2025-2026学年下学期安徽天一大联考高二数学4月联考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期安徽天一大联考高二数学4月联考试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
高二 4 月数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 若函数 的导函数为 ,且 ,则
A. 0 B. C. D.
2. 在空间四边形 中, 分别为线段 的中点,则
A. B. C. D.
3. 设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 的离心率为 2,则 轴正半轴上到 的渐近线距离为 2 的点的横坐标为
A. B. 4
C. D.
5. 函数 的最小值为
A. B. C. D. e
6. 已知正项等比数列 的公比为 ,前 99 项和为 ,数列 的前 99 项和为 , 则数列 的前 99 项和为
A. B. C. D.
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 已知点 是椭圆 上的动点,则 的最大值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的导函数 在 上的图象如图所示,则下列说法正确的是
A. 在 上单调递减 B. 当 时, 取得极大值
C. 当 时, 取得极小值 D. 是 在 上的最大值
11. 若数列 满足:存在正整数 ，使得 时恒有 ( 为常数)，则称数列 为 “ 阶等和数列”,其中 为该数列的“阶和”. 已知无穷数列 是 “ 3 阶等和数列”, , ,且 “阶和” ,记数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是
A.
B. 存在正整数 ,使得
C. 存在无穷多个正整数 ,使得
D. 当 ,且 的前 项和为 2026 时,
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 曲线 在 处的切线方程为_____.
13. 已知圆 的圆心在直线 上,若直线 与 被圆 所截得的弦长均为 2，则圆 的标准方程为_____.
14. 已知数列 的前 项和 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知直线 .
(1)若直线 与 垂直，求 的值；
(2)若直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，求证: .
16. (15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 与 ；
(2)若 ，求 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在直三棱柱 中，侧面 是边长为 3 的正方形， 为 的中点， ,点 满足 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最小值；
(2)讨论 的零点个数；
(3)若 有两个不同的零点 ，证明: .
19. (17 分)
已知曲线 经过椭圆 的左、右顶点 , ,圆 的圆心为 的一个焦点.
(1)求 的方程，并判断 与 的公共点个数.
(2)若 ，
( i )证明: 上的点都在圆 内;
(ii) 已知圆 与直线 分别交于点 (点 在 轴左侧),点 ),直线 分别与 交于另外一点 ,当 变动时,证明直线 的斜率之积为定值,且直线 过定点.
高二 4 月数学 (A) 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. 答案
由 ,得 ,由 ,得 ,解得 .
2. 答案
因为 分别为线段 的中点,所以 ,因为 ,两式相加,得 ,所以 .
3. 答案
因为 ,所以 ,所以 .
4. 答案
由 的离心率为 2,得 ,得 ,所以 的一条渐近线的方程为 ,设所求点的横坐标为 ,则 ,解得 .
5. 答案 A
由 ,得 . 令 ,得 或 ,当 或 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以 的极小值为 ,又当 时, 且 ,所以 也是 的最小值.
6. 答案
由题知数列 均为等比数列,首项分别为 ,公比分别为 ,
,且 ,设数列 的前 99 项和为 ,则 ,所以 ,所以 .
7. 答案
设 ,则 在 上单调递增,所以 ,即 ,取 ,得 ,即 ; 设 ,则 , 在 上单调递减,所以 ,所以 ,取 ,得 ,即 . 故 .
8. 答案
设椭圆 的左、右焦点分别为 ,由椭圆的定义得 ,设 ,则 ,当点 为线段 的延长线与 的交点时取等号.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 AD
对于 ,易得 不共面,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 共面,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 共面,故 错误;
对于 ,假设 共面,则存在实数 ,使得 ,因为 不共
面,所以 该方程组无解,所以假设不成立,故 正确.
10. 答案
对于 ,由题图可知 时, 单调递减,故 正确;
对于 ,由题图易知 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 -2 时, 取得极大值,当 时, 取得极小值,故 正确;
对于 在 上的最大值应是 与 中的较大者,故 错误.
11. 答案 ACD
对于 ,由题意知 ,两式相减,得 ,故 正确;
对于 ,数列 的前 6 项依次为1,2,3,3,2,1,结合 可知 是周期为 6 的周期数列,其各项依次为 ,故 错误;
对于 ,由对 的分析可得 ,故 正确;
对于 ,易知 ,且 的前 6 项依次为1,0,1,1,0,1,记 的前 项和为 ,则 2026,即 的前 项和为 2026 时, ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
设 ,则 ,所以 ,所以所求切线方程为 , 即 .
13. 答案
两平行直线 均与直线 垂直,且交点分别为 为 的中点,所以 ,点 到直线 的距离 ,所以圆 的半径 ,所以圆 的标准方程为 .
14. 答案
因为 ,当 时, ,得 . 当 时, ,即 , 整理可得 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 . 当 为奇数时, ,当 为偶数时, . 则 的最小值为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由题知直线 的斜率 , (1 分)
设直线 的斜率为 ,则 , (2 分)
因为 ,所以 , (4 分)
解得 . (6 分)
(2)直线 与抛物线 的方程联立，消去 ，得 ， ， (8 分) 设 ,则 , (10 分)
所以 ,
所以 . (13 分)
16. (1) 设 的公差为 .
