上单调递减. 12 分
(ii)解:由(i)知， 在 上单调递减，
所以 ,即 ,所以 . 14 分
因为 是 的零点,所以 ,所以 ,
又因为 ,且 在 上单调递减, 16 分
所以 . 17 分
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