8.4.2 第2课时 分组分解法分解因式 课件（共28张PPT）--沪科版（新教材）七年级数学下册

(共28张PPT)
沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）8.4.2第2课时分组分解法分解因式第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册8.4.2第2课时分组分解法分解因式练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕8.4.2第2课时分组分解法分解因式设计，核心知识点为：当多项式的项数多于3项时，将多项式适当分组，使分组后每组都能提取公因式或运用公式法分解，再对整体提取公因式，最终将多项式分解为几个因式乘积的形式，叫做分组分解法。核心分组思路：①分组后能提取公因式（“提公因式分组”）；②分组后能运用平方差、完全平方公式（“公式分组”），分组关键是“分组后能继续分解”。练习题涵盖分组思路辨析、直接分组分解、变式分组及易错点辨析，结合之前所学的提公因式法、公式法，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升因式分解综合能力，总字数约700字。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列多项式中，适合用分组分解法分解因式的是（）A. $$x^2 - y^2$$ B. $$x^2 + 2x + 1$$ C. $$x^2 + 3x + 2$$ D. $$ax + ay + bx + by$$2.将多项式$$ax - bx + ay - by$$分组，正确的是（）A. $$(ax - bx) + (ay - by)$$ B. $$(ax + ay) - (bx - by)$$ C. $$(ax - by) + (ay - bx)$$ D. $$(ax - ay) + (bx - by)$$3.下列用分组分解法分解因式正确的是（）A. $$x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)$$B. $$ax + bx + a + b = x(a + b) + (a + b) = x(a + b + 1)$$C. $$x^2 - 3x + 2 - xy + 3y = (x^2 - 3x) + (2 - xy + 3y)$$（无法继续分解）D. $$4a^2 - 4a + 1 - b^2 = (4a^2 - 4a) + (1 - b^2) = 4a(a - 1) + (1 - b)(1 + b)$$（无法继续分解）4.分解因式$$x^2 - y^2 + x - y$$，正确的分组方式是（）A. $$(x^2 - y^2) + (x - y)$$ B. $$(x^2 + x) - (y^2 - y)$$ C. $$(x^2 - y^2 + x) - y$$ D. $$x^2 - (y^2 + x - y)$$5.分解因式$$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$$，结果正确的是（）A. $$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$$ B. $$(a^2 - c^2) - (2ab - b^2) = (a + c)(a - c) - b(2a - b)$$C. $$(a^2 - 2ab) + (b^2 - c^2) = a(a - 2b) + (b - c)(b + c)$$ D. $$(a - b - c)^2$$二、填空题（每小题3分，共15分）1.分组分解法：当多项式的项数多于3项时，将多项式______分组，使分组后每组都能______或______，再对整体提取公因式，最终将多项式分解为几个因式乘积的形式，叫做分组分解法。2.分解因式$$ax + ay + bx + by$$，分组后提取公因式得______；分解因式$$x^2 - xy + x - y$$，结果为______。3.分解因式$$4a^2 - b^2 + 2a - b$$，分组方式为______，最终结果为______。4.分解因式$$x^2 - 2x + 1 - y^2 = \_\_\_\_\_\_$$；分解因式$$ab - ac + b - c = \_\_\_\_\_\_$$。5.分解因式$$m^2 - n^2 + 2m + 2n = \_\_\_\_\_\_$$；若$$x^2 + ax + bx + ab$$分解因式为$$(x + a)(x + b)$$，则分组方式为______。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列分组分解因式的过程是否正确，若不正确，请指出错误并改正。①$$ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (a + b)(x - y)$$；②$$x^2 - 4y^2 + x - 2y = (x^2 - 4y^2) + (x - 2y) = (x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y + 1)$$；③$$a^2 - 2ab + b^2 - 1 = (a^2 - 2ab) + (b^2 - 1) = a(a - 2b) + (b - 1)(b + 1)$$；④$$2x^2 + 2xy - 3x - 3y = (2x^2 + 2xy) - (3x + 3y) = 2x(x + y) - 3(x + y) = (x + y)(2x - 3)$$；⑤$$xy - x - y + 1 = (xy - x) - (y + 1) = x(y - 1) - (y + 1)$$。2.（15分）用分组分解法分解下列因式（需写出完整分组过程和运算步骤）。（1）$$ax + bx + ay + by$$；（2）$$x^2 - xy + x - y$$；（3）$$ab - ac + b - c$$；（4）$$m^2 + mn + am + an$$；（5）$$2x^2 + 4x + x + 2$$。3.（15分）用分组分解法分解下列变式因式（需写出完整分组过程，可结合提公因式法、公式法）。