由 ,得 (2 分)
解得 , (4 分)
所以 , (6 分)
(8 分)
(2)由(1)知 ，
所以 , (11 分)
所以
. (15 分)
17. (1) 如图,连接 .
因为 为 的中点,所以 , (1 分)
因为 ,所以 , (2 分)
所以 ,所以 . (4 分) 因为 平面 平面 ,所以 平面 . (6 分)
(2)在直三棱柱 中， ，
因为 , ,所以 ,所以 ,
所以 两两互相垂直. (7 分)
因为 ，所以 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18.(1) 当 时, ,
易知 在 上单调递增,在 上单调递减, (2 分)
又 ,
所以 在 上的最小值为 . (5 分)
(2)由 ,得 ,
设 ,由题意知 ,则 ,
所以方程 的实根个数就是 的零点个数. (6 分)
设 ,则 .
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,又 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 的最小值为 在 上的取值范围都是 , (10 分) 所以 时,方程 没有实根, 没有零点, 时,方程 有 1 个实根, 有 1 个零点, 时,方程 有 2 个实根, 有 2 个零点. (12 分)
(3) 设 ,则由 ,得 即
两式相减,得 ,整理得 . (14 分)
要证 ,即证 ,
即证 .
因为 ,所以 ,故 ,不等式成立,
即 . (17 分)
19. (1) 由题知圆 的圆心为 ,其是 的一个焦点,所以 ,且 . (1 分) 因为在曲线 的方程 中, ,且 经过 的两个顶点 ,
所以 ,解得 ,故 的方程为 , (2 分)
则 的方程为 . (3 分)
将 与 联立,得 ,
即 ,解得 ,
所以 与 只有 2 个公共点 . (5 分)
(2)(i)由(1)知 的方程为 ，
因为 ,所以 ,即曲线 上的点都在圆 内, (7 分)
圆 是以 为圆心, 为半径的圆,
圆 与圆 的圆心距 ,两圆内切,且圆 在圆 内, (9 分)
所以曲线 上的点都在圆 内. (10 分)
(ii) 由题意,得 .
由 ,得直线 的斜率分别为 , (11 分)
易知 为圆 的直径,则 ,所以 的斜率为 ,
所以 的斜率之积为 ,为定值. (13 分)
易知直线 的斜率不为零,设 ,
与 联立,得 ,
所以 . (14 分)
因为 的斜率之积为 ,
所以
整理得 ,
即 , (16 分)
因为直线 不过点 ,所以 ,
所以 ,代入 ,得 ,
该直线过定点 . (17 分)
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 若函数 的导函数为 ,且 ,则
A. 0 B. C. D.
2. 在空间四边形 中, 分别为线段 的中点,则
A. B. C. D.
3. 设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 的离心率为 2,则 轴正半轴上到 的渐近线距离为 2 的点的横坐标为
A. B. 4
C. D.
5. 函数 的最小值为
A. B. C. D. e
6. 已知正项等比数列 的公比为 ,前 99 项和为 ,数列 的前 99 项和为 , 则数列 的前 99 项和为
A. B. C. D.
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 已知点 是椭圆 上的动点,则 的最大值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的导函数 在 上的图象如图所示,则下列说法正确的是
A. 在 上单调递减 B. 当 时, 取得极大值
C. 当 时, 取得极小值 D. 是 在 上的最大值
11. 若数列 满足:存在正整数 ，使得 时恒有 ( 为常数)，则称数列 为 “ 阶等和数列”,其中 为该数列的“阶和”. 已知无穷数列 是 “ 3 阶等和数列”, , ,且 “阶和” ,记数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是
A.
B. 存在正整数 ,使得
C. 存在无穷多个正整数 ,使得
D. 当 ,且 的前 项和为 2026 时,
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 曲线 在 处的切线方程为_____.
13. 已知圆 的圆心在直线 上,若直线 与 被圆 所截得的弦长均为 2，则圆 的标准方程为_____.
14. 已知数列 的前 项和 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知直线 .
(1)若直线 与 垂直，求 的值；
(2)若直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，求证: .
16. (15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 与 ；
(2)若 ，求 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在直三棱柱 中，侧面 是边长为 3 的正方形， 为 的中点， ,点 满足 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最小值；
(2)讨论 的零点个数；
(3)若 有两个不同的零点 ，证明: .
19. (17 分)
已知曲线 经过椭圆 的左、右顶点 , ,圆 的圆心为 的一个焦点.
(1)求 的方程，并判断 与 的公共点个数.
(2)若 ，
( i )证明: 上的点都在圆 内;
(ii) 已知圆 与直线 分别交于点 (点 在 轴左侧),点 ),直线 分别与 交于另外一点 ,当 变动时,证明直线 的斜率之积为定值,且直线 过定点.
高二 4 月数学 (A) 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. 答案
由 ,得 ,由 ,得 ,解得 .
2. 答案
因为 分别为线段 的中点,所以 ,因为 ,两式相加,得 ,所以 .
3. 答案
因为 ,所以 ,所以 .
