2025-2026学年上海市北中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

市北中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.直线为的一个法向量是______．
2.已知圆的一般方程为，则圆的半径为______．
3.直线的倾斜角为______．
4.已知，若，则______．
5.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个．（用数字作答）
6.已知表示圆，则______．
7.已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于______．
8.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为1，则球的表面积为______．
9.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则______．
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为______．
11.已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是______．
12.若椭圆内有圆，若该圆的任意一条切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
14.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线，其离心率分别为．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
15.已知，，，则事件与的关系是（ ）
A.与互斥不对立 B.与相互独立
C.与对立 D.与既互斥又相互独立
16.设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系中，、分别为直线与轴的交点，为的中点．若抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）焦点到直线的距离．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，求证：为定值．
19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第2小题满分6分）
如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知到原点和的距离之比为2的点轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值；
（3）点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点，求的最小值．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆，直线与椭圆交于两点．
（1）求；
（2）点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程；
（3）设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足。问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.直角三角形 12.
11.已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是______．
【答案】直角三角形
【解析】由题意得，
两式平方相加除以2可得，
又椭圆与双曲线的焦点相同，所以，
故，所以是直角三角形．
12.若椭圆内有圆，若该圆的任意一条切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是______．
【答案】
【解析】设切线方程为，代入椭圆方程得关于的一元二次方程
设，则，
，
因为是单位圆的切线，所以1，即
代入（＊）式子，得到，所以
由于，所以
代入得
当且仅当时取到最小值.故答案为：49
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.B
15.已知，，，则事件与的关系是（ ）
A.与互斥不对立 B.与相互独立
C.与对立 D.与既互斥又相互独立
【答案】B
【解析】由，可得，
因为，则与不互斥，不对立．
由可得，
因为，所以与相互独立．故选C．
16.设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，
则，又，所以，
所以，同理，
又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；
易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立得，易知，则，，
又，所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
在Rt与Rt中，，所以RtRt，则，即，同理，
又
，
所以，
则，故D正确．故选B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1）证明略 （2） （3）
20．【答案】（1） （2） （3）
21．【答案】（1） （2） （3）是，定点
【解析】（3）联立方程：
整理得(1+4k2)x2+32k2x+(64k2 8)=0
韦达定理：
设 ，则：
确定点 ：
由题意， 平行于 轴，且点 满足特定向量关系（根据答案反推，通常为平行四边形或中点性质），可得 点坐标为：
求直线 ：
计算直线 的斜率并与直线 比较，或直接写出两点式。通过代数化简（消去参数 ），可得直线 的方程恒过定点。