（1）$$x^2 - y^2 + x + y$$；（2）$$a^2 - 2ab + b^2 - 9$$；（3）$$4x^2 - 4x + 1 - y^2$$；（4）$$3x^2 + 6xy - 3x - 6y$$；（5）$$x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$$。4.（15分）利用分组分解法解决下列问题（需写出完整运算步骤）。（1）已知$$a + b = 3$$，求$$a^2 - b^2 + 2a + 2b$$的值；（2）分解因式$$(x^2 + 2x)^2 - (y^2 + 2y)^2$$；（3）分解因式$$x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x + 4y$$；（4）已知$$ab = 2$$，$$a + b = 3$$，求$$a^2b + ab^2 + a + b$$的值；（5）分解因式$$m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$$。5.（15分）应用题：一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2 + 5x + 6$$平方厘米，另一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2 + 3x + 2$$平方厘米，求两个长方形的面积差（结果用分组分解法分解因式，写出完整计算步骤）。参考答案提示：一、1.D 2.A 3.A 4.A 5.A二、15.适当，提取公因式，运用公式法16.$$(a + b)(x + y)$$，$$(x - y)(x + 1)$$ 17.$$(4a^2 - b^2) + (2a - b)$$，$$(2a - b)(2a + b + 1)$$ 18.$$(x - 1 + y)(x - 1 - y)$$，$$(b - c)(a + 1)$$ 19.$$(m + n)(m - n + 2)$$，$$(x^2 + ax) + (bx + ab)$$三、23.①正确；②正确；③不正确，分组不当，改正：$$(a^2 - 2ab + b^2) - 1 = (a - b)^2 - 1 = (a - b + 1)(a - b - 1)$$；④正确；⑤不正确，分组不当，改正：$$(xy - x) - (y - 1) = x(y - 1) - (y - 1) = (y - 1)(x - 1)$$24.（1）分组：$$(ax + bx) + (ay + by)$$，提取公因式：$$x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)$$；（2）分组：$$(x^2 - xy) + (x - y)$$，提取公因式：$$x(x - y) + 1(x - y) = (x - y)(x + 1)$$；（3）分组：$$(ab - ac) + (b - c)$$，提取公因式：$$a(b - c) + 1(b - c) = (b - c)(a + 1)$$；（4）分组：$$(m^2 + mn) + (am + an)$$，提取公因式：$$m(m + n) + a(m + n) = (m + n)(m + a)$$；（5）分组：$$(2x^2 + 4x) + (x + 2)$$，提取公因式：$$2x(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(2x + 1)$$25.（1）分组：$$(x^2 - y^2) + (x + y)$$，用公式+提公因式：$$(x + y)(x - y) + (x + y) = (x + y)(x - y + 1)$$；（2）分组：$$(a^2 - 2ab + b^2) - 9$$，用公式+提公因式：$$(a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$$；（3）分组：$$(4x^2 - 4x + 1) - y^2$$，用公式+提公因式：$$(2x - 1)^2 - y^2 = (2x - 1 + y)(2x - 1 - y)$$；（4）分组：$$(3x^2 + 6xy) - (3x + 6y)$$，提公因式+再提公因式：$$3x(x + 2y) - 3(x + 2y) = 3(x + 2y)(x - 1)$$；（5）分组：$$(x^4 - 2x^3 + x^2) - 1$$，用公式+再用公式：$$x^2(x - 1)^2 - 1 = [x(x - 1) + 1][x(x - 1) - 1] = (x^2 - x + 1)(x^2 - x - 1)$$26.（1）分组分解：$$(a^2 - b^2) + (2a + 2b) = (a + b)(a - b) + 2(a + b) = (a + b)(a - b + 2)$$，代入得$$3(a - b + 2)$$（或化简为$$3a - 3b + 6$$）；（2）用公式+分组分解：$$(x^2 + 2x + y^2 + 2y)(x^2 + 2x - y^2 - 2y) = [(x^2 + 2x) + (y^2 + 2y)][(x^2 + 2x) - (y^2 + 2y)] = (x + y)(x + y + 2)(x - y)(x + y + 2)$$；（3）分组分解：$$(x^2 - 4xy + 4y^2) - (2x - 4y) = (x - 2y)^2 - 2(x - 2y) = (x - 2y)(x - 2y - 2)$$；（4）分组分解：$$(a^2b + ab^2) + (a + b) = ab(a + b) + (a + b) = (a + b)(ab + 1)$$，代入得$$3 \times (2 + 1) = 9$$；（5）分组分解：$$(m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3) = m^2(m - n) - n^2(m - n) = (m - n)(m^2 - n^2) = (m - n)^2(m + n)$$27.面积差：$$(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 3x + 2) = 2x + 4 = 2(x + 2)$$；或分组分解原式后再求差：$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$，$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$，面积差：$$(x + 2)(x + 3) - (x + 1)(x + 2) = (x + 2)[(x + 3) - (x + 1)] = (x + 2) \times 2 = 2(x + 2)$$平方厘米，即面积差为$$2(x + 2)$$平方厘米因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
