8.4.1 提公因式法 课件（共34张PPT）--沪科版（新教材）七年级数学下册

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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）8.4.1提公因式法第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册8.4.1提公因式法练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕8.4.1提公因式法设计，核心知识点为：把多项式各项都含有的公共因式提出来，将多项式化为两个因式乘积的形式，叫做提公因式法（核心步骤：先找公因式，再提公因式，提完后检查是否还能继续分解）。公因式的确定方法：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取各项中最低次幂。练习题涵盖公因式识别、直接提公因式、变式提公因式及易错点辨析，结合之前所学的整式乘法运算性质，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升因式分解能力，总字数约700字。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A. $$x^2 - y^2$$ B. $$x^2 + 2x$$ C. $$x^2 + 2xy + y^2$$ D. $$x^2 - xy + y^2$$2.多项式$$3x^2 + 6x$$的公因式是（）A. 3 B. $$x$$ C. $$3x$$ D. $$3x^2$$3.下列提公因式法分解因式正确的是（）A. $$2x^2 - 4x = 2x(x - 2)$$ B. $$3x^2 + 6x = 3x(x + 6)$$ C. $$x^2 - xy = x(x + y)$$ D.$$4x^2 - 2x = 2x(2x)$$4.分解因式$$-6x^3 + 12x^2 - 3x$$时，公因式是（）A. $$-3x$$ B. $$3x$$ C. $$-3x^2$$ D. $$3x^2$$5.把多项式$$2a(x - y) + 3b(x - y)$$分解因式，正确的是（）A. $$(x - y)(2a + 3b)$$ B. $$(2a + 3b)(x + y)$$ C. $$(2a - 3b)(x - y)$$ D. $$(2a + 3b)(x - y) + 0$$二、填空题（每小题3分，共15分）1.提公因式法：把多项式各项都含有的______提出来，将多项式化为两个因式______的形式，叫做提公因式法；公因式的确定：系数取各项系数的______，字母取各项都含有的______，相同字母的指数取各项中______。2.多项式$$4x^3 - 8x^2 + 12x$$的公因式是______；分解因式$$5x^2 - 10x = \_\_\_\_\_\_$$。3.分解因式：$$-a^2b + ab^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$3x^2y - 6xy^2 + 3xy = \_\_\_\_\_\_$$。4.若多项式$$x^2 + mx$$分解因式的结果是$$x(x + 3)$$，则m的值为______；分解因式$$2a(x + 1) + 3(x + 1) = \_\_\_\_\_\_$$。5.分解因式：$$x(x - 2) - 3(x - 2) = \_\_\_\_\_\_$$；$$4a^2b - 6ab^2 + 2ab = \_\_\_\_\_\_$$。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列分解因式是否正确，若不正确，请指出错误并改正。①$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$；②$$x^2 - xy = x(x - y)$$；③$$-2x^2 + 4x = -2x(x + 2)$$；④$$4x^3 - 2x^2 = 2x(2x^2 - x)$$；⑤$$2a(x + y) - 3b(x + y) = (2a - 3b)(x + y)$$。2.（15分）用提公因式法分解下列因式（需写出完整运算步骤）。（1）$$6x^2 - 12x$$；（2）$$x^3 - x^2 + x$$；（3）$$-8a^2b + 12ab^2$$；（4）$$3x^2y - 6xy^2 + 9xy$$；（5）$$5a(x - 2) + 3b(2 - x)$$。3.（15分）用提公因式法分解下列变式因式（需写出完整运算步骤）。（1）$$x(x - 3) - 4(3 - x)$$；（2）$$2a(x + y) + 4b(x + y) - 6c(x + y)$$；（3）$$x^2(x - 1) + x(1 - x)$$；（4）$$-3x^2 + 6x - 3$$；（5）$$4a^2b^3 - 6a^3b^2 + 2a^2b$$。4.（15分）利用提公因式法解决下列问题（需写出完整运算步骤）。（1）已知$$a + b = 5$$，$$ab = 3$$，求$$a^2b + ab^2$$的值；（2）已知$$x - y = 2$$，求$$3x(x - y) - 3y(x - y)$$的值；（3）分解因式$$(x - 2)^2 - 2(x - 2)$$；（4）分解因式$$x^2y - xy^2 + xyz - xy$$；（5）已知$$2x + y = 3$$，求$$4x^2 + 2xy$$的值。5.（15分）应用题：一个长方形的长为$$(3x + 2)$$厘米，宽为$$x$$厘米，另一个长方形的长为$$(2x + 3)$$厘米，宽为$$2x$$厘米，求两个长方形的面积和（面积公式：长方形面积=长×宽，结果用提公因式法分解因式，写出完整计算步骤）。参考答案提示：一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A二、15.公共因式，乘积，最大公约数，相同字母，最低次幂16.$$4x$$，$$5x(x - 2)$$ 17.$$-ab(a - b)$$，$$3xy(x - 2y + 1)$$ 18.3，$$(x + 1)(2a + 3)$$ 19.$$(x - 2)(x - 3)$$，$$2ab(2a - 3b + 1)$$三、23.①正确；②正确；③不正确，符号错误，改正：$$-2x(x - 2)$$；④不正确，提公因式不彻底，改正：$$2x^2(2x - 1)$$；⑤正确24.（1）$$6x^2 - 12x = 6x(x - 2)$$；（2）$$x^3 - x^2 + x = x(x^2 - x + 1)$$；（3）$$-8a^2b + 12ab^2 = -4ab(2a - 3b)$$；（4）$$3x^2y - 6xy^2 + 9xy = 3xy(x - 2y + 3)$$；（5）$$5a(x - 2) + 3b(2 - x) = 5a(x - 2) - 3b(x - 2) = (x - 2)(5a - 3b)$$25.（1）$$x(x - 3) - 4(3 - x) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4)$$；（2）$$2a(x + y) + 4b(x + y) - 6c(x + y) = 2(x + y)(a + 2b - 3c)$$；（3）$$x^2(x - 1) + x(1 - x) = x^2(x - 1) - x(x - 1) = x(x - 1)(x - 1) = x(x - 1)^2$$；（4）$$-3x^2 + 6x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x - 1)^2$$；（5）$$4a^2b^3 - 6a^3b^2 + 2a^2b = 2a^2b(2b^2 - 3ab + 1)$$26.