8.4.2 第1课时 公式法 课件（共29张PPT）--沪科版（新教材）七年级数学下册

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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）8.4.2第1课时公式法第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册8.4.2第1课时公式法练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕8.4.2第1课时公式法设计，核心知识点为：利用整式乘法的平方差公式和完全平方公式逆向分解因式，叫做公式法。核心公式：①平方差公式逆向应用：$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$（适用条件：二项式，两项均为平方形式，符号相反）；②完全平方公式逆向应用：$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$、$$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$（适用条件：三项式，首尾两项为平方形式且符号相同，中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）。练习题涵盖公式识别、直接用公式分解、变式分解及易错点辨析，结合之前所学的提公因式法，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升因式分解能力，总字数约700字。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A. $$x^2 + y^2$$ B. $$x^2 - y^2$$ C. $$x^2 + 2xy + y^2$$ D. $$x^2 - xy + y^2$$2.下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A. $$x^2 - 6x + 9$$ B.$$x^2 - 6x - 9$$ C. $$x^2 + 6x - 9$$ D.$$x^2 - 3x + 9$$3.下列用公式法分解因式正确的是（）A. $$x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)$$ B. $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ C.$$x^2 - 2x + 1 = (x - 2)^2$$ D. $$4x^2 - 1 = (4x + 1)(4x - 1)$$4.分解因式$$-x^2 + 16$$的结果是（）A. $$-(x + 4)(x - 4)$$ B. $$(x + 4)(x - 4)$$ C. $$-(x^2 - 16)$$ D. $$(-x + 4)(-x - 4)$$5.若多项式$$x^2 + mx + 16$$能用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A. 8 B.±8 C. -8 D.±4二、填空题（每小题3分，共15分）1.公式法分解因式：利用整式乘法的______和______逆向分解因式，叫做公式法；平方差公式逆向应用：$$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_$$；完全平方公式逆向应用：$$a^2 + 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$$，$$a^2 - 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$$。2.分解因式：$$x^2 - 9 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^2 + 8x + 16 = \_\_\_\_\_\_$$。3.分解因式：$$4a^2 - 25b^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$9x^2 - 12xy + 4y^2 = \_\_\_\_\_\_$$。4.分解因式：$$-a^2 - 4b^2 + 4ab = \_\_\_\_\_\_$$；若$$x^2 - kx + 25$$是完全平方式，则k = ______。5.分解因式：$$(x + y)^2 - 4 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^2 - 2x + 1 - y^2 = \_\_\_\_\_\_$$。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列分解因式是否正确，若不正确，请指出错误并改正（重点区分平方差公式与完全平方公式的应用）。①$$x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$$；②$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$；③$$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$；④$$4x^2 - 1 = (2x - 1)^2$$；⑤$$-x^2 + y^2 = (x + y)(y - x)$$。2.（15分）用公式法分解下列因式（需写出完整运算步骤，明确所用公式）。（1）$$x^2 - 25$$；（2）$$x^2 - 10x + 25$$；（3）$$4a^2 - 9b^2$$；（4）$$16x^2 + 24x + 9$$；（5）$$-x^2 + 2x - 1$$。3.（15分）用公式法分解下列变式因式（需写出完整运算步骤，可结合提公因式法）。（1）$$2x^2 - 8$$；（2）$$3x^2 + 12x + 12$$；（3）$$(x - 2)^2 - 9$$；（4）$$x^4 - 16$$；（5）$$4(x + y)^2 - 12(x + y) + 9$$。4.（15分）利用公式法解决下列问题（需写出完整运算步骤）。（1）已知$$a + b = 5$$，$$a - b = 2$$，求$$a^2 - b^2$$的值；（2）已知$$x^2 - 4x + 4 = 0$$，求$$x^3 - 2x^2$$的值；（3）分解因式$$(x^2 + 1)^2 - 4x^2$$；（4）分解因式$$9a^2 - 6ab + b^2 - 1$$；（5）已知$$m^2 + n^2 = 13$$，$$mn = 6$$，求$$(m - n)^2$$的值。5.（15分）应用题：一个正方形的边长为$$(x + 3)$$厘米，一个长方形的长为$$(x + 5)$$厘米，宽为$$(x - 5)$$厘米，求正方形与长方形的面积差（面积公式：正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，结果用公式法分解因式，写出完整计算步骤）。参考答案提示：一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.B二、15.平方差公式，完全平方公式，$$(a + b)(a - b)$$，$$(a + b)^2$$，$$(a - b)^2$$ 16.$$(x + 3)(x - 3)$$，$$(x + 4)^2$$ 17.$$(2a + 5b)(2a - 5b)$$，$$(3x - 2y)^2$$ 18.$$-(a - 2b)^2$$，±10 19.$$(x + y + 2)(x + y - 2)$$，$$(x - 1 + y)(x - 1 - y)$$三、23.①正确；②正确；③正确；④不正确，混淆公式，改正：$$(2x + 1)(2x - 1)$$；⑤正确24.（1）用平方差公式：$$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x + 5)(x - 5)$$；（2）用完全平方公式：$$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$$；（3）用平方差公式：$$4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a + 3b)(2a - 3b)$$；（4）用完全平方公式：$$16x^2 + 24x + 9 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = (4x + 3)^2$$；（5）先提公因式再用完全平方公式：$$-x^2 + 2x - 1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2$$25.（1）先提公因式再用平方差公式：$$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)$$；（2）先提公因式再用完全平方公式：$$3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x + 2)^2$$；（3）用平方差公式：$$(x - 2)^2 - 9 = (x - 2)^2 - 3^2 = (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = (x + 1)(x - 5)$$；（4）两次用平方差公式：$$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$$；（5）用完全平方公式：$$4(x + y)^2 - 12(x + y) + 9 = [2(x + y) - 3]^2 = (2x + 2y - 3)^2$$26.（1）用平方差公式：$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 5 \times 2 = 10$$；（2）先分解因式：$$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0$$，得$$x = 2$$，代入得$$8 - 8 = 0$$；（3）用平方差公式：$$(x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x) = (x + 1)^2(x - 1)^2$$；（4）分组后用公式：$$(9a^2 - 6ab + b^2) - 1 = (3a - b)^2 - 1 = (3a - b + 1)(3a - b - 1)$$；（5）用完全平方公式：$$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 13 - 12 = 1$$27.正方形面积：$$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$$；长方形面积：$$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$$；面积差：$$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 25) = 6x + 34 = 2(3x + 17)$$，或用公式简化：$$(x + 3)^2 - (x^2 - 25) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 25 = 6x + 34 = 2(3x + 17)$$平方厘米，即面积差为$$2(3x + 17)$$平方厘米
如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式.