因式分解：
法1 原式
法2 原式
利用分组法因式分解
1
小结：分组后再用公式法.
例1 分解因式：
解：
典例精析
解：
方法总结：因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式：
a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
解：
原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
完全平方公式
x2 + 4x + 4 －1
4－1
平方差公式
合作探究
分析：
方法一 x2 + 4x + 3
= (x2 + 4x + 4)－1
= (x + 2)2－1
= (x + 2 + 1)(x + 2－1)
= (x + 3)(x + 1)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
分析：
拆分成 3x + x
x2 + 3x + x + 3
→提取公因式
方法二 x2 + 4x + 3
= x2 + 3x + x + 3
= x(x + 3) + (x + 3)
= (x + 3)(x + 1)
还有其他方法吗？
分析：
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
多项式乘法法则：
(x + a)(x + b) =
x2 + (a + b)x + ab
由等式性质可得：
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
(1 + 3)x
(1×3)
方法三 x2 + 4x + 3
= x2 + (1 + 3)x + 1×3
= (x + 3)(x + 1)
例3 把下列各式分解因式：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.
解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是一个完全平方式.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.
选择合适的方法因式分解
2
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式的要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
多项式分解因式的一般思路：
1. 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
2. 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
3. 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；
4. 分解因式时，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
总结归纳
例4 (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
得原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
由 a－b＝3，得原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
由 ab＝2，a＋b＝5，
1星题 基础练
知识点 综合运用提公因式法与公式法分解因式
1.把多项式 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2.多项式 因式分解为( )
A
A. B. C. D.
3.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中
没有分解彻底的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4.利用因式分解计算 的结果是( )
D
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.因式分解：
(1)[合肥模拟] _________________;
(2) _______________.
6.把下列各式分解因式：(8分)
(1) ;
解：原式
；
(2) ;
解：原式
.
2星题 中档练
7.分解因式： __________________
_________________.
8.新课标·开放性问题 请你写出一个只含有三项的多项式，
使它在提取公因式后还能用完全平方公式分解因式.你写出的
符合条件的多项式是____________________________.
(答案不唯一)
9.[合肥期中] 将 分解因式，所得结果正确的是
( )
D
A. B.
C. D.
10.在有理数范围内把 分解因式，结果中因式的个数是
( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
因为 ,所以结果中因式的个数是5.
11.[杭州模拟] 某密码研究小组接收到一条密文：
.已知密码手册中，有这样一条
信息：，，，，8， 分别对应下列六
个字：我、爱、中、华、大、地.把密文
用因式分解解码后，明文可能
是( )
D
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
12.已知长方形的长为，宽为 ，周长为16，两边的平方和
为40.(8分)
(1)求此长方形的面积；
解：由题意知 ,
所以 .
因为,所以 .
答：此长方形的面积为12.
(2)求 的值.
.
分组法
因式分解
步骤：
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解.