（1）$$a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 3 \times 5 = 15$$；（2）$$3x(x - y) - 3y(x - y) = 3(x - y)(x - y) = 3(x - y)^2 = 3 \times 2^2 = 12$$；（3）$$(x - 2)^2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 2)(x - 4)$$；（4）$$x^2y - xy^2 + xyz - xy = xy(x - y + z - 1)$$；（5）$$4x^2 + 2xy = 2x(2x + y) = 2x \times 3 = 6x$$27.第一个长方形面积：$$x(3x + 2) = 3x^2 + 2x$$；第二个长方形面积：$$2x(2x + 3) = 4x^2 + 6x$$；面积和：$$3x^2 + 2x + 4x^2 + 6x = 7x^2 + 8x = x(7x + 8)$$平方厘米，即两个长方形的面积和为$$x(7x + 8)$$平方厘米1. 运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a + b + c) = ；
(2) (x + 1)(x - 1) = ；
(3) (a + b)2 = .
ma + mb + mc
x2 - 1
a2 + 2ab + b2
2. 根据等式的性质填空：
(1) ma + mb + mc = ( )( )；
(2) x2 - 1 = ( )( )；
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2.
m a + b + c
x + 1 x - 1
a + b
都是多项式化为几
个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
因式分解
1
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
要点归纳
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是相反的变形，即
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　)
① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
典例精析
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式 x
用提公因式法分解因式
2
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(a + b + c)
pa + pb + pc
p
=
试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x.
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
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找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 3ax2－6axy + 3a.
(1) 4m2－8mn；
例2 把下列各式分解因式：
例2 把下列各式分解因式：
(2) 3ax2－6axy + 3a.
(1) 4m2－8mn；
解：4m2－8mn
= 4m·m－4m·2n
= 4m(m－2n).
3ax2－6axy + 3a
= 3a·x2－3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2－2xy + 1).
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
例3 把下列各式分解因式：
（1）2x(b + c)－3y(b + c)；
（2）3n(x－2) + (2－x).
解：2x(b + c)－3y(b + c)
= (b + c)(2x－ 3y).
2－x = －(x－2)
3n(x－2) + (2－x)
= 3n(x－2) － (x－2)
= (x－2)(3n－1).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小明的解法有误吗？
小明
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
错误
注意：某项提出莫漏 1.
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
小亮的解法有误吗？
小亮
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
小华的解法有误吗？
小华
例4 计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.
(2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝13×3×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便．
例5 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
1星题 基础练
知识点1 因式分解的定义
1.［知识初练］下列各式从左到右的变形中：
，
， ，
______的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以
属于因式分解的有______.(均填序号)
2.[上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
知识点2 公因式
3.［知识初练］多项式 中各项系数的最大公因数是
___，各项中的相同字母是___，各项中的相同字母的指数的
最小值是___，所以这个多项式的公因式是_____.
3
2
4.[合肥模拟] 多项式 的公因式是___.
5.下列各组多项式中，没有公因式的是( )
D
A.和 B.和
C.和 D.和
知识点3 运用提公因式法进行因式分解
6.［知识初练］多项式 的公因式为_____
__，公因式提取出来后，剩下的部分是______，所以
因式分解的结果为______________.
7.多项式 提取公因式后，剩下的因式是( )
C
A. B. C. D.
8.[长沙中考] 分解因式： ___________.
9.填空：
(1) ________；
(2)_____ .
10.用提公因式法分解因式：(12分)
(1) ;
解：原式 ；
(2) ;
解：原式 ；
(3) .
解：原式 .
2星题 中档练
11.计算： 的值是______.
12.若，，则代数式 的值等于___.
2
【变式题】 已知长和宽分别为， 的长方形，其面积等于
15，周长等于16，则 _____.
240
13.已知，，为三角形 的三边，且满足
,则三角形 是______三角形.
等腰
14.若，则 等
于___________.
15.利用提公因式法进行简便计算：(8分)
(1) ；
解：原式 ；
(2) .
解：原式 .
16.教材改编题 已知是正整数，请说明 一定是2的倍
数.(8分)
解：.因为 为正整数，
所以与 是两个连续的正整数.
因为连续的两个正整数中必有一个为偶数，
所以为偶数，所以 一定是2的倍数.
3星题 提升练
17.运算能力 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问
题：(12分)
.
(1)上述因式分解的方法是____________；
提公因式法
(2)请用上述方法分解因式：
;
解：
.
(3)请用上述方法分解因式：
为正整数 .
.
因式
分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号