4. 答案
由 的离心率为 2,得 ,得 ,所以 的一条渐近线的方程为 ,设所求点的横坐标为 ,则 ,解得 .
5. 答案 A
由 ,得 . 令 ,得 或 ,当 或 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以 的极小值为 ,又当 时, 且 ,所以 也是 的最小值.
6. 答案
由题知数列 均为等比数列,首项分别为 ,公比分别为 ,
,且 ,设数列 的前 99 项和为 ,则 ,所以 ,所以 .
7. 答案
设 ,则 在 上单调递增,所以 ,即 ,取 ,得 ,即 ; 设 ,则 , 在 上单调递减,所以 ,所以 ,取 ,得 ,即 . 故 .
8. 答案
设椭圆 的左、右焦点分别为 ,由椭圆的定义得 ,设 ,则 ,当点 为线段 的延长线与 的交点时取等号.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 AD
对于 ,易得 不共面,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 共面,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 共面,故 错误;
对于 ,假设 共面,则存在实数 ,使得 ,因为 不共
面,所以 该方程组无解,所以假设不成立,故 正确.
10. 答案
对于 ,由题图可知 时, 单调递减,故 正确;
对于 ,由题图易知 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 -2 时, 取得极大值,当 时, 取得极小值,故 正确;
对于 在 上的最大值应是 与 中的较大者,故 错误.
11. 答案 ACD
对于 ,由题意知 ,两式相减,得 ,故 正确;
对于 ,数列 的前 6 项依次为1,2,3,3,2,1,结合 可知 是周期为 6 的周期数列,其各项依次为 ,故 错误;
对于 ,由对 的分析可得 ,故 正确;
对于 ,易知 ,且 的前 6 项依次为1,0,1,1,0,1,记 的前 项和为 ,则 2026,即 的前 项和为 2026 时, ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
设 ,则 ,所以 ,所以所求切线方程为 , 即 .
13. 答案
两平行直线 均与直线 垂直,且交点分别为 为 的中点,所以 ,点 到直线 的距离 ,所以圆 的半径 ,所以圆 的标准方程为 .
14. 答案
因为 ,当 时, ,得 . 当 时, ,即 , 整理可得 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 . 当 为奇数时, ,当 为偶数时, . 则 的最小值为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由题知直线 的斜率 , (1 分)
设直线 的斜率为 ,则 , (2 分)
因为 ,所以 , (4 分)
解得 . (6 分)
(2)直线 与抛物线 的方程联立，消去 ，得 ， ， (8 分) 设 ,则 , (10 分)
所以 ,
所以 . (13 分)
16. (1) 设 的公差为 .
由 ,得 (2 分)
解得 , (4 分)
所以 , (6 分)
(8 分)
(2)由(1)知 ，
所以 , (11 分)
所以
. (15 分)
17. (1) 如图,连接 .
因为 为 的中点,所以 , (1 分)
因为 ,所以 , (2 分)
所以 ,所以 . (4 分) 因为 平面 平面 ,所以 平面 . (6 分)
(2)在直三棱柱 中， ，
因为 , ,所以 ,所以 ,
所以 两两互相垂直. (7 分)
因为 ，所以 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18.(1) 当 时, ,
易知 在 上单调递增,在 上单调递减, (2 分)
又 ,
所以 在 上的最小值为 . (5 分)
(2)由 ,得 ,
设 ,由题意知 ,则 ,
所以方程 的实根个数就是 的零点个数. (6 分)
设 ,则 .
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,又 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 的最小值为 在 上的取值范围都是 , (10 分) 所以 时,方程 没有实根, 没有零点, 时,方程 有 1 个实根, 有 1 个零点, 时,方程 有 2 个实根, 有 2 个零点. (12 分)
(3) 设 ,则由 ,得 即
两式相减,得 ,整理得 . (14 分)
要证 ,即证 ,
即证 .
因为 ,所以 ,故 ,不等式成立,
即 . (17 分)
19. (1) 由题知圆 的圆心为 ,其是 的一个焦点,所以 ,且 . (1 分) 因为在曲线 的方程 中, ,且 经过 的两个顶点 ,
所以 ,解得 ,故 的方程为 , (2 分)
则 的方程为 . (3 分)
将 与 联立,得 ,
即 ,解得 ,
所以 与 只有 2 个公共点 . (5 分)
(2)(i)由(1)知 的方程为 ，
因为 ,所以 ,即曲线 上的点都在圆 内, (7 分)
圆 是以 为圆心, 为半径的圆,
圆 与圆 的圆心距 ,两圆内切,且圆 在圆 内, (9 分)
所以曲线 上的点都在圆 内. (10 分)
(ii) 由题意,得 .
由 ,得直线 的斜率分别为 , (11 分)
易知 为圆 的直径,则 ,所以 的斜率为 ,
所以 的斜率之积为 ,为定值. (13 分)
易知直线 的斜率不为零,设 ,
与 联立,得 ,
所以 . (14 分)
因为 的斜率之积为 ,
所以
整理得 ,
即 , (16 分)
因为直线 不过点 ,所以 ,
所以 ,代入 ,得 ,
该直线过定点 . (17 分)
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