2025-2026学年上海上中东校高一上学期数学期末试卷（含答案）

上中东校2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题
1．已知角终边过点，则 .
2．已知中，，则外接圆半径为 .
3．已知且，则 .
4．已知，且，则的值是 .
5．已知函数，当时，取得最小值，则 .
6．已知均为锐角，则 .
【答案】
7．函数的单调递增区间为 .
8．已知正实数满足，若恒成立，则实数的范围是 .
9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 .
10．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是 .
11．已知函数，若，则的取值范围 .
12．已知，则正实数的值为 .
13．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 .
14．已知函数，对任意实数，使得以数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 .
二、单选题
15．已知：整数能被2整除，；整数能被6整除，则是的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知，则下列结论不恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
17．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
18．已知函数的定义域为，且，若1，有以下4个命题：
①是周期为4的周期函数；
②是奇函数；
③的图像关于点对称；
④；其中正确命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
19．设全集，集合．
①求；
②若集合，且，求的取值范围．
20．若不等式的解集是．
（1）求实数的值；
（2）当的解集为时，求实数的取值范围．
21．已知，求下列式子的值：
（1）；（2）；（3）．
22．已知且是上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）设，求的解析式，并求其值域；
（3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依是为，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．
23．定义：若函数满足（为常数，且），则称为上的＂倍型线性函数＂．
（1）判断是否为上的＂2倍型线性函数＂，并说明理由；
（2）若为上的＂3倍型线性函数＂，求的取值范围；
（3）若是定义域为的偶函数，且为定义域上的＂2倍型线性函数＂，证明：．
上中东校2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题
1．已知角终边过点，则 .
【答案】
2．已知中，，则外接圆半径为 .
【答案】
3．已知且，则 .
【答案】6
4．已知，且，则的值是 .
【答案】或
5．已知函数，当时，取得最小值，则 .
【答案】3
6．已知均为锐角，则 .
【答案】
7．函数的单调递增区间为 .
【答案】
8．已知正实数满足，若恒成立，则实数的范围是 .
【答案】］
9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 .
【答案】
10．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是 .
【答案】
11．已知函数，若，则的取值范围 .
【答案】
12．已知，则正实数的值为 .
【答案】
13．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因是奇函数，是偶函数，则有，
对于①，用替换，整理得②，
联立①和②，解得：，
由时，等价于，
则，记，则，
即在区间上为减函数，
显然的对称轴为直线．
①当时，，显然不符合题意；②当时，需使，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
14．已知函数，对任意实数，使得以数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】要想对任意实数，使得以数值为边长可构成三角形，只需，设，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，所以，
当时，即时，，此时，
因此由，而，所以
当时，即当时，
此时，此时，
因此由，而，所以，
若时，即时，若，即当时，
显然此时，
由，显然，
若，即当时，
显然此时，
因此由，而，
综上所述：实数的取值范围为
二、单选题
15．已知：整数能被2整除，；整数能被6整除，则是的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
16．已知，则下列结论不恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
17．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成立；即当时，函数的最小值为，
当时，，要使得函数的最小值为，
则满足，解得，即实数的取值范围是．
18．已知函数的定义域为，且，若1，有以下4个命题：①是周期为4的周期函数；
②是奇函数；
③的图像关于点对称；
④，其中正确命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由可得，
故是以4为周期的周期函数，故①正确，
由可得，
故是的一条对称轴，故③错误，
由是的一条对称轴可得，又，
故，故是奇函数，故②正确，
在中，令，则，
又
在中，令，则
在结合周期性，以次类推可得
故④正确，故选C.
三、解答题
19．设全集，集合．
①求；
②若集合，且，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）．
20．若不等式的解集是．
（1）求实数的值；
（2）当的解集为时，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）．
21．已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）； （2） （3）
22．已知且是上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）设，求的解析式，并求其值域；
（3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依是为，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）值域为．
（3）存在正整数或3，使不等式有解．
【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，，解得：；
当时，，则，
满足为奇函数；∵，又且；
综上所述：．
（2）由（1）得：
定义域为
∵（当且仅当时取等号），∴，
∴的值域为．
（3）由题意知：，
∵为奇函数，∴图象关于中心对称，
∴图象关于中心对称，∴，
若存在正整数，使不等式有解，则，∴，解得：，
∴存在正整数或3，使不等式有解．
23．定义：若函数满足（为常数，且），则称为上的＂倍型线性函数＂．
（1）判断是否为上的＂2倍型线性函数＂，并说明理由；
（2）若为上的＂3倍型线性函数＂，求的取值范围；
（3）若是定义域为的偶函数，且为定义域上的＂2倍型线性函数＂，证明：．
【答案】（1）否 （2）是 （3）证明见解析
【详解】（1）不是上的＂2倍型线性函数＂，
理由如下：假设是上的＂2倍型线性函数＂，
则，
不妨令，则，即，
取，则，
因为，所以，与矛盾，从而假设不成立，
故不是上的＂2倍型线性函数＂；
（2）因为为上的＂3倍型线性函数＂，
所以，
整理得，当时，上式显然成立，
当时，上式等价于，则，
由，得，从而，
综上所述，的取值范围为；
（3）证明：因为是定义域为的偶函数，所以，
又是定义域上的＂2倍型线性函数＂，
所以，
当时，显然成立，
当时，不妨设，由，可得；
若，则由，可得；
若，因为是偶函数，所以，
则
综上所述，．