概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用完全平方公式分解因式
1
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方和
是第一项和第三项底数的积的±2 倍
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
= (a ± b)
a2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
3. a + 4ab + 4b = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( ) .
2. m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
1. x + 4x + 4 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab + b = (a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 - 1 的符号不统一.
不是
分析：
不是
是
（4）中间项缺 2 倍.
例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.
变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____.
解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
±8
典例精析
例2 分解因式：
（2）9a2 - 30ab + 25b2.
解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2
= (3a 5b)2.
= (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2
分析:(2) 中，9a2 = (3a)2，25b2 =(5b) ，30ab = 2×3a×5b，
所以 9a2 - 30ab + 25b2 是一个完全平方式，
即 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a)2 2×3a×5b + (5b)2.
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
用平方差公式进行因式分解
2
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式.
（1）x2 + y2
（2）x2 - y2
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
( y + x )( y - x )
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（6）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
x2 - 92
例3 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解：(1)原式=
x
9
x
x
9
9
(2) 原式 = (6a)2 - (5b)2
(1) x2 - 81；
(2) 36a2 - 25b2.
= (6a + 5b)(6a - 5b).
= (x + 9)(x - 9)
例4 把下列多项式分解因式：
（1）ab2 － ac2 ；
（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 .
解：(1) ab2 － ac2
= a(b2 － c2)
= a(b + c)(b－ c)
（提取公因式）
（用平方差公式）
（2）3ax2 + 24axy + 48ay2
= 3a(x2 + 8xy + 16y2)
= 3a(x + 4y)2
（提取公因式）
（用完全平方公式）
例5 把下列多项式分解因式：
（1）16x4 － 81；
（2）x4 － 2x2 + 1 .
解：（1）16x4 － 81
= (4x2 + 9)(4x2 － 9)
= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3)
（用平方差公式）
（用平方差公式）
（2）x4 － 2x2 + 1
= (x2 － 1)2
（用完全平方公式）
= [(x + 1)(x － 1)]2
（用平方差公式）
= (x + 1)2(x － 1)2
核心必知
1. _________，即两个数的平方和加(或减)这
两个数乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 符号
为正时，，同号；符号为负时，， 异号.
2. _______________，即两个数的平方差，等于这
两个数的____与这两个数的____的积.
和
差
1星题 基础练
知识点1 运用完全平方公式进行因式分解
1.［知识初练］因为 ，所以多项式
可以因式分解为_________.
2.因式分解 正确的是( )
A
A. B.
C. D.
3.若多项式 能用完全平方公式进行因式分解，则
正整数 的值等于___.
9
4.在多项式：； ；
； 中，能用完全平方公式分解
因式的是______.(填序号)
5.把下列各式分解因式：(8分)
(1) ；
解：原式 ；
(2) .
解：原式 ．
知识点2 运用平方差公式进行因式分解
6.［知识初练］因为，所以
可以因式分解为______________.
7.创新题·新考法 课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小
聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？ ( )
C
A.第(1)道题 B.第(2)道题 C.第(3)道题 D.第(4)道题
8.将 分解因式，结果正确的是( )
B
A. B.
C. D.
9.把下列各式分解因式：(8分)
(1) ；
解：原式 ；
(2) .
解：原式 .
2星题 中档练
10.真实情境郑州期末数学活动课
上，同学们一起玩卡片游戏，游
D
A.甲： B.乙：
C.丙： D.丁：
戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运
算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被
淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的
是 ( )
11.已知,，则 ____.
12.分类讨论思想 若多项式 能用完全平方
公式因式分解，则 的值是_____.
13.[咸阳二模] 请通过计算说明：对于任意整数 ，多项式
的值都能被16整除.(8分)
解：因为 ，
所以对于任意整数，多项式 的值都能被
16整除．
3星题 提升练
14.运算能力 下面是某同学对多项式
进行因式分解的过程.(12分)
解：设 ，则
原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___;
C
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或
“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：
_________;
不彻底
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式
进行因式分解.
解：设 ，
则 .
公式法因式分解
公式
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解